王鵬遠(yuǎn)

目前關(guān)于信息技術(shù)和人工智能環(huán)境下教育變革的討論很熱烈，但多屬于宏觀的討論，多集中在技術(shù)對(duì)教學(xué)模式、學(xué)習(xí)主體、課堂革命、教學(xué)評(píng)價(jià)的影響等方面，而結(jié)合具體學(xué)科教學(xué)的討論明顯不足。本文僅就動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的影響作些初步的探索，與專家和教師同行切磋。

如何看待數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的作用

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念第9條是這樣表述信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)課程影響的：“現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，數(shù)學(xué)教學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生深刻的影響?！边@里把數(shù)學(xué)課程內(nèi)容擺在了第一位，足見(jiàn)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的重要性。

我們整個(gè)教學(xué)活動(dòng)都是圍繞現(xiàn)行教材進(jìn)行的，教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)都離不開(kāi)教科書(shū)。盡管教學(xué)方式靈活各異、學(xué)習(xí)方式多種多樣，但不管采取怎樣的教學(xué)和學(xué)習(xí)方式，最終都是要求學(xué)生更好地理解和掌握特定的教學(xué)內(nèi)容。

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容涉及內(nèi)容的選擇、編排和呈現(xiàn)方式。精心挑選和科學(xué)編排的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該能激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和好奇心，而不是讀來(lái)索然無(wú)味;精心挑選和科學(xué)編排的內(nèi)容應(yīng)該更能突出數(shù)學(xué)味道、啟發(fā)學(xué)生的理性思考，而不是把數(shù)學(xué)概念和結(jié)論簡(jiǎn)單地告知學(xué)生。隨著時(shí)代的進(jìn)步，教材的編輯應(yīng)該考慮到信息技術(shù)對(duì)其的影響。

課程改革后的教材已經(jīng)考慮到信息技術(shù)的因素，但由于信息技術(shù)發(fā)展的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超前于紙質(zhì)教科書(shū)的編輯出版，信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)的潛力也還未被人們充分認(rèn)識(shí)，因此當(dāng)前數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中信息技術(shù)的應(yīng)用還很不夠，還有很大的提升空間。

什么叫動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件是專為數(shù)學(xué)教學(xué)開(kāi)發(fā)的專業(yè)學(xué)科教學(xué)平臺(tái)。Mathematica是有近三十年歷史的專業(yè)性大型數(shù)學(xué)軟件，其計(jì)算與繪圖功能極為豐富強(qiáng)大，多年來(lái)已經(jīng)在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中被廣泛使用。開(kāi)發(fā)此軟件的Wolfram公司借助Mathematica的強(qiáng)大數(shù)學(xué)功能，于2011年推出可計(jì)算電子文檔格式CDF，使用戶能輕松實(shí)現(xiàn)文檔內(nèi)容的交互式處理。CDF支持多種文檔元素，如滑塊、菜單和按鈕，內(nèi)容包括格式化文本、表格、圖象、聲音和動(dòng)畫(huà)。此軟件功能強(qiáng)大，價(jià)格昂貴，且依賴于編程，所以不太適合中學(xué)使用。

現(xiàn)在已在國(guó)內(nèi)中學(xué)使用的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件主要有兩種，即幾何畫(huà)板和超級(jí)畫(huà)板。幾何畫(huà)板是20世紀(jì)80年代在美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金支持下推出的世界上第一個(gè)動(dòng)態(tài)幾何軟件。20世紀(jì)90年代幾何畫(huà)板中文版開(kāi)始在大陸推廣，受到不少數(shù)學(xué)和物理教師的喜愛(ài)。由于幾何畫(huà)板對(duì)代數(shù)方面的課程內(nèi)容支持不足，且對(duì)用戶的操作技巧要求略高，我國(guó)張景中院士主持的團(tuán)隊(duì)在1996年研發(fā)推出了具有我國(guó)自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的動(dòng)態(tài)幾何軟件，經(jīng)20多年的發(fā)展改進(jìn)，形成了“超級(jí)畫(huà)板”。

超級(jí)畫(huà)板吸收借鑒了幾何畫(huà)板的主要優(yōu)點(diǎn)，增加了符號(hào)計(jì)算、智能畫(huà)筆、公式表示、幾何推理以及編程環(huán)境等支持基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)需求的功能，其特征從動(dòng)態(tài)幾何發(fā)展到了動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)，更為易學(xué)好用。國(guó)外的GeoGebra、Cabri 3D等都屬于動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，它們共同的基本特點(diǎn)是所構(gòu)造的對(duì)象具有動(dòng)態(tài)性，在鼠標(biāo)拖動(dòng)或參數(shù)驅(qū)動(dòng)時(shí)，在保持預(yù)設(shè)關(guān)系的條件下運(yùn)動(dòng)變化，因而有很強(qiáng)的交互性。這類軟件適用于教與學(xué)的多個(gè)環(huán)節(jié)，且特別支持探究性學(xué)習(xí)，因而受到教育領(lǐng)域的廣泛好評(píng)。

舉一個(gè)正弦波疊加的例子以加深對(duì)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。如圖1中的幾個(gè)圖是正弦波疊加成為方波的過(guò)程，正弦波的疊加自然是基于三角級(jí)數(shù)的計(jì)算實(shí)現(xiàn)的。用鼠標(biāo)依此不斷地選擇按鈕“n增加到1”，屏幕將展現(xiàn)出從n=1逐次增加時(shí)正弦波疊加的過(guò)程，充分體現(xiàn)了人機(jī)交互功能。這個(gè)效果是紙質(zhì)教材不可能實(shí)現(xiàn)的。

類似的用于中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的例子還有很多，如圓面積公式的說(shuō)明、圓錐截線的展示、函數(shù)性質(zhì)的研究等。雖然動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件已經(jīng)在我國(guó)不少學(xué)校推廣了許多年，但尚未普及，大多數(shù)數(shù)學(xué)教師甚至還沒(méi)有見(jiàn)到過(guò)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，而且對(duì)于已經(jīng)應(yīng)用過(guò)這類軟件的老師也缺乏對(duì)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)深刻影響數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的整體認(rèn)識(shí)。

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的影響

1.對(duì)激發(fā)學(xué)生興趣與好奇心的作用

人工智能時(shí)代，數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于教會(huì)學(xué)生具體的知識(shí)和技能，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)應(yīng)該受到關(guān)注。數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)應(yīng)該從激發(fā)學(xué)生的興趣、好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和想象力入手，動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)能在這方面發(fā)揮一些作用。

我們以“ 函數(shù)概念的引入”一課為例來(lái)說(shuō)。函數(shù)是刻畫(huà)客觀世界運(yùn)動(dòng)和變化的數(shù)學(xué)模型，與實(shí)際生活聯(lián)系廣泛。函數(shù)又是從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)折的門檻，是教學(xué)的難點(diǎn)。我們認(rèn)為可以從函數(shù)的引入入手，借助信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)最佳的教學(xué)情境，化解這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。抽象的數(shù)學(xué)概念總需要從若干具體的事例出發(fā)抽出事物共同的本質(zhì)屬性。選擇怎樣的具體事例，提出怎樣的問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生思考是數(shù)學(xué)概念教學(xué)需要關(guān)注的，函數(shù)概念的教學(xué)尤其是這樣。

傳統(tǒng)教材是通過(guò)實(shí)例引入變量與函數(shù)，如汽車行駛的時(shí)間與路程的關(guān)系，電影院售出電影票的票價(jià)、張數(shù)與票房收入的關(guān)系等。課本的本意是從這些問(wèn)題入手，引導(dǎo)學(xué)生填表和列式，讓學(xué)生通過(guò)上述活動(dòng)思考：能否用含有x的式子表示y，繼而對(duì)其數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象和概括，從中認(rèn)識(shí)常量和變量的特征，并抽象出兩個(gè)變量互相聯(lián)系，當(dāng)其中一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)另一個(gè)變量唯一確定的數(shù)值，由此引出函數(shù)概念。

由于技術(shù)手段的限制，以上問(wèn)題都是通過(guò)靜態(tài)呈現(xiàn)的，不易凸顯函數(shù)是刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)和變化的數(shù)學(xué)模型。所列舉的實(shí)例顯得平淡，難以引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生思考的問(wèn)題單一，給學(xué)生造成的第一印象是：“函數(shù)就是一個(gè)變量能夠用含有另外一個(gè)變量的式子表達(dá)”，這其實(shí)并沒(méi)有突出函數(shù)概念的本質(zhì)。我們知道，對(duì)應(yīng)法則才是函數(shù)概念的要素，對(duì)應(yīng)法則多種多樣，解析式僅是表達(dá)函數(shù)對(duì)應(yīng)法則中的一種，函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不僅僅能用解析式表達(dá)，且有些函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則根本無(wú)法用解析式表達(dá)，所以函數(shù)的表示不等同于函數(shù)概念的本質(zhì)。

如果我們從一個(gè)問(wèn)題引入函數(shù)：紙盒的容積何時(shí)最大？把一個(gè)5厘米見(jiàn)方的正方形紙片剪去四角后折成一個(gè)紙盒，使紙盒的容積最大，剪去的小正方形的邊長(zhǎng)該是多少？如圖2，在動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)的課件中用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)X，四角小正方形的邊長(zhǎng)發(fā)生變化，右邊的紙盒同時(shí)發(fā)生變化。這個(gè)動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)課件生動(dòng)地把變化與對(duì)應(yīng)呈現(xiàn)在學(xué)生眼前。課件中有多個(gè)按鈕，可以根據(jù)教學(xué)需要打開(kāi)相應(yīng)的按鈕，例如可以動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)出四角正方形的邊長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)的紙盒容積等數(shù)據(jù)。數(shù)學(xué)有用、數(shù)學(xué)有趣，盡在不言中。抽象的函數(shù)以這樣的方式與學(xué)生見(jiàn)面，對(duì)照課本的例子，這個(gè)動(dòng)態(tài)課件即生動(dòng)又深刻。類似的例子還有很多。

我們?cè)O(shè)想，如果把動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)課件與紙質(zhì)的教科書(shū)的相關(guān)內(nèi)容配套，形成一系列立體化的教學(xué)資源，應(yīng)該是一種創(chuàng)新，且必將大大改善數(shù)學(xué)教學(xué)的面貌。如果能借助于網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)與教學(xué)同步的立體化教學(xué)資源，應(yīng)該有助于優(yōu)質(zhì)教育資源的共享，解決教育資源配置不平衡的問(wèn)題。

2.借助動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)的價(jià)值不僅在于激發(fā)學(xué)生興趣，更重要的是增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。還是通過(guò)一些實(shí)例說(shuō)明動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

傳統(tǒng)教學(xué)中研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，一般通過(guò)“列表、描點(diǎn)、連線”法，先畫(huà)出圖象，然后從觀察圖象的走勢(shì)得出函數(shù)性質(zhì)。在沒(méi)有計(jì)算機(jī)的情況下，由于計(jì)算繁復(fù)，只好選擇求值列表，畫(huà)出少許的點(diǎn)，再憑感覺(jué)連線畫(huà)圖象。其實(shí)，有了動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)的幫助，讓數(shù)據(jù)說(shuō)話是研究函數(shù)性質(zhì)更直接、更重要的方法，要知道快速計(jì)算是計(jì)算機(jī)的拿手好戲。如研究函數(shù)? 的單調(diào)性。我們從-3到3取了10個(gè)值，然后列表、描點(diǎn)、連線，得到函數(shù)圖象的是位于一三象限遞增的直線。根據(jù)已經(jīng)畫(huà)出的圖象不難得到函數(shù)在整個(gè)定義域是遞增的。

這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎？讓我們通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證以上結(jié)論。通過(guò)拖動(dòng)變量尺的滑鈕可以觀察函數(shù)變化過(guò)程中的一系列數(shù)據(jù)，在[-10，10]這個(gè)區(qū)間，函數(shù)確實(shí)是遞增的，但變量的范圍擴(kuò)大后，上述結(jié)論就不對(duì)了。在x=10時(shí)，函數(shù)值為20，但x大于10，函數(shù)就遞減了。為什么會(huì)出現(xiàn)前面的誤判呢，原因是我們犯了以偏概全的錯(cuò)誤，前面畫(huà)出的圖象僅僅是整個(gè)圖象的一小部分，如圖3。

于是問(wèn)題來(lái)了，對(duì)于二次函數(shù)我們也是取了-3到3中的幾組數(shù)據(jù)，而后列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)出的圖象，是否也會(huì)出現(xiàn)“以偏蓋全”的誤判呢？當(dāng)x從0增加到20、50、100，…，情況怎么樣？畫(huà)圖驗(yàn)證太費(fèi)時(shí)費(fèi)力，但借助動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀察大數(shù)據(jù)卻輕而易舉。當(dāng)然，依靠大數(shù)據(jù)可以支持的猜想，最后還需要補(bǔ)充邏輯證明。研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)應(yīng)該特別關(guān)注對(duì)函數(shù)解析式特點(diǎn)的研究。當(dāng)學(xué)生的知識(shí)還達(dá)不到邏輯論證的水平時(shí)，讓數(shù)據(jù)說(shuō)話是對(duì)函數(shù)性質(zhì)最好的說(shuō)明。這涉及對(duì)現(xiàn)行教材的改造，這部分教學(xué)內(nèi)容的整體編排和呈現(xiàn)應(yīng)更加體現(xiàn)數(shù)學(xué)特有的理性思考。研究函數(shù)性質(zhì)不單純依靠傳統(tǒng)“列表、描點(diǎn)、連線”畫(huà)圖的方法，有時(shí)可以借助分析函數(shù)解析式的特點(diǎn)，或借助動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)提供的動(dòng)態(tài)計(jì)算得出的大數(shù)據(jù)獲得函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)信息。

借助動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解是很有意義的研究課題。

3.動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)促進(jìn)學(xué)生的自主探究

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中還提到“學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念、結(jié)論、技能的學(xué)習(xí)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，提倡自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流，閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式?！眲?dòng)態(tài)數(shù)學(xué)為這種學(xué)習(xí)方式提供了理想的平臺(tái)。

如“有關(guān)費(fèi)馬點(diǎn)的探尋”課例。費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形中這樣一個(gè)點(diǎn)，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離的和最短。這在歷史上曾經(jīng)是一個(gè)難題，經(jīng)過(guò)多年的探索才得到答案?，F(xiàn)在借助動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法可以很快發(fā)現(xiàn)這個(gè)點(diǎn)的位置。我們選擇每個(gè)內(nèi)角都小于120°的三角形在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)步驟為：在計(jì)算機(jī)上畫(huà)出三角形ABC，任取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC;測(cè)量PA、PB、PC的長(zhǎng)，并計(jì)算三者之和;拖動(dòng)點(diǎn)P，觀察屏幕上數(shù)據(jù)的變化，猜測(cè)費(fèi)馬點(diǎn)的位置;用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件的作圖功能作出費(fèi)馬點(diǎn);測(cè)量費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)距離之和，拖動(dòng)點(diǎn)P驗(yàn)證費(fèi)馬點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離之和最小;與計(jì)算機(jī)的圖形對(duì)應(yīng)給出完整的證明;通過(guò)鼠標(biāo)拖動(dòng)改變?nèi)切涡螤?，考慮一個(gè)內(nèi)角等于或大于120°的情況;寫(xiě)出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。

還可以將活動(dòng)進(jìn)行延伸：查閱費(fèi)馬點(diǎn)提出的歷史、查閱費(fèi)馬其人其事、提出與費(fèi)馬點(diǎn)相關(guān)的更多值得探究的問(wèn)題。可以結(jié)合這次探究活動(dòng)組織課外閱讀，專題報(bào)告或討論會(huì)，撰寫(xiě)數(shù)學(xué)小論文。

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)探究提供了理想的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，我們可以借此組織豐富多彩的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。

作者單位：北京大學(xué)附屬中學(xué)