黃 燦，張遠(yuǎn)來，李京鴻，段燕芳

(山東科技大學(xué)，青島 266590)

0 引 言

三相永磁同步電機(jī)(以下簡稱PMSM)是一個(gè)強(qiáng)耦合、多變量的非線性復(fù)雜系統(tǒng)，具有體積小、效率高、可靠性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),在許多高精度控制場(chǎng)合被廣泛應(yīng)用。目前PMSM調(diào)速大都采用PI調(diào)節(jié)器進(jìn)行控制，但是當(dāng)電機(jī)內(nèi)部參數(shù)發(fā)生變化或者有外部擾動(dòng)時(shí)，傳統(tǒng)的PI控制算法難以實(shí)現(xiàn)理想的高精度的調(diào)速要求。因此，PMSM的控制系統(tǒng)中應(yīng)用了許多效果優(yōu)異的非線性控制方法，其中包括滑?？刂芠1]、預(yù)測(cè)控制[2]、魯棒控制[3]、自抗擾控制[4]等。

滑模變結(jié)構(gòu)控制由于其魯棒性強(qiáng)、對(duì)參數(shù)變化和外部擾動(dòng)不敏感等優(yōu)點(diǎn)，成為研究的熱點(diǎn)，并在電機(jī)控制系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[5]在等速趨近律中加入了系統(tǒng)狀態(tài)變量。該方法根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)距離平衡點(diǎn)的遠(yuǎn)近，自適應(yīng)調(diào)整等速趨近律的趨近速度，并減小抖振。文獻(xiàn)[6]采用最大轉(zhuǎn)矩電流比控制分配定子d，q軸電流，選取合適的積分滑模面和切換增益，增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)[7]通過引入非線性冪次組合fal函數(shù)，構(gòu)造了基于跟蹤偏差的變速趨近律，使得切換增益具有隨系統(tǒng)偏差自適應(yīng)調(diào)整的特性，抑制系統(tǒng)抖振。文獻(xiàn)[8]提出輸出受限約束下的變指數(shù)冪次趨近律，滿足無抖振、有限時(shí)間趨近滑模面、提高收斂速度的要求。

為了提高PMSM調(diào)速系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)性能,本文研究了一種變指數(shù)快速冪次趨近律的方法。在變指數(shù)冪次趨近律中加入純指數(shù)項(xiàng)和含有e-μ|s|項(xiàng)的函數(shù)，使系統(tǒng)狀態(tài)在趨近滑模面時(shí)收斂速度快，在滑模面上運(yùn)動(dòng)時(shí)抖振小。基于本文的趨近律，設(shè)計(jì)速度控制器，選取積分滑模面函數(shù)，在PMSM矢量系統(tǒng)中，與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制、PI控制進(jìn)行仿真對(duì)比，驗(yàn)證變指數(shù)快速冪次趨近律速度控制器的優(yōu)越性。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

為了方便控制器的設(shè)計(jì)，簡化分析，所選PMSM為表貼式，建立d，q坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型：

(1)

式中：ud和uq分別是定子電壓的d，q軸分量；id與iq分別是定子電流的d，q軸分量；R，Ls是d，q軸坐標(biāo)下的定子電阻與定子電感；p是電機(jī)磁極對(duì)數(shù)；ψf為永磁體磁鏈；TL是負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ωm是轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；B為摩擦系數(shù)[9]。

為了得到良好的控制效果，在表貼式PMSM控制系統(tǒng)中，令id=0。對(duì)式(1)進(jìn)行整理可得如下數(shù)學(xué)模型：

(2)

設(shè)計(jì)PMSM矢量控制系統(tǒng)的速度控制器，就是為了讓電機(jī)在任何工況下的實(shí)際轉(zhuǎn)速ωm能快速準(zhǔn)確地跟蹤給定轉(zhuǎn)速ω，所以定義PMSM的狀態(tài)變量：

x=ω-ωm(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行求導(dǎo)并結(jié)合式(2)得：

(4)

令u=iq，b=B/J，d=3pψf/(2J)，e=dω/dt，f=(Bω+TL)/J。把ω和TL的變化量當(dāng)作擾動(dòng)量，對(duì)式(4)進(jìn)行整理，可以得到PMSM轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)狀態(tài)方程：

(5)

式中：Δb，Δd，Δf是電機(jī)參數(shù)變化量。令η=-Δbx-Δdu+Δf，式(5)可以簡化：

(6)

2 滑模速度控制器設(shè)計(jì)

滑模速度控制器的設(shè)計(jì)需要選擇合理的滑模面和設(shè)計(jì)合適的控制律，使系統(tǒng)軌跡在控制律的作用下快速趨近滑模面并沿著滑模面運(yùn)動(dòng)。針對(duì)PMSM轉(zhuǎn)速控制方程式(6)進(jìn)行滑模面的選取與趨近律的設(shè)計(jì)。

2.1 積分滑模面的選取

傳統(tǒng)的滑模面函數(shù)中包含速度誤差的微分分量，容易產(chǎn)生高頻噪聲，引起系統(tǒng)抖振[10]。積分滑模面函數(shù)具有平滑轉(zhuǎn)矩、減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差、削弱抖振、增強(qiáng)控制器穩(wěn)定性的良好品質(zhì)，所以本文針對(duì)PMSM轉(zhuǎn)速控制方程式(6)選取積分滑模面函數(shù)，進(jìn)行速度滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)。積分項(xiàng)的s函數(shù)基本形式如下：

式中：k>0。

對(duì)式(7)進(jìn)行求導(dǎo)，得到積分滑模面如下：

(8)

k值的大小影響系統(tǒng)響應(yīng)趨于穩(wěn)定的快慢。k值越大，穩(wěn)定時(shí)間越短，但是k值太大，會(huì)加大滑模的抖振。k需要根據(jù)具體情況來選擇。

2.2 變指數(shù)快速冪次趨近律的設(shè)計(jì)

系統(tǒng)狀態(tài)在到達(dá)滑模面時(shí)并不是嚴(yán)格按照所設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)軌跡在滑模面上運(yùn)動(dòng)，而是在滑模面上下穿越，從而造成抖振。研究者為克服滑模控制的這一缺點(diǎn)，在等速趨近律、指數(shù)趨近律、冪次趨近律、一般趨近律的基礎(chǔ)上衍生出快速趨近律、多冪次趨近律等多種趨近律[11-13]，但大多都只是采用固定指數(shù)與固定增益的方法。本文在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了變指數(shù)快速冪次趨近律：

(9)

式中：ε>0，q>0，α>0，0<β<1，0<λ<1。

趨近律的第一部分是變指數(shù)冪次趨近項(xiàng)和含有指數(shù)項(xiàng)e-μ|s|的函數(shù)，第二項(xiàng)是純指數(shù)項(xiàng)。

1)當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)，|s|的值較大，e-μ|s|趨近于零，h(s)趨近于1/λ，增大了變指數(shù)冪次項(xiàng)的增益，提高了趨近速度。在系統(tǒng)狀態(tài)接近滑模面時(shí)，e-μ|s|趨近于1，h(s)趨近于1，變指數(shù)冪次趨近項(xiàng)的增益保持不變，保留變指數(shù)冪次趨近項(xiàng)的優(yōu)點(diǎn)。

2)當(dāng)|s|≥1時(shí)，變指數(shù)快速冪次趨近律|s|的指數(shù)是|s|/α，能使系統(tǒng)狀態(tài)快速趨近滑模面，解決了傳統(tǒng)冪次趨近律趨近速度慢的問題。

3)當(dāng)|s|<1時(shí)，變指數(shù)快速冪次趨近律|s|的指數(shù)是大于0小于1的常數(shù)，此時(shí)系統(tǒng)按照冪次趨近項(xiàng)和純指數(shù)項(xiàng)靠近滑模面，既減小了系統(tǒng)抖振，也增加了趨近滑模面的速度。

用經(jīng)典的系統(tǒng)對(duì)本文所設(shè)計(jì)的趨近律與冪次趨近律、指數(shù)趨近律對(duì)比分析?？紤]如下被控對(duì)象：

(10)

滑模函數(shù)：

(11)

式中：c>0。

跟蹤誤差：

(12)

式中：θd是理想位置信號(hào)。則：

(13)

式中：S為趨近律。

滑模控制器：

(14)

式中：c取15，指令信號(hào)θd(t)=sint。

冪次趨近律、指數(shù)趨近律、變指數(shù)快速冪次趨近律如下：

(a) 冪次趨近律

(b) 指數(shù)趨近律

(c) 變指數(shù)快速冪次趨近律

冪次趨近律、指數(shù)趨近律、變指數(shù)快速冪次趨近律仿真參數(shù)如表1所示。

表1 三種趨近律參數(shù)

三種趨近律仿真結(jié)果如圖1～圖3所示。相比指數(shù)趨近律、冪次趨近律的控制效果，變指數(shù)快速冪次趨近律無論是在趨近速度還是抑制抖振方面都有較好的優(yōu)點(diǎn)，在趨近運(yùn)動(dòng)中收斂速度快，滑模運(yùn)動(dòng)中無抖振。

圖1滑模面函數(shù)s隨時(shí)間t變化曲線

圖2控制輸入u隨t變化曲線

圖3不同趨近律相軌跡趨近過程

基于變指數(shù)快速冪次趨近律的優(yōu)點(diǎn)，采用該趨近律式(9)、系統(tǒng)狀態(tài)方程式(6)和滑模面函數(shù)式(8)可以得到速度控制器的表達(dá)式：

(15)

3 滑模速度控制器穩(wěn)定性分析

為了分析所設(shè)計(jì)的速度控制器的穩(wěn)定性，首先定義Lyapunov函數(shù)：

(16)

對(duì)V(x)求導(dǎo)，則有：

4 系統(tǒng)仿真及其分析

仿真對(duì)比變指數(shù)快速冪次趨近律滑模控制、指數(shù)趨近律滑模控制和PI控制。以表貼式三相PMSM矢量控制系統(tǒng)為例，應(yīng)用MATLAB/Simulink搭建系統(tǒng)模型，PMSM的參數(shù)如下：極對(duì)數(shù)p=4，定子電阻R=2.875Ω，定子電感Ls=8.5mH，永磁體磁鏈ψf=0.175Wb，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.000 8kg·m2，阻尼系數(shù)B=0.001N·m·s?；谧冎笖?shù)快速冪次趨近律速度控制器的PMSM調(diào)速系統(tǒng)框圖如圖4所示，其中Nr為實(shí)際電機(jī)轉(zhuǎn)速，Nref為給定電機(jī)轉(zhuǎn)速。

圖4基于變指數(shù)快速冪次趨近律速度控制器的PMSM調(diào)速系統(tǒng)框圖

上述三種控制方法的電流控制器均采用PI控制器，并且參數(shù)相同。仿真總時(shí)間為0.3s。仿真步驟如下：初始給定轉(zhuǎn)速200r/min，電機(jī)起動(dòng)時(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)矩為2N·m；在0.1s時(shí)，給定電機(jī)轉(zhuǎn)速600r/min；在0.2s時(shí)，電機(jī)負(fù)載由2N·m變?yōu)?N·m。

本文所設(shè)計(jì)的趨近律控制方法參數(shù)如下：k=2，εc=200，qc=200，α=18，β=0.5，λ=0.5；指數(shù)趨近律控制參數(shù)如下：c=55，εb=200，qb=300；PI控制器中比例增益kp=0.05,積分增益ki=0.25。

轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線如圖5所示。從圖5(a)可知，當(dāng)電機(jī)以給定速度起動(dòng)時(shí)，PI控制有超調(diào)，并且響應(yīng)一段時(shí)間才能恢復(fù)到給定轉(zhuǎn)速；指數(shù)趨近律控制雖然無超調(diào)，但趨近速度慢；變指數(shù)快速冪次趨近律趨近速度快，無超調(diào)。從圖5(b)可知，變指數(shù)快速冪次趨近律雖然都有一定量的超調(diào)，但是比PI控制、指數(shù)趨近律控制小得多。

(a) 0～0.1 s轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

(b) 0.1～0.2 s轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

圖5給定速度變化時(shí)轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化時(shí)轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線如圖6(a)所示，圖6(b)是0.25～0.29s轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線放大圖。從圖6可知，變指數(shù)快速冪次趨近律控制時(shí)受擾動(dòng)量小，在速度穩(wěn)定時(shí)抖振小。

(a) 0.2～0.3 s轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

(b) 0.25～0.29 s轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

圖6負(fù)載變化時(shí)轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

為了更好地比較仿真結(jié)果，以速度響應(yīng)無超調(diào)、響應(yīng)時(shí)間更短為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，從轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線得到速度響應(yīng)評(píng)價(jià)表，如表2所示。表2中的數(shù)據(jù)進(jìn)一步說明了變指數(shù)快速冪次趨近律控制響應(yīng)速度快，魯棒性強(qiáng)。

表2 速度響應(yīng)評(píng)價(jià)表

5 結(jié) 語

針對(duì)傳統(tǒng)趨近律趨近速度慢，滑模變結(jié)構(gòu)中固有抖振影響轉(zhuǎn)速系統(tǒng)性能的問題，設(shè)計(jì)了變指數(shù)快速冪次趨近律的控制方法。在變指數(shù)冪次趨近律的基礎(chǔ)上加入純指數(shù)項(xiàng)和含有e-μ|s|的函數(shù)，使系統(tǒng)狀態(tài)在遠(yuǎn)離滑模面時(shí)趨近速度快，在滑模面運(yùn)動(dòng)時(shí)抖振小?；谧冎笖?shù)快速冪次趨近律，設(shè)計(jì)了積分滑模速度控制器，用Lyapunov函數(shù)證明了控制器的穩(wěn)定性。在PMSM矢量控制系統(tǒng)中，該控制器與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器和PI控制器進(jìn)行了仿真對(duì)比。結(jié)果表明，變指數(shù)快速冪次趨近律速度控制器在跟蹤速度、抑制抖振和消除外部負(fù)載擾動(dòng)的影響等方面有較好的動(dòng)靜態(tài)表現(xiàn)，具有較強(qiáng)的魯棒性和自適應(yīng)性。