■河南省許昌高級(jí)中學(xué) 楊艷齊

在近幾年全國(guó)及各地的高考試題中，創(chuàng)新型試題不斷出現(xiàn)，給人耳目一新的感覺，究其實(shí)質(zhì)，基本是以函數(shù)的圖像性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)為平臺(tái)，構(gòu)造出新穎的題目，而且突顯“能力立意、合理區(qū)分”的命題追求。這就要求同學(xué)們?cè)谑炀氄莆蘸瘮?shù)圖像、函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)上認(rèn)真閱讀題目，理解題設(shè)要求和符號(hào)含義，收集整理有效信息，將問題適時(shí)轉(zhuǎn)化為已知問題加以解決。

例題已知函數(shù)f(x)與g(x)的公共定義域?yàn)镮，函數(shù)h(x)滿足：對(duì)任意x∈I，點(diǎn)(x，h(x))與點(diǎn)(x，g(x))均關(guān)于點(diǎn)(x，f(x))對(duì)稱。若f(x)=al nx—x2+a x(a＞0)，g(x)=ex+1，其中e=2.7 1 82 8…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。有下列命題：

①當(dāng)a=1時(shí)，曲線y=h(x)在x=1處的切線斜率為—e—2；

②當(dāng)a=1，x∈[1，+∞)時(shí)，函數(shù)h(x)的值域?yàn)?—∞，—e—1]；

③若函數(shù)f(x)在(0，2)內(nèi)不單調(diào)，則a的取值范圍為(0，2)；

④設(shè)函數(shù)F(x)=bl n[g(x)—1]+f "(x)+2x—a，其中b＞0，f "(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)。若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，函數(shù)F(x)的圖像為C，則對(duì)任意的點(diǎn)M∈C，都存在唯一的點(diǎn)N∈C，使得t a n∠MON=b。

其中真命題的個(gè)數(shù)為( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

詳細(xì)解答：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用。

由題意可知I=(0，+∞)，h(x)=2f(x)—g(x)=2al nx—2x2+2a x—ex—1(x＞0)，所以h "(x)=

命題①，當(dāng)a=1時(shí)，h "(1)=2—4+2—e=—e，故命題①錯(cuò)誤。

命題②，當(dāng)a=1時(shí)，由①知h "(1)=—e，又因?yàn)閤∈[1，+∞)時(shí)，h″(x)=—2x—2—4—ex＜0，所以h "(x)＜h "(1)=—e＜0，h(x)在[1，+∞)上單調(diào)遞減，所以h(x)≤h(1)=—e—1，故命題②正確。

命題③，由題意可知f "(x)=a—2x+x a=0在x∈(0，2)內(nèi)有解，又因?yàn)閍＞0，所以f "(x)在x∈(0，2)內(nèi)單調(diào)遞減，所以有f "(0)·f "(2)＜0。又因?yàn)?＞0，故f "(2)＜0，即解得故命題③錯(cuò)誤。

圖1

命題④，化簡(jiǎn)整理得F(x)其大致圖像如圖1，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)的漸近線的斜率為t a nθ=b，由圖可知，當(dāng)θ＞4 5°時(shí)，不存在符合題意的點(diǎn)N，故命題④錯(cuò)誤。

故本題正確答案為A。

易錯(cuò)項(xiàng)分析：本題易錯(cuò)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性及求極值時(shí)沒有注意對(duì)參數(shù)的討論，沒有考慮利用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題，不熟悉對(duì)勾函數(shù)的漸近線性質(zhì)。對(duì)于基本函數(shù)，我們一定要掌握其性質(zhì)。

歸納總結(jié)：題設(shè)中的新定義涉及三個(gè)函數(shù)，其中有了f(x)和g(x)之后，h(x)就被確定了。我們逐一分析這三個(gè)函數(shù)。

f(x)是由對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)組合而成的函數(shù)，但是含有參數(shù)a，也就是說，f(x)的解析式隨a的變化而變化。幸運(yùn)的是，題中給出了關(guān)于g(x)的函數(shù)方程。不要急著研究h(x)，先看4個(gè)命題。

命題①和②都是在a=1時(shí)研究h(x)的性質(zhì)，所以我們首先研究當(dāng)a=1時(shí)h(x)的解析式。當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=l nx—x2+x，又g(x)=ex+1，由題意，任取x0＞0，則點(diǎn)(x0，h(x0))與點(diǎn)(x0，g(x0))關(guān)于點(diǎn) (x0，f(x0))對(duì)稱，所以故h(x0)=2f(x0)—g(x0)=2 l nx0—2+2x—ex0—1。

所以h(x)=2 l nx—2x2+2x—ex—1。

下面逐一驗(yàn)證命題①，②。

①h "(x)=2—4+2—e=—e，故①錯(cuò)誤。

②當(dāng)x≥1時(shí)，h "(x)=—4x+2—ex＜0，故h(x)在[1，+∞)上單調(diào)遞減，所以h(x)≤h(1)=—e—1，值域?yàn)?—∞，—e—1]，故②正確。

接著看命題③。

③若函數(shù)f(x)在(0，2)上不單調(diào)，則f "(x)在(0，2)上有變號(hào)零點(diǎn)。

因?yàn)閒 "(x)=—2x+a，則—2x+a=0在(0，2)內(nèi)有解且無重根，把a(bǔ)分離出來，得

構(gòu)造函數(shù)u(x)=(x∈(0，2))，則＞0，故u(x)在(0，2)上單調(diào)遞增，u(0)=0，u(2)=，所以0＜a＜故命題③錯(cuò)誤。

最后看命題④。

④F(x)=bl n(ex+1—1)+，其中b＞0，a＞0。

F(x)就是我們通常所說的“對(duì)勾函數(shù)”(有的地方叫雙勾函數(shù)，耐克函數(shù))。對(duì)勾函數(shù)的圖像其實(shí)是雙曲線，如果換一個(gè)角度去看的話，和我們?cè)趫A錐曲線中學(xué)到的雙曲線并 曲曲無 線線二

圖，的就致2對(duì)有。中稱漸的軸近虛。線線既。就然是是雙雙

圖2

以y=x+為例。

當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)圖像無限趨近于y軸，當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)圖像無限趨近于直線y=x，故這個(gè)函數(shù)的圖形有兩條漸近線x=0和y=x。以此結(jié)論作推廣，函數(shù)(a，b＞0)有漸近線x=0和y=a x。

回到命題④。

F(x)=b x+有漸近線y=b x，其中b就是漸近線的斜率。

命題④的意思是說，總存在滿足題意的點(diǎn)M，N。

我們不妨從特殊值出發(fā)，對(duì)b進(jìn)行取值，驗(yàn)證幾個(gè)試一試。單則的函

不數(shù)數(shù)值的妨。圖取取像最b如常=圖1見3，a、。最=1簡(jiǎn)，一鈍支角

圖3

顯雙，正然曲切，線當(dāng)值時(shí)M為，∠，負(fù)NM值O不，N不在同為可能為1，不符合題意。

當(dāng)M，N在同一支雙曲線上時(shí)，從圖中能夠看出，∠MON始終小于

故當(dāng)b=1，a=1時(shí)，不存在M，N兩點(diǎn)，使得t a n∠MON=b。命題④錯(cuò)誤。

所以真命題只有1個(gè)，故選A。

練習(xí)：對(duì)于函數(shù)f(x)和g(x)，設(shè)a∈{x∈R|f(x)=0}，β∈{x∈R|g(x)=0}，若存在α，β，使得|α—β|≤1，則稱f(x)與g(x)互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”。若函數(shù)f(x)=ex—1+x—2與g(x)=x2—a x—a+3互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )。