程 琳，翟立朋

(1.西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048；2.西安交通大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710049)

在大學(xué)物理實驗中磁聚焦法常常被用來測量電子的比荷[1]. 電子的比荷是電子最基本的屬性，也是重要的物理學(xué)常量，其測量在近代物理學(xué)的發(fā)展歷史中具有重大意義，電子的比荷非常小，到目前為止還沒有直接測量的方法，所以常常需要借助電子在電磁場中的運動來進(jìn)行測量，如磁聚焦法、湯姆遜法、濾速器法和磁控法等. 同時，磁聚焦方法除了被用于測量電子的比荷，也可以用來測量地球磁場[2],在工程上也有廣泛的應(yīng)用. 電子束的磁聚焦，一般是將陰極發(fā)射的熱電子，先經(jīng)過加速電場后再經(jīng)過磁場和交變電場偏轉(zhuǎn)，最后達(dá)到聚焦的目的. 單個電子的運動非常容易理解，但是一系列電子的行為往往不太容易理解聚焦具體是如何形成的[3]，并且大部分文獻(xiàn)中關(guān)于磁聚焦原理的闡述都關(guān)注于電子在磁場中的運動[4-6]，雖然給出過可視化的磁聚焦模型[7]，但對電子在偏轉(zhuǎn)電場中的運動闡述較少. 本文通過數(shù)值方法，基于電子在電磁場中的動力學(xué)模型，最終計算出電子位置隨時間的變化關(guān)系，直觀地仿真出電子在電磁場中的運動，構(gòu)建帶電粒子在電場和磁場中的可視化的運動模型，有助于理解帶電粒子在復(fù)雜電磁場中的運動.

1 電磁聚焦的基本原理

以電子顯像管為例說明磁聚焦原理，如圖1所示，電子顯像管有直流加速、交流偏轉(zhuǎn)和直流勵磁3個重要的區(qū)域. 圖1中的軌跡描述的是單個電子在顯像管中的運動軌跡.

圖1 顯像管的構(gòu)造

熱激發(fā)產(chǎn)生的電子初速度一般都比較小，在經(jīng)過直流加速區(qū)后，會獲得如圖1所示x軸方向上的速度. 假設(shè)加速電壓為U，則經(jīng)過直流加速區(qū)后電子的速度vx滿足

(1)

則電子在達(dá)到如圖1所示的A點時，在x軸方向

上產(chǎn)生的速度可以表示為

(2)

電子以vx的速度經(jīng)過A點后，進(jìn)入交流偏轉(zhuǎn)電場，由于上下2個極板之間的正負(fù)屬性一直在不間斷地發(fā)生變化，所以在y軸方向上電子將會做相間的分段加速、減速運動，從而電子在y軸方向上會產(chǎn)生振蕩，而x軸方向由于沒有力的作用，將會一直做勻速直線運動. 由于電子束中不同的電子進(jìn)入交流偏轉(zhuǎn)電場的時刻不同，所以在y軸方向上的偏轉(zhuǎn)方向和角度就會產(chǎn)生差別，此時電子束會被發(fā)散，使得不同的電子在y軸方向上產(chǎn)生的分速度vy也不同，但是由于水平方向上所有電子的運動是一致的，都是勻速直線運動，所以最終會在1個周期之后，聚焦到點B處. 所以電場也有電子聚焦的功能和效應(yīng)，偏轉(zhuǎn)電場的目標(biāo)就是把電子聚焦到B處，使B處具有不同方向不同角度射出的電子.

如果將電子在B點的速度分解為水平方向上的vx和豎直方向上的vy，則電子在通過A點后，vx一直保持不變，而vy則隨著交變電場的變化而一直不間斷在做周期性變化，直到B點，vy大小取決于偏轉(zhuǎn)電壓的大小和周期，但是對后續(xù)磁聚焦并沒有定量影響，所以不做定量討論. 電子在經(jīng)過B點之后，由于具有x軸方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和y軸方向上的速度，所以在垂直與x軸的yz平面上電子將做勻速率圓周運動，在x軸上依然以vx的速度做勻速直線運動，這樣電子在磁場中就可以做如圖1所示的直流勵磁部分的螺旋運動.

在磁場中洛倫茲力提供電子運動的向心力，所以有

(3)

由(3)式可得到電子做圓周運動的半徑和周期為

(4)

(5)

電子通過B點后經(jīng)過1個周期T到達(dá)B1點，此時和B點相比因為圓周運動經(jīng)過了1個周期回到原處，而水平方向沿x軸平移h距離，即

(6)

將(2)式代入(6)式，可以得到

(7)

由(7)式可以看出，電子每經(jīng)過1個周期就會沿著x軸平移h，距離h為螺旋運動的螺距. 通過(7)式可以看出電子的螺距與電子的質(zhì)量m、電荷e、加速電場U、磁感應(yīng)強(qiáng)度B有關(guān)，所以在實際實驗測試中，只要測試設(shè)備的參量給定，螺距就是常量，同時在yz平面內(nèi)電子的圓周運動半徑R只與vy有關(guān). 所以對于1束電子束而言，所有電子的h相同但R不同，所以電子束在經(jīng)過B時會由于R不同而發(fā)散開，到B1點時又由于h相同而聚焦，這樣就形成了磁聚焦的效果. 在實驗中如果能測得螺距h，則可以根據(jù)(7)式計算電子的比荷，即

(8)

其中B為載流長直螺線管產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，螺線管中軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可表示為

(9)

其中Is為螺線管中的勵磁電流，N為螺線管的線圈匝數(shù)，L為螺線管的長度，P為螺線管的直徑. 將(9)式代入(8)式可以得到電子的比荷為

(10)

這樣即可得到電子的比荷.

2 電磁聚焦的動力學(xué)仿真模型

為了更清楚地描繪電子在電磁場聚焦中的具體運動情況，本文基于Matlab將電子運動的動力學(xué)方程在時間維度離散迭代，將電子運動的軌跡可視化，這樣更有利于理解磁聚焦的模型.

從t=0時刻開始，在時間維度以間隔Δt對時間進(jìn)行等分，如果時間間隔Δt足夠小，則任意時刻都可以表示為

t=NΔt.

(11)

其中N為任意1個整數(shù)，所以，只要能表示出任何時刻電子所受的作用力F(t)，由牛頓運動定律就可以表示出電子運動的加速度，即

(12)

因為前面假設(shè)了時間間隔Δt足夠小，所以電子在t到t+Δt之間的運動看作是勻變速直線運動，加速度a(t)可以從(12)式得到，如果已知t時刻電子的運動速度為v(t)，則t+Δt時刻電子的速度就可以表示為

v(t+Δt)=v(t)+a(t)Δt.

(13)

同理，如果已知t時刻電子所處的位置為r(t)，那么在t+Δt時刻電子的位置就可以表示為

(14)

從t到t+Δt時間也可以用勻速直線運動公式計算，只要是時間間隔Δt足夠小，結(jié)果就可以保證足夠精確. 同時，如果期望描述電子在三維空間的運動，直接將(13)式和(14)式分別寫成x,y,z方向上的速度和位移即可. 所以，只要知道某一時刻電子所處的初始速度和初始位移，時間以Δt為間隔進(jìn)行迭代，就可以求得后續(xù)任意時刻電子運動的速度和位移. 原則上，只要Δt足夠小，迭代結(jié)果也將足夠精確.

根據(jù)以上離散的動力學(xué)模型，在Matlab中按照如圖2所示的具體流程進(jìn)行仿真計算.

圖2 動力學(xué)仿真模型

先從變量初始化開始，動力學(xué)計算過程中，需要的變量有作用力F、加速度a、速度v和位移r，變量設(shè)好以后，給定電子運動的初始條件為

r(0)=0,

v(0)=0,

進(jìn)入循環(huán)之后因為偏轉(zhuǎn)電壓隨時間改變，導(dǎo)致加速度a、速度v和位移r都會隨著時間的迭代而產(chǎn)生改變. 這樣，隨著時間的迭代，就可以描述出電子運動的位移和速度等物理量.

從圖2的迭代模型可以看出，該動力學(xué)模型本質(zhì)上不局限于電磁聚焦問題，而是可以拓展. 只要能夠表示出物體所受的力F，并且該物體的運動符合牛頓運動定律，就可以對物體運動進(jìn)行動力學(xué)仿真，所以這種離散的動力學(xué)仿真方法可以被廣泛應(yīng)用到物體運動中.

3 電磁聚焦的結(jié)果與討論

根據(jù)上述離散的動力學(xué)模型，先計算帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場中的情況. 在此假設(shè)交變電場以U=U0cos (2πft)的形式變化，圖3所示為8個電子在交變偏轉(zhuǎn)電場中的運動軌跡，不同顏色的軌跡代表不同的電子. 從圖3中可以看出：1)每個粒子的運動軌跡都是正弦(或余弦)軌跡，但由于每個電子進(jìn)入交變電場中的時間都不一致，有的電子剛?cè)腚妶鼍烷_始向上偏轉(zhuǎn)，而有的電子剛?cè)腚妶鰟t向下偏轉(zhuǎn)，所以導(dǎo)致電子軌跡在剛進(jìn)入電場的A點開始發(fā)散,反映到軌跡的函數(shù)表達(dá)式上，這體現(xiàn)在軌跡函數(shù)表達(dá)式的初相位不同；2)不管電子如何發(fā)散，運動軌跡每過1個周期都會聚焦1次，如圖3所示，電子運動的軌跡分別聚焦在B，C，D，E點處；3)聚焦點的連線與x軸有一定的夾角，這是因為電子進(jìn)入交變電場中的時間并不是恰好在交變電場相位為零時進(jìn)入電場. 所以，只需要在電子經(jīng)過任意一聚焦點之后進(jìn)入磁場即可確保進(jìn)入磁場的電子是從同一位置發(fā)出的，并且在y軸方向具有不同的入射速度vy，從而滿足磁聚焦需要的條件. 所以，通過仿真可以清楚地看到，原本經(jīng)過加速電場后的電子只具有x軸方向的初速度，而交變電場的目標(biāo)就是為了使電子在進(jìn)入磁場之前具有y軸方向的速度.

圖3 電子在電場中的聚焦

電子在通過圖1所示的B點后，就進(jìn)入方向沿著x軸的勻強(qiáng)磁場(本文沒有考慮螺線管軸線上的磁場變化). 之后電子因為受洛倫茲力的作用在yz平面做圓周運動，因為經(jīng)過電場偏轉(zhuǎn)以后，不同粒子在y方向的速度vy不同導(dǎo)致圓周運動的半徑不同，但所有的螺旋運動都會聚焦到點B1,B2,B3,B4. 圖4所示為8個電子在磁場中的運動軌跡，清晰地描述了電子在磁場中的聚焦. 與電場聚焦不同的是，磁場中聚焦的連線是平行于x軸分布.

圖4 電子在磁場中的聚焦

實際電磁聚焦過程中，熱電子是可以連續(xù)不間斷地進(jìn)入磁場，所以電子的運動軌跡遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于圖4所模擬的8條. 如果增加電子個數(shù)，就會形成如圖5所示的一系列電子連續(xù)不斷進(jìn)入磁場中進(jìn)行聚焦的行為軌跡，即一系列半徑不同的螺旋軌跡. 如果逆著x軸方向觀察，在聚焦點的位置，熒光屏上觀察到的是1個點，這就是大學(xué)物理實驗中觀察到的最直觀的磁聚焦現(xiàn)象.

圖5 電子束在磁場中的聚焦

如果熒光屏位于除聚焦點之外的其他位置上，相當(dāng)于電子束沒有聚焦，這時如果逆著x軸方向觀察，則會看到1條線段，熒光屏所處位置不同，線段的長度和方向也不相同. 圖6所示為熒光屏位置x處于0～h之間的不同位置處，所觀察到的電子束的情況. 位置從0增大到螺距h的過程中，電子束在熒光屏上逐漸從1個點擴(kuò)展為線段，并且線段的長度先增大后減小，線段的方位角也一直不停地變化，方位角是順時針變化還是逆時針變化取決于螺線管中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，當(dāng)x=h時線段縮短為1個點， 與x=0的狀態(tài)重合，即經(jīng)過了1個周期. 有關(guān)線段長短的定量分析在文獻(xiàn)[8]中有詳細(xì)的論述. 圖6所示的現(xiàn)象也是在磁聚焦法測電子比荷實驗中調(diào)節(jié)聚焦點時直觀觀察到的現(xiàn)象.

圖6 位于x軸方向不同位置處觀察到y(tǒng)z平面內(nèi)電子束

4 結(jié)束語

電磁聚焦是常用的測量電子比荷的方法，本文基于Matlab對電子在電磁場中的聚焦行為進(jìn)行動力學(xué)仿真分析，形象直觀地闡述了電磁聚焦的行為過程. 可視化的仿真分析，可以讓學(xué)生更好地理解電磁聚焦的過程，并且將動力學(xué)仿真的方法拓展到所有符合牛頓運動定律的運動研究.