閔駿祥

也許是對數(shù)學(xué)情有獨(dú)鐘，自從我進(jìn)高中以來，我從未放棄過遇到的任何一道難題．通法解不了的，多觀察，用特殊的方法解．代數(shù)方法解不了的，就用圖象來輔助求解．多做嘗試，多轉(zhuǎn)換思路，多變動審題視角．哪怕實(shí)在解不出，我也會將其記錄下來，在日后的學(xué)習(xí)過程中將其攻克．好的數(shù)學(xué)思維絕不是短時間形成的，只有通過長期的思考和積累才能鍛煉出來．如果不是天才，那么我們只有思考得比別人多，花的時間比別人長，才可能擁有比別人好的數(shù)學(xué)成績．

下面我就通過學(xué)習(xí)過程中遇到的一道難題，在探究解決的過程中發(fā)現(xiàn)了一個特別的方法，與同學(xué)們分享交流一下．

題目已知函數(shù)f（x）=|ax-1|（a＞1）的圖象為曲線C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若P為曲線C上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與原點(diǎn)O重合），曲線C上存在點(diǎn)Q使得OP⊥OQ，則實(shí)數(shù)a的取值集合是______．

一、解題歷程

分析一將y=ax（a＞1）的圖象向下平移1個單位長度得到y(tǒng)=ax-1的圖象，再將x軸下方的圖象沿x軸對稱翻折到上方得到f（x）的圖象，取點(diǎn)Q，點(diǎn)P，使OP⊥OQ，如圖1．由垂直得到兩直線的斜率乘積等于-1，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出斜率．

探索一

先討論下點(diǎn)P，Q關(guān)于y軸的位置：

①點(diǎn)P，Q在y軸的同側(cè)：

則kOP與kOQ同號，乘積取不到負(fù)1，所以不成立．

②點(diǎn)P，Q在y軸的異側(cè)：

不妨先設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜0＜x2），得到．

圖1

由于x≠0，所以無法確認(rèn)函數(shù)的單調(diào)性．

圖2

于是我便去尋求幫助，先是借助了網(wǎng)絡(luò)，看了下網(wǎng)上的解題過程，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)上直接由①g（x）在｛x|x≠0｝上單調(diào)遞減，②g（x1）=，得出a=e，我并不理解也不認(rèn)可這一步過程．用幾何畫板畫出的圖象后發(fā)現(xiàn)，對于任意g（x1）（x1＜0）都有一個g（x2）（x2＞0）與之互為倒數(shù)，但僅憑這個函數(shù)圖象并不能幫助我解決最初的難題．

看來我必須要回過頭來，再好好想一想．

疑問：網(wǎng)上的答案a=e是正確解嗎？如果正確，為什么會具有唯一性？這道題這么復(fù)雜，是不是可以簡化呢？是不是有什么條件我沒有利用到，沒有看透呢？

分析二絕對值的存在使得函數(shù)的性質(zhì)及其圖象變得相當(dāng)復(fù)雜，這一點(diǎn)很不利于我的分析思考，那如果將絕對值去掉可不可行呢？這樣做又會有什么效果呢？雖然這種嘗試有些盲目，但是化繁為簡的數(shù)學(xué)思想是起到了一定的引領(lǐng)作用的．我似乎抓住了什么，有了一點(diǎn)新的思路．趕緊試一試！

探索二之前的探索并非無功而返，P，Q一定是在y軸兩側(cè)取點(diǎn)，即P，Q在原點(diǎn)O的兩側(cè)．

不妨令P（x1，y1）在原點(diǎn)左側(cè)，Q（x2，y2）在原點(diǎn)右側(cè)，即x1＜0＜x2，由OP⊥OQ，得．

我們想一下，對于脫去了絕對值的函數(shù)y=ax-1而言，P的位置發(fā)生了變化，不妨記之為P′，即將P（x1，y1）變?yōu)镻′（x1，-y1），如圖3，此時kOP′·kOQ=1，因?yàn)槲覀兗僭O(shè)了P在原點(diǎn)左側(cè)，如果P在右側(cè)，則Q的位置相應(yīng)地變化為Q′（x2，-y2），最后類似得到kOP·kOQ′=1．

既然跟斜率、跟原點(diǎn)都有關(guān)系，我又試著在原點(diǎn)處作切線l1，記l1的斜率為k，k=f′（0）=lna．此時我腦海中靈光一現(xiàn)，聯(lián)想到a=e，使我想到了lne=1．瞬間接上了，斜率乘積等于1．

此刻我的內(nèi)心無比激動，很顯然，之前的努力并沒有白費(fèi)．由斜率想到切線，打通了我的思路．

我們先簡化下原題：

【等價題】已知函數(shù)y=ax-1（a＞1）的圖象為曲線C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若P為曲線C上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與原點(diǎn)O重合），曲線C上存在點(diǎn)Q使得kOP·kOQ=1，則實(shí)數(shù)a的取值集合是________．

圖3

我們根據(jù)兩點(diǎn)P，Q的相對位置分兩種情況思考：

（1）點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)Q在原點(diǎn)右側(cè)，連結(jié)OP，OQ，如圖4．

此時kOP與kOQ的乘積為1，過原點(diǎn)的切線斜率為lna，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)kOP＜lna，kOQ＞lna．

i）當(dāng)a＞e時，lna＞1，kOP＜lna，而kOQ＞lna＞1，

不妨取點(diǎn)P0使kOP0∈（1，lna），則若存在Q0，必有，與kOQ0＞1矛盾．

圖4

如：當(dāng)lna=4時，取kOP0=2，與kOQ恒大于1矛盾，所以不成立．

ii）當(dāng)a=e時，lna=1，kOP∈（0，1），kOQ∈（1，+∞），符合題意．

iii）當(dāng)1＜a＜e時，0＜lna＜1，kOP＜lna＜1，則故在其取值范圍（lna，+∞）內(nèi)，符合題意．

所以當(dāng)a≤e時，對于任意點(diǎn)P，都有一個與之對應(yīng)的點(diǎn)Q使得kOPkOQ=1．

（2）點(diǎn)P在原點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)Q在原點(diǎn)左側(cè)，連結(jié)OP，OQ，如圖5．

圖5

此時kOP與kOQ的乘積為1，進(jìn)行觀察后發(fā)現(xiàn)kOP＞lna，kOQ＜lna．

i）當(dāng)a＞e時，lna＞1，kOP＞lna＞1，kOQ=，故在其取值范圍（0，lna）內(nèi)，符合題意．ii）當(dāng)a=e時，lna=1，kOP∈（1，+∞），kOQ∈（0，1）符合題意．

iii）當(dāng)a＜e時，1＞lna＞0，kOP∈（lna，+∞），kOQ＜lna＜1，

取點(diǎn)P0使kOP0∈（lna，1），則若存在Q0使得，與kOQ0＜1矛盾．

所以當(dāng)a≥e時，對于任意一點(diǎn)P都有一個與之對應(yīng)的點(diǎn)Q使得kOPkOQ=1．

根據(jù)（1）（2）可得當(dāng)且僅當(dāng)a=e時，對于任意一點(diǎn)P（點(diǎn)P不與原點(diǎn)O重合），曲線C上存在點(diǎn)Q使得kOPkOQ=1．

終于探究完了，看著上面的詳細(xì)分析與解答，很難想象，這是由我自己獨(dú)立完成的．我很自豪，也很開心．

二、推廣拓展

看著這題目，我是越看越喜歡，就想著是否可以推廣，我相信，我找到的這個方法具有一定的普適性．

推廣一：改變a的范圍．

當(dāng)0＜a＜1時，先去絕對值，在原點(diǎn)處作該函數(shù)圖象的切線得到k=f′（0）=-1，如圖6，從而得到．

圖6

推廣二：從指數(shù)函數(shù)推廣到對數(shù)函數(shù)．

若將題目中的f（x）改為f（x）=|logax|（a＞1），先去絕對值，再作x=1處的切線得到k=f′（1）=1，如圖7，從而得到a=e．

推廣三：從已知函數(shù)推廣到含冪函數(shù)y=xa的函數(shù)f（x）=|xa-b|（x＞0），

（1）a＞1，

圖7

圖8

（2）0＜a＜1，

（3）a＜0，

圖9

如f（x）=|x-1-1|，a=-1．

對于此類帶絕對值的函數(shù)，以轉(zhuǎn)折點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，另外兩點(diǎn)分別在兩段曲線上的題目，都可以先去絕對值，再用作切線的方法處理．在解決這個問題的過程中，思考時的緊張，探索時的專注，解決問題后的成就感和推廣之后的滿足感，無一不使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿樂趣．