劉永瑞

線面平行可以通過線面平行的判定定理，或線面平行是立體幾何的重要問題．證明者是面面平行的性質(zhì)來證明，其中主要還是要依靠線面平行的判定定理，即通過線線平行證明線面平行，因此尋找線線平行是解決問題的關(guān)鍵所在．

常見的線線平行主要從平面幾何的相關(guān)定理、線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理等途徑得到，下面我們舉例來說明．

例1如圖1，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，若四邊形ABCD是平行四邊形，求證：MN∥平面PAD．

圖1

分析1本題條件中有M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，線段中點(diǎn)讓我們聯(lián)想到三角形的中位線，中位線平行于底邊，我們可以利用這一點(diǎn)構(gòu)作輔助線．

證明1如圖2，取PD的中點(diǎn)K，連結(jié)NK，AK，則NK是△PCD的中位線，所以NK∥CD，且又因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形且M是邊AB的中點(diǎn)．所以AM∥CD，且，所以AM∥NK且AM=NK，則四邊形AMNK為平行四邊形，所以MN∥AK．又因?yàn)镸N?平面PAD，AK?平面PAD，所以MN∥平面PAD．

圖2

分析2我們還可以反過來思考，既然要證明MN∥平面PAD，那么如果過MN作一個(gè)平面與平面PAD有一條交線，則MN自然應(yīng)該與這條交線平行，我們可以用這種方法來探尋與MN平行的直線．

證明2如圖3，連結(jié)CM并延長與DA的延長線交于點(diǎn)K，連結(jié)PK．因?yàn)镃B∥AK，M是AB的中點(diǎn)，所以M也是CK的中點(diǎn)．又N是PC的中點(diǎn)，則MN是△PCK的中位線，所以MN∥PK．又因?yàn)镸N?平面PAD，PK?平面PAD，所以MN∥平面PAD．

圖3

總結(jié)1．在這個(gè)例子中，無論證法1，還是證法2，都充分利用中點(diǎn)聯(lián)想到平面幾何中的中位線、平行四邊形，因此利用平面幾何的相關(guān)定理和結(jié)論能幫助我們尋找到線線平行；平面幾何中涉及線線平行的其他結(jié)論，比如由對應(yīng)線段成比例推得兩直線平行，平面內(nèi)垂直于同一直線兩直線平行等等也常常會用到．

2．事實(shí)上，證法1與證法2的另一個(gè)共同點(diǎn)就在于都是過MN作了一個(gè)平面，使該平面與平面PAD相交，那么證明MN與這條交線平行就是我們要找的線線平行．

例2 如圖4，平行四邊形EFGH的頂點(diǎn)分別在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，求證：BD∥平面EFGH．

圖4

分析本題中主要條件就是平行四邊形EFGH，它提供了線線平行，但并不能直接用于證明BD∥平面EFGH，而線線平行可以先轉(zhuǎn)為線面平行，再用線面平行的性質(zhì)定理，轉(zhuǎn)化為線線平行，通過這種路徑也能得到我們需要的線線平行．具體證明如下：

證明因?yàn)樗倪呅蜤FGH是平行四邊形，

所以EH∥GF．

又因?yàn)镋H?平面BCD，F(xiàn)G?平面BCD，

所以EH∥平面BCD．

又因?yàn)镋H?平面ABD，平面BCD∩平面ABD=BD，

所以EH∥BD．

又因?yàn)锽D?平面EFGH，EH?平面EFGH，

所以BD∥平面EFGH．

總結(jié)通過線面平行的性質(zhì)定理，從線面平行中獲得線線平行，是一條尋找線線平行的重要方法．同樣的道理，我們還可以將面面平行的條件通過面面平行的性質(zhì)定理直接轉(zhuǎn)化為我們需要的線線平行．

例3如圖5，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，求證：EF∥平面BB1D1．

圖5

分析題中主要信息：①以正方體為載體；②EF分別與兩條異面直線A1D，AC垂直，要證明線面平行，也就是要求我們從垂直的信息中挖掘出平行關(guān)系，這使我們聯(lián)想到線面垂直的性質(zhì)定理，即垂直于同一平面的兩直線平行．證明如下：

證明如圖6，連結(jié)AB1，B1C，BD．

圖6

因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

所以DD1⊥AC．

又因?yàn)锳C⊥BD，BD∩DD1=D，

所以AC⊥平面BDD1B1．

又因?yàn)锽D1?平面BDD1B1，

所以BD1⊥AC．

同理可證，BD1⊥B1C．

所以BD1⊥平面AB1C．

因?yàn)镋F⊥A1D，A1D∥B1C，

所以EF⊥B1C．

又因?yàn)镋F⊥AC，B1C∩AC=C，

所以EF⊥平面AB1C，

所以EF∥BD1．

又因?yàn)镋F?平面BB1D1，BD1?平面BB1D1，

所以EF∥平面BB1D1．

總結(jié)本題解答過程就是著重于證明兩個(gè)線面垂直，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理，得到我們所需要的平行關(guān)系，可見這也是得到線線平行的一條路徑．