周麗,岳超慧
安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系, 安徽 合肥 230031
Kuramoto-Tsuzuki 方程描述了在歧點(diǎn)附近兩個分支系統(tǒng)的行為狀況[1].一維Kuramoto-Tsuzuki 方程混合初邊值問題為
其中,Ω=(0,1),c1,c2為實(shí)數(shù),u(x,t),u0(x)為復(fù)函數(shù).
以上都是考慮一維Kuramoto-Tsuzuki 方程混合初邊值問題,二維情況下對Kuramoto-Tsuzuki方程數(shù)值解的研究很少出現(xiàn), 困難在于二維下非線性項(xiàng)|u|2u很難處理. 類似于Kuramoto-Tsuzuki方程的二維問題在文獻(xiàn)[7]中研究了λ-ω型反映擴(kuò)散系統(tǒng), 作者構(gòu)造了全離散的有限元逼近格式并證明了數(shù)值解的收斂性.
本文考慮下面二維Kuramato-Tsuzuki 方程混合初邊值問題:
ut=(1+ic1)Δu+u-(1+ic2)|u|2u(x,t)∈Ω×(0,T]
(1)
(2)
(3)
設(shè)v={vij|0≤i,j≤M},ω={ωij|0≤i,j≤M}為Ωh上的網(wǎng)格函數(shù), 定義內(nèi)積和范數(shù)
對方程(1)~方程(3)建立如下線性化Crank-Nicolson 型差分格式
(4)
(5)
首先引入下面的Brouwer不動點(diǎn)定理[8,9].
將(4)改寫為
當(dāng)v∈CM+1時, 分別將(Δhv,v)h,|v|1,h按定義展開得到
因此
對上式兩邊同時取實(shí)部得
(1)當(dāng)1≤i,j≤M-1,0≤n≤N時
而
因此
(2)當(dāng)i,j=0,M時,由于
因此可得,當(dāng)i=0,M時有
(1)式兩邊對x1求導(dǎo)
可得當(dāng)i=0,M時
由于
所以
因此
而
因此由以上分析可得
同理可得
定理證畢.
‖Un‖h≤C‖U0‖h0≤n≤N
其中,C=C(T).
兩邊取實(shí)部得
由離散Gronwall不等式得
‖Un‖h≤C‖U0‖h0≤n≤N
‖U‖q,h≤C‖U‖k,p,h
|Un|1,h≤C0n=0,1,2,…,N
其中,C0=C0(u0,T).
證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n=0時,引理顯然成立, 假設(shè)第n-1層結(jié)論成立|Un-1|1,h≤C0′,其中C0′是依賴于u0,T的常量.
兩邊同時取實(shí)部得
因此
由引理2,引理3和歸納假設(shè)
‖Un-1‖8,h≤C‖Un-1‖1,2,h
是有界的.由引理3得
因此
當(dāng)τ充分小時, 由離散Gronwall 不等式可得
|Un|1,h≤C0(u0,T)
用數(shù)學(xué)歸納法證明解的唯一性.假設(shè)En-1=0,即Un-1=Wn-1,可以得到
兩邊同時取實(shí)部
當(dāng)τ充分小時
因此有歸納假設(shè)可得‖En‖h=0,即解唯一.
‖Un-u(tn)‖h≤C(τ+h2) |Un-u(tn)|1,h≤C(τ+h2)
證明 由于
其中
(6)
(7)
假設(shè)u(x,t)在Ω×(0,T]有界, 則
由引理3知
由引理3
兩邊同時取實(shí)部得
當(dāng)τ充分小時, 由離散Gronwall 不等式得到
‖en‖h≤C(τ+h2)
(8)
由于
即
由引理3
當(dāng)τ充分小時, 由式(8) 遞推可得
|en|1,h≤C(τ+h2)
命題得證.