廣東省廣州市從化區(qū)第二中學(xué)(510900) 杜東儀

不等式部分的教學(xué)非常強(qiáng)調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景,以加深學(xué)生對這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力.但由于2011版的課程標(biāo)準(zhǔn)把不等式的放到了整個(gè)高中數(shù)學(xué)必修模塊的最后一部分且對證明不等式的要求有所降低,讓大部分教師在不等式教學(xué)中有所忽視,造成學(xué)生答題不嚴(yán)密、不規(guī)范,甚至答案正確但解題思路錯(cuò)誤的情況出現(xiàn).而2017版課程標(biāo)準(zhǔn)將不等關(guān)系放到了第一冊的預(yù)備知識(shí)中,足見它的基礎(chǔ)性意義及重要性.

在作業(yè)批改、學(xué)生分層輔導(dǎo)中,我發(fā)現(xiàn)相當(dāng)大一部分學(xué)生在解答不等式與不等關(guān)系的題目時(shí)并沒有真正理解好不等關(guān)系的實(shí)際意義,往往僅僅是對教師教給方法的機(jī)械重復(fù)、簡單默寫.為了真實(shí)了解教學(xué)效果,本人以問卷調(diào)查等形式,針對學(xué)生在作業(yè)中存在的問題進(jìn)行調(diào)查研究,比如將一道不等式題的兩種不同解法(其中一種正確一種錯(cuò)誤,但答案安全相同)呈現(xiàn)給學(xué)生,并讓學(xué)生分辨對錯(cuò).通過調(diào)查研究,我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在不等式方面普遍存在以下的幾個(gè)問題：

問題一將兩個(gè)互相制約變量的取值范圍分離,導(dǎo)致不等式組范圍擴(kuò)大

例1設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍.

學(xué)生A(正解)：因?yàn)閒(x)=ax2+bx,所以f(-1)=a-b,f(1)=a+b,f(-2)=4a-2b,又因?yàn)?≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤ 4,所以因?yàn)樵O(shè)4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b,所以解得m=3,n=1,所以①×3+②得：5≤4a-2b≤10,所以f(-2)的取值范圍為[5,10].

學(xué)生B(錯(cuò)解)：因?yàn)閒(x)=ax2+bx,所以f(-1)=a-b,f(1)=a+b,f(-2)=4a-2b,又因?yàn)?≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤ 4,所以所以①+②得：3≤2a≤6③,所以①×2+③得：5≤4a-2b≤10,所以f(-2)的取值范圍為[5,10].

兩個(gè)學(xué)生都運(yùn)用了不等式同向相加的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算,表面看起來好像沒什么區(qū)別.但仔細(xì)觀察,我們可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生B在解答過程中出現(xiàn)了一個(gè)“3≤2a≤6”的式子,問題就出在這里了.與是兩個(gè)互相制約的變量,a的取值會(huì)受到b的影響,當(dāng)我們單獨(dú)求出a或b的范圍時(shí),實(shí)際上已經(jīng)是擴(kuò)大了不等式組的取值范圍,導(dǎo)致解答錯(cuò)誤.學(xué)生A用待定系數(shù)的方法卻不一樣,他始終堅(jiān)持將a+b與a-b作為整體來運(yùn)算,利用同向相加的過程中,等號(hào)成立的條件始終保持一致,所以范圍并沒有擴(kuò)大,因此解答正確.

問題一中學(xué)生出錯(cuò)的主要原因是對a與b相互制約的性質(zhì)認(rèn)識(shí)不清,a與b單獨(dú)求范圍為什么會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大的原因不明確.很多老師在講解時(shí)并沒有讓學(xué)生真正清楚認(rèn)識(shí)到范圍擴(kuò)大的原因.其實(shí),這部分如果引入線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行說明就會(huì)一目了然.對此,我設(shè)計(jì)了一系列的探索過程：

1.根據(jù)同學(xué)A與B解答中出現(xiàn)的不等式組畫出不同的可行域和目標(biāo)函數(shù).

圖1

圖2

學(xué)生通過畫圖,親身感受可行域的變化情況,從而體會(huì)同學(xué)B的解答過程中單獨(dú)求出a或b的取值范圍時(shí),實(shí)際上是將不等式組表示的范圍擴(kuò)大了.

2.引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么平面區(qū)域發(fā)生了變化,但4a-2b的取值范圍卻仍然一樣呢?(如圖3)

利用TI圖形計(jì)算器的繪圖功能,我們將兩個(gè)不等式組所表示的平面區(qū)域放在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中,讓學(xué)生直觀感受到可行域的擴(kuò)大,但是由于取得最大最小值的點(diǎn)卻沒有發(fā)生改變,導(dǎo)致兩種解法出現(xiàn)了一樣的結(jié)果.但同時(shí),學(xué)生產(chǎn)生了一個(gè)疑問：即使可行域擴(kuò)大了,是不是不會(huì)影響到最終結(jié)果呢?

3.設(shè)置疑問：若目標(biāo)函數(shù)改為“f(2)=4a+2b”,同學(xué)A與B的解題方法還能得出一樣的結(jié)果嗎?(如圖3)

圖3

圖4

在TI圖形計(jì)算器中,我們通過移動(dòng)目標(biāo)函數(shù),得出原題中是在A,B兩點(diǎn)處取得最值,但擴(kuò)大后的平面區(qū)域卻是在C,D兩點(diǎn)處取得最值,顯然目標(biāo)函數(shù)的取值范圍也跟著擴(kuò)大了.TI圖形計(jì)算器的使用,使學(xué)生直觀感受可行域的擴(kuò)大對“f(2)=4a+2b”的取值范圍的影響,從而得出結(jié)論：若將兩個(gè)互相制約變量的取值范圍分離,會(huì)導(dǎo)致不等式組的范圍擴(kuò)大而出錯(cuò).

問題二放縮法在不等式求解中的應(yīng)用問題

在絕對值不等式的證明題中,我們可以利用不等號(hào)的傳遞性進(jìn)行證明,也就是我們常說的放縮法.比如,我們要證明“|x-1|+|x+2|＞2恒成立”,我們可以利用絕對值的三角不等式“|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3”和“3＞2”得證.由于方法簡單快捷,一般學(xué)生都掌握得比較好,同時(shí)也有較多的學(xué)生會(huì)應(yīng)用到絕對值不等式的求解中,但不等式的求解必須做到“同解變形”,因此導(dǎo)致出錯(cuò).

例2解不等式|x-1|+|x+3|≥6.

解因?yàn)閨x-1|+|x+3|≥|(x-1)+(x+3)|=|2x+2|,又因?yàn)閨x-1|+|x+3|≥6,所以|2x+2|≥6,解得x≤-4或x≥2,所以不等式的解集為(-∞,-4]∪[2,+∞)

問題二中學(xué)生出錯(cuò)的主要原因是在不等式求解中運(yùn)用了放縮法,放縮法的主要問題在于有可能將范圍擴(kuò)大或縮小了,而不等式的求解要求的是同解變形,范圍的擴(kuò)大或縮小都可能導(dǎo)致解集發(fā)生改變.傳統(tǒng)的教學(xué)中,教師的講解的直觀性不強(qiáng),而且不能很好地說清楚不能簡單放縮的原因.針對以上問題,我做了一些改進(jìn)：

1.在TI圖形計(jì)算器中繪制函數(shù)y=|x-1|+|x+3|,y=|2x+2|,y=6的圖象.(如圖5)

圖5

2.觀察并總結(jié)函數(shù)y=|x-1|+|x+3|與y=|2x+2|的圖象在什么位置重合,什么位置不重合.

結(jié)論在區(qū)間(-∞,-3]和[1,+∞)圖象重合；在區(qū)間(-3,1)不重合.

3.觀察函數(shù)圖象思考下列問題：

(1)不等式|x-1|+|x+3|≥6和|2x+2|≥6的解集是否相同?

(2)不等式|x-1|+|x+3|≥3和|2x+2|≥3的解集是否相同?

結(jié)論當(dāng)y=6時(shí),由于交點(diǎn)在圖象重合部分,因此|x-1|+|x+3|≥6和|2x+2|≥6的解集相同；但當(dāng)y=3時(shí),由于交點(diǎn)在圖象不重合部分,因此|x-1|+|x+3|≥3和|2x+2|≥3的解集不相同.

通過設(shè)問的形式層層深入,并利用TI圖形計(jì)算器的繪圖功能直觀展示,使學(xué)生對放縮法的理解理深一層.

在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中,不等式是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn),主要用于不等關(guān)系與他們的恒等變換的基礎(chǔ)相背,導(dǎo)致在理解中無法直接轉(zhuǎn)換.因此,我們要注重培養(yǎng)他們不等關(guān)系的意識(shí).在以后的學(xué)習(xí)過程中慢慢的認(rèn)識(shí)不等式,理解不等關(guān)系.這就需要我們老師在高一教學(xué)之初就要有遠(yuǎn)瞻的目光,不光要注意到現(xiàn)今學(xué)段的內(nèi)容,更要對日后的學(xué)習(xí)有所鋪墊.TI圖形計(jì)算器輔助不等式教學(xué)的效果非常明顯,不但增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)不等式的信心,還使學(xué)生的直觀想象能力得到了提升.