徐子茗

在高中一年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我印象最深刻的當(dāng)屬向量了，作為一種溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的利器，向量在處理很多問(wèn)題時(shí)有著無(wú)與倫比的優(yōu)越性．如三角形重心問(wèn)題，我們知道三角形中三條中線交于一點(diǎn)稱為重心，并且重心分中線形成的線段長(zhǎng)度之比為2∶1，如何證明這一結(jié)論，用傳統(tǒng)的方法證明大費(fèi)周章，而用向量法則簡(jiǎn)單明了．

如圖，E，F(xiàn)分別為邊AC，AB的中點(diǎn)，G為△ABC的重心．

圖1

而后的學(xué)習(xí)中，我們又多次與“算兩次”不期而遇：

例1如圖，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且求．

圖2

例2兩角差的余弦公式的推導(dǎo)證明．

設(shè)a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），向量a，b的夾角為θ，則cosθ=cos（α-β）．

一方面a·b=（cosα，sinα）·（cosβ，sinβ）=cosαcosβ+sinαsinβ，

另一方面a·b=|a|·|b|cosθ=cos（α-β），

于是有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

例3數(shù)列中的子數(shù)列問(wèn)題．

已知等差數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=2n-1，ak1，ak2，ak3，…，akn構(gòu)成等比數(shù)列，其中k1=1，k2=2，求數(shù)列｛kn｝的通項(xiàng)公式．

一方面，在等差數(shù)列中，akn=2kn-1，

另一方面，在等比數(shù)列中，akn=3n-1，

通過(guò)上面的例子，想必同學(xué)們對(duì)“算兩次”有了更深入的理解：對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，從兩個(gè)不同的角度，運(yùn)用兩種不同的方式計(jì)算兩次，借助“殊途同歸”的等量關(guān)系，達(dá)到出奇制勝的效果．簡(jiǎn)單的說(shuō)，我理解的“算兩次”就是“一方面，另一方面，綜合可得”．其實(shí)，我們對(duì)“算兩次”思想并不陌生，早在小學(xué)時(shí)我們就自覺使用過(guò)，如做算術(shù)題時(shí)要保證正確率我們需要再算一次，但如果只是循規(guī)蹈矩完全重復(fù)算一遍是很難發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的，所以要盡可能采取不同的路徑（如減法用加法檢驗(yàn)，除法用乘法檢驗(yàn)等）；又如初中計(jì)算如圖3所示的正方形面積時(shí)，一方面看整體，面積為（a+b）2；另一方面，化整為零，四個(gè)矩形的面積和為a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，于是得到平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，是不是很直觀？

圖3