廣東省佛山市莘村中學(xué)(528300) 陳萬壽

廣東省佛山市羅定邦中學(xué)(528300) 龍宇

一、教材中的米勒問題

在人教A版《必修5》第101頁中有這樣一道習(xí)題：如圖1,樹頂A離地面am,樹上另一點(diǎn)B離地面bm,在離地面cm的C處看此樹,離此樹多遠(yuǎn)時(shí)看A,B的視角最大?

圖1

該題形象生動(dòng),且具有豐富的幾何背景——米勒問題.

早在1471年,德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出如下問題：在地球表面的什么部位,一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)(即可見角最大)?米勒問題在實(shí)際生活中的應(yīng)用十分廣泛,如：欣賞一副畫的最佳角度、沿邊線踢足球的最佳射門點(diǎn)等.這便是經(jīng)典的米勒問題.

歷史上的米勒問題所涉及的范圍是三維空間.作為實(shí)際問題,我們首要的是根據(jù)實(shí)物背景抽象出簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型.模型假設(shè)：相對(duì)于懸桿而言,地球的體積是相當(dāng)大的.所以我們視地球表面為平面；為了簡(jiǎn)化模型,同時(shí)忽略觀察者身高對(duì)答案的影響,即設(shè)觀察者的身高為0.設(shè)懸桿在地面上的投影為O,因?yàn)閼覘U垂直于地面,所以據(jù)點(diǎn)O相同距離的點(diǎn)所得可見角是一樣的.為此我們將空間問題轉(zhuǎn)換為如下平面上的問題,也即為上面的習(xí)題模型：

二、米勒問題的證明與運(yùn)用

問題一如圖2,在平面坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為(0,a),(0,b),其中b＞a＞0.在橫坐標(biāo)軸上求得一點(diǎn)P,使得∠APB取到最大值.

圖2

解析∠APB的范圍是[0°,90°].若∠APB去得最大值,該角對(duì)應(yīng)的正切值也取到最大值.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (x,0),tan∠APOtan∠BPOtan∠APB=tan(∠BPO-∠APO)=單獨(dú)分析上式的分母可知在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在處取到最小值,對(duì)應(yīng)到該正切值在處取到最大值為對(duì)應(yīng)的∠APB取到最大值arctan

該問題的結(jié)論即是所謂的米勒定理.不過該結(jié)論的局限性太強(qiáng),原問題要求懸桿與底面垂直.如果懸桿與底面的夾角為任意角時(shí),對(duì)應(yīng)的可見角是否任是最大呢?答案是肯定,但通過建系的方法,計(jì)算過于繁雜.接下來本文介紹一種幾何證明的方法.

問題二如圖3,設(shè)OA與OP的夾角為θ,OA=a,OB=b,在OP上求得一點(diǎn)P,使得∠APB取到最大值.

圖3

猜想仿照上問,當(dāng)時(shí),∠APB取到最大值.

圖4

證明根據(jù)圓的切割線定理,若OP2=OA·OB.過點(diǎn)A,B,P的圓與射線OP相切.據(jù)此作出過這樣三點(diǎn)的輔助圓.如圖4,在OP上除點(diǎn)P的任意一點(diǎn)為P′,連接AP′,BP′.因?yàn)辄c(diǎn)P是切點(diǎn),所以AP′與圓相交于點(diǎn)P′′,連接BP′′,根據(jù)圓周角定理,∠APB=∠AP′′B.而∠AP′′B＞∠AP′B.所以點(diǎn)P是使得∠APB取到最大值的點(diǎn).該夾角的具體值,可利用余弦定理求得,但表述較為復(fù)雜,本文不再介紹.

在高考中也常常涉及到米勒問題.比如：

題1(2005年浙江,17)已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為4,左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)是M,|MA1|∶|AF1|=2∶1.

(1)求橢圓方程；

(2)若點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng),求∠F1PF2的最大值.

題2(2005年天津卷,20題)某人在一山坡P處觀看對(duì)面山項(xiàng)上的一座鐵塔,如圖所示,塔高BC=80(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),圖中所示的山坡可視為直線l,且點(diǎn)P在直線l上,l與水平地面的夾角為α,試問此人距水平地面多高時(shí),觀看塔的視角∠BPC最大(不計(jì)此人的身高)

題3(2010年江蘇卷,17)某興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H(單位：m),如示意圖,垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.

圖5

(1)略；(2)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后,認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位：m),使α與β之差較大,可以提高測(cè)量精確度.若電視塔的實(shí)際高度為125m,試問d為多少時(shí),α-β最大?

三道題目均可直接使用米勒問題的結(jié)論,本文不再討論.

接下來,本文將討論一下米勒問題的逆向運(yùn)用以及在在“圓”上的相關(guān)拓展.

三、米勒問題的推廣

例1已知圓C∶x2+y2+2x-3=0的圓心為C,點(diǎn)A為直線l∶ax-y-5a+4=0上的點(diǎn),對(duì)?點(diǎn)A,?點(diǎn)B∈圓C,使得求a的取值范圍.

分析本題有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B.固定點(diǎn)A,求∠CBA的范圍,若該范圍包括即可說明點(diǎn)A符合要求.建立點(diǎn)A的坐標(biāo)與∠CBA的范圍之間的映射關(guān)系.通過使∠CBA的范圍包括逆推出點(diǎn)A的范圍,進(jìn)而求得直線的方程.

為了便于說明,現(xiàn)證明如下引理：

引理1已知單位圓C∶x2+y2=1的圓心為C,點(diǎn)A為一定點(diǎn),點(diǎn)B為單位圓上的點(diǎn).設(shè)|AC|=d,

圖6

(1) 當(dāng)d＞1 時(shí),∠CBA的范圍是 [0°,180°]；

(2) 當(dāng)d=1 時(shí),∠CBA的范圍是 [0°,90°)；

(3)當(dāng)d＜1時(shí),∠CBA的范圍是且當(dāng)B的橫坐標(biāo)為d時(shí),∠CBA取到最大值.

證明前兩個(gè)結(jié)論較為簡(jiǎn)單,過程略.對(duì)于第(3)問,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(d,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(cosα,sinα).∠CBA為的夾角,所以 cos∠CBA

引理2 已知圓C∶x2+y2=r2的圓心為C,點(diǎn)A為一定點(diǎn),點(diǎn)B為單位圓上的點(diǎn).設(shè)|AC|=d,

(1) 當(dāng)d＞r時(shí),∠CBA的范圍是 [0°,180°]；

(2) 當(dāng)d=r時(shí),∠CBA的范圍是 [0°,90°)；

(3)當(dāng)d＜r時(shí),∠CBA的范圍是且當(dāng)B的橫坐標(biāo)為d時(shí),∠CBA取到最大值.

證明通過三角形相似及引理1即可得引理2成立.

定理(圓周上的米勒定理)已知圓C∶(x-a)2+(yb)2=r2的圓心為C,點(diǎn)A為一定點(diǎn),點(diǎn)B為單位圓上的點(diǎn).設(shè)|AC|=d,當(dāng)d＜r時(shí),當(dāng)BA⊥CA時(shí),點(diǎn)B關(guān)于AC的張角達(dá)到最大.即∠CBA取到最大值為

在引理2的基礎(chǔ)上通過圖像的平移即可說明上述定理成立.

回到例2,由引理3可知,當(dāng)d增大時(shí),張角的范圍也增大.為了使∠CBA的范圍包括,即arccos可得：d≥1.由d≥1即可得a的范圍是

四、練習(xí)

1、(2014,2卷,16)設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若在圓O∶x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得∠OMN=45°,則x0的取值范圍是_____.

答案：[-1,1].

2、(燕博園2017-2018學(xué)年高三年級(jí)綜合能力測(cè)試(二),20)已知右焦點(diǎn)為F(1,0)的橢圓1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)

(1)求橢圓M的方程；

(2)過點(diǎn)F的直線AC與橢圓M分別交于A,B,若直線DA,DC,DB的斜率成等差數(shù)列,求tan∠DCF的最大值.

提示：點(diǎn)C的軌跡為直線l∶x=4.原問題轉(zhuǎn)變?yōu)樵谥本€x=4求得一點(diǎn)C,使得點(diǎn)C對(duì)線段DF的張角達(dá)到最大值.根據(jù)米勒定理,過點(diǎn)D,F作圓N與直線x=4相切,對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為所求點(diǎn)C.易知點(diǎn)C位于直線DF的垂直平分線上,點(diǎn)C的坐標(biāo)為設(shè)則有tan∠DCF=tan2θ=