国产日韩欧美一区二区三区三州_亚洲少妇熟女av_久久久久亚洲av国产精品_波多野结衣网站一区二区_亚洲欧美色片在线91_国产亚洲精品精品国产优播av_日本一区二区三区波多野结衣 _久久国产av不卡

?

Kuramoto-Tsuzuki方程的Grank-Nicolson 差分格式

2019-03-23 03:16周麗岳超慧
關(guān)鍵詞:邊值問題歸納法收斂性

周麗,岳超慧

安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系, 安徽 合肥 230031

0 引言

Kuramoto-Tsuzuki 方程描述了在歧點(diǎn)附近兩個分支系統(tǒng)的行為狀況[1].一維Kuramoto-Tsuzuki 方程混合初邊值問題為

其中,Ω=(0,1),c1,c2為實(shí)數(shù),u(x,t),u0(x)為復(fù)函數(shù).

以上都是考慮一維Kuramoto-Tsuzuki 方程混合初邊值問題,二維情況下對Kuramoto-Tsuzuki方程數(shù)值解的研究很少出現(xiàn), 困難在于二維下非線性項(xiàng)|u|2u很難處理. 類似于Kuramoto-Tsuzuki方程的二維問題在文獻(xiàn)[7]中研究了λ-ω型反映擴(kuò)散系統(tǒng), 作者構(gòu)造了全離散的有限元逼近格式并證明了數(shù)值解的收斂性.

1 格式的建立

本文考慮下面二維Kuramato-Tsuzuki 方程混合初邊值問題:

ut=(1+ic1)Δu+u-(1+ic2)|u|2u(x,t)∈Ω×(0,T]

(1)

(2)

(3)

設(shè)v={vij|0≤i,j≤M},ω={ωij|0≤i,j≤M}為Ωh上的網(wǎng)格函數(shù), 定義內(nèi)積和范數(shù)

對方程(1)~方程(3)建立如下線性化Crank-Nicolson 型差分格式

(4)

(5)

2 解的存在性

首先引入下面的Brouwer不動點(diǎn)定理[8,9].

將(4)改寫為

當(dāng)v∈CM+1時, 分別將(Δhv,v)h,|v|1,h按定義展開得到

因此

對上式兩邊同時取實(shí)部得

3 截斷誤差

(1)當(dāng)1≤i,j≤M-1,0≤n≤N時

因此

(2)當(dāng)i,j=0,M時,由于

因此可得,當(dāng)i=0,M時有

(1)式兩邊對x1求導(dǎo)

可得當(dāng)i=0,M時

由于

所以

因此

因此由以上分析可得

同理可得

定理證畢.

4 先驗(yàn)估計

‖Un‖h≤C‖U0‖h0≤n≤N

其中,C=C(T).

兩邊取實(shí)部得

由離散Gronwall不等式得

‖Un‖h≤C‖U0‖h0≤n≤N

‖U‖q,h≤C‖U‖k,p,h

|Un|1,h≤C0n=0,1,2,…,N

其中,C0=C0(u0,T).

證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n=0時,引理顯然成立, 假設(shè)第n-1層結(jié)論成立|Un-1|1,h≤C0′,其中C0′是依賴于u0,T的常量.

兩邊同時取實(shí)部得

因此

由引理2,引理3和歸納假設(shè)

‖Un-1‖8,h≤C‖Un-1‖1,2,h

是有界的.由引理3得

因此

當(dāng)τ充分小時, 由離散Gronwall 不等式可得

|Un|1,h≤C0(u0,T)

5 解的唯一性

用數(shù)學(xué)歸納法證明解的唯一性.假設(shè)En-1=0,即Un-1=Wn-1,可以得到

兩邊同時取實(shí)部

當(dāng)τ充分小時

因此有歸納假設(shè)可得‖En‖h=0,即解唯一.

6 解的收斂性

‖Un-u(tn)‖h≤C(τ+h2) |Un-u(tn)|1,h≤C(τ+h2)

證明 由于

其中

(6)

(7)

假設(shè)u(x,t)在Ω×(0,T]有界, 則

由引理3知

由引理3

兩邊同時取實(shí)部得

當(dāng)τ充分小時, 由離散Gronwall 不等式得到

‖en‖h≤C(τ+h2)

(8)

由于

由引理3

當(dāng)τ充分小時, 由式(8) 遞推可得

|en|1,h≤C(τ+h2)

命題得證.

猜你喜歡
邊值問題歸納法收斂性
物理方法之歸納法
臨界Schr?dinger映射非齊次初邊值問題的有限差分格式
數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)直通車
帶有積分邊界條件的奇異攝動邊值問題的漸近解
Lp-混合陣列的Lr收斂性
WOD隨機(jī)變量序列的完全收斂性和矩完全收斂性
END隨機(jī)變量序列Sung型加權(quán)和的矩完全收斂性
用“不完全歸納法”解兩道物理高考題
數(shù)學(xué)歸納法在高考試題中的應(yīng)用
松弛型二級多分裂法的上松弛收斂性
华池县| 黑山县| 吴桥县| 张家口市| 堆龙德庆县| 武冈市| 城市| 山西省| 嘉兴市| 崇州市| 台北县| 工布江达县| 金平| 忻州市| 马山县| 博爱县| 彭泽县| 丰台区| 修文县| 兴国县| 乌兰浩特市| 武义县| 平山县| 龙山县| 扎鲁特旗| 白河县| 永定县| 泾源县| 玉山县| 安多县| 正蓝旗| 石狮市| 民丰县| 卓资县| 屏南县| 洛南县| 博野县| 昌图县| 杭锦后旗| 乌鲁木齐县| 黄大仙区|