木娜依木·迪里夏提

新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 新疆 烏魯木齊 830046

0 前言

量子群的引入是 20 世紀(jì)末數(shù)學(xué)的重大成果之一. 量子群首先是在 Faddeev 為了解可積模型而研究的可逆擴(kuò)散方法中出現(xiàn)的[1，2]，而量子群slq(2) 最早是在Kulish和Reshetikhin 研究具有最高旋量的可積 XYZ模型的文獻(xiàn)[3]中出現(xiàn)的.他的 Hopf 代數(shù)結(jié)構(gòu)是后來(lái)被 Sklyanin 發(fā)現(xiàn)的[4]. 但是最主要的成果是 1985 年由Drinfeld 及Jimbo 發(fā)現(xiàn)的一類 Hopf 代數(shù)[5，6]，這些 Hopf 代數(shù)可以被認(rèn)為是復(fù)半單李代數(shù)的泛包絡(luò)代數(shù)的單參變量退化，并且現(xiàn)在被稱為 Drinfeld-Jimbo 量子群.量子群被引入后在數(shù)學(xué)和物理學(xué)的很多分支學(xué)科中得到了廣泛的應(yīng)用，比如在數(shù)學(xué)中的李群、李代數(shù)及其表示、特殊函數(shù)理論、鈕結(jié)理論、低維拓?fù)鋵W(xué)、算子代數(shù)、非交換集合及組合學(xué)等，在物理學(xué)中的量子可逆擴(kuò)散方法、可積模型理論初等粒子物理及量子場(chǎng)論等.

為了在交換代數(shù)中解決約化問(wèn)題 Buchberger 在文獻(xiàn)[7]中引入了 Gr?bner 基理論，在李代數(shù)上相應(yīng)的理論是 Shirshov 在文獻(xiàn)[8]中建立的，后來(lái) Bergman 在文獻(xiàn)[9] 中把 Buchberger 的理論推廣到了結(jié)合代數(shù)上.接著 Bokut 發(fā)現(xiàn) Shirshov 的方法對(duì)于結(jié)合代數(shù)同樣有效[10].因此，現(xiàn)在我們把他們建立的理論統(tǒng)稱為 Gr?bner-Shirshov基理論.同樣，Gr?bner-Shirshov 基理論被建立后在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[11].

關(guān)于量子群的 Gr?bner-Shirshov 基理論的第一個(gè)文獻(xiàn)是 Bokut 和 Malcolmson 的文獻(xiàn)[12].在此文中作者建立了 Drinfeld-Jimbo 量子群的Gr?bner-Shirshov基理論，并且具體構(gòu)造了An型量子群的Gr?bner-Shirshov基.后來(lái)在這方面有了很多工作[13～15].在本文我們要給出量子矩陣空間Mq(2)及量子群slq(2)的坐標(biāo)代數(shù)O(Mq(2))及O(slq(2))的Gr?bner-Shirshov基.

1 預(yù)備知識(shí)

這一節(jié)，我們回憶一下關(guān)于Gr?bner-Shirshov 基及括號(hào)代數(shù)的一些概念.

我們?cè)O(shè)X={xi|i∈I} 是字母的一個(gè)非空集合，并且用X*表示由字母集合X中元素生成的結(jié)合詞(word)的集合.我們假設(shè)X*包含空詞 1.對(duì)每一個(gè)詞w∈X*，我們把w所包含的字母?jìng)€(gè)數(shù)稱為詞w的長(zhǎng)度，并記為|w|.當(dāng)然，空詞1的長(zhǎng)度為零.

設(shè)k是一個(gè)域，我們用k〈X〉表示以X*為基的k-代數(shù)， 其中兩個(gè)詞的乘積定義為他們的毗連(concatenation)詞.為了對(duì)k〈X〉中的元素定義其首項(xiàng)，我們首先在X上定義一個(gè)良序 >如下：xi>xj當(dāng)且僅當(dāng)i>j.然后，在X*上定義一個(gè)序如下：對(duì)任意w1,w2∈X*，定義w2w2?|w2|<|w1|或者|w2|=|w1|且按詞典排序法有w2w1.顯然此序是個(gè)全序，并且被稱為 deg-lex 序.半群X*上的全序自然地在代數(shù)k〈X〉上誘導(dǎo)出一個(gè)全序，此序我們?nèi)匀挥脕?lái)表示.對(duì)任意f∈k〈X〉，我們用表示多項(xiàng)式f的首項(xiàng)(對(duì)于全序).如果首項(xiàng)的系數(shù)為1，則多項(xiàng)式f稱為首一多項(xiàng)式.

設(shè)S?k〈X〉是由一些首一多項(xiàng)式組成的集合.對(duì)于f,g∈S，如果有

其中，αi∈k,ai,bi∈X*,si∈S,則我們說(shuō)合成對(duì)于(S,w)平凡，并且記為

(f,g)w≡0 mod (S,w)

如果對(duì)任意f,g∈S，都有(f,g)w≡0 mod (S,w) ，則我們說(shuō)S對(duì)合成封閉.一個(gè)首一多項(xiàng)式的非空集合S如果對(duì)合成封閉，那么S稱為k〈X〉中的一個(gè)Gr?bner-Shirshov基.顯然從定義可知(f,g)W∈〈S〉，其中〈S〉是由S生成的理想.因此在商代數(shù)k〈X〉/ 〈S〉中有等式(f,g)W=0.

下面的鉆石合成引理是 Gr?bner-Shirshov 基理論的核心結(jié)果.

引理1(鉆石合成引理) 設(shè)S?k〈X〉是由一些首一多項(xiàng)式組成的非空集合，是上面定義的 deg-lex序，則下列三條等價(jià)：

(1)S是k〈X〉中的Gr?bner-Shirshov基；

2 量子矩陣空間Mq(2)及量子群slq(2)的坐標(biāo)代數(shù)的 Gr?bner-Shirshov 基

在這一節(jié)里我們要給出量子矩陣空間Mq(2)及量子群slq(2)的坐標(biāo)代數(shù)的Gr?bner-Shirshov基.

2.1 量子矩陣空間Mq(2)的坐標(biāo)代數(shù)的Gr?bner-Shirshov基

設(shè)C是復(fù)數(shù)域，q是一個(gè)非零復(fù)數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[16]，量子矩陣空間Mq(2)的坐標(biāo)代數(shù)O(Mq(2))是由a,b,c,d生成的，并且滿足以下關(guān)系的C-代數(shù)：

ab=qbaac=qcabd=qdbcd=qdcbc=cbad=bd+(q-q-1)bc

令X={a,b,c,d}，并且在X上定義序>如下：a>b>c>d, 那么此序在由X生成的半群X*上誘導(dǎo)出deg-lex序?.

我們令S1={f1,f2,f3,f4,f5,f6}, 其中

f1=ab-qbaf2=ac-qcaf3=bd-qdbf4=cd-qdcf5=bc-cdf6=ad-da-(q-q-1)bc

這時(shí)對(duì)于序?, 我們有

由于S1中元素的首項(xiàng)都是二次，因此在S1中元素之間只有4個(gè)交叉合成.下面我們計(jì)算這些合成.

(1)合成(f1,f3)ω，其中ω=abd. 因此有

(f1,f3)ω=(ab-qba,bd-qdb)abd

=(ab-qba)d-a(bd-qdb)=qadb-qbad

≡q(da+(q-q-1)bc)b-qb(da+(q-q-1)bc)

≡qdab+q(q-q-1)bcb-qbda-q(q-q-1)bbc

≡qdab+q(q-q-1)bcb-qbda-q(q-q-1)bcb

≡qdab-qbdamod(S1;ω)≡q2dba-q2dba≡0 mod (S1;ω)

(2)合成(f1,f5)ω其中ω=abc因此有

(f1,f5)ω=(ab-qba,bd-cb)abc

=(ab-qba)c-a(bc-cb)=acb-qbac

≡qcab-q2bca

≡q2cba-q2cba≡0 mod (S1;ω)

(3)合成(f2,f4)ω其中ω=acd,因此有

(f2,f4)ω=(ac-qca,cd-qdc)acd

=(ac-qca)d-a(cd-qdc)=qadc-qcad

≡q(da+(q-q-1)bc)c-qc(da+(q-q-1)bc)

≡qdac+q(q-q-1)bcc-qcda-qc(q-q-1)bc

≡qdac+q(q-q-1)cbc-q(q-q-1)cbc-qcda

≡qdac-qcda≡q2dca-q2dca≡0 mod (S1;ω)

(4)合成(f5,f4)ω其中ω=bcd.因此有

(f5,f4)ω=(bc-cb,cd-qdc)bcd

=(bc-cb)d-b(cd-qdc)=qbdc-cbd

≡qbdc-cqdb≡q2dbc-qcdb≡q2dbc-q2dcb

≡q2dcb-q2dcb≡0 mod (S1;ω)

所以我們得到

定理1 集合S1是量子矩陣空間Mq(2)的坐標(biāo)代數(shù)O(Mq(2))的一個(gè)Gr?bner-Shirshov 基.

由引理1,我們有

推論1 Irr(S)={u∈〈X〉|u=dl1cl2bl3al4,li≥0,i=1,2,3,4}是坐標(biāo)代數(shù)O(Mq(2))/〈S〉的一個(gè)線性基.

2.2 量子群slq(2)的坐標(biāo)代數(shù)O(slq(2))的Gr?bner-Shirshov基

設(shè)C是復(fù)數(shù)域，q是一個(gè)非零復(fù)數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[16],量子群slq(2)的坐標(biāo)代數(shù)O(slq(2))是由a,b,c,d生成的，并且滿足以下關(guān)系的C-代數(shù)：

ab=qbaac=qcabd=qdbcd=qdcbc=cbad-qbc=da-q-1bc=1

令X={a,b,c,d},并且在X上定義序>如下：a>b>c>d,那么此序在由X生成的半群X*上誘導(dǎo)出deg-lex序?.我們令S2={f1,f2,f3，f4，f5，f6,f7,f8} 其中

f1=ab-qbaf2=ac-qcaf3=bd-qdbf4=cd-qdc

f5=bc-cbf6=ad-qbc-da+q-1bcf7=ad-qbc-1

f8=bc-qda+q

這時(shí)對(duì)于序?,我們有

由于S2中元素的首項(xiàng)都是二次，因此在S2中元素之間只有 6 個(gè)交叉合成.下面我們計(jì)算這些合成.

(1)合成(f1,f3)ω，其中ω=abd. 因此有

(f1,f3)ω=(ab-qba,bd-qdb)abd

=(ab-qba)d-a(bd-qdb)

=qadb-qbad

≡q(qbc+1)b-qb(qbc+1)

≡q2bcb+qb-q2bbc-qb

≡q2bcb-q2bcb

≡0 mod (S2;ω)

(2)合成(f1,f5)ω，其中ω=abc.因此有

(f1,f5)ω=(ab-qba,bc-cb)abc

=(ab-qba)c-a(bc-cb)

=qcab-qbac

≡q2cba-q2bca

≡q2cba-q2cba

≡0 mod (S2;ω)

(3)合成(f1,f8)ω,其中ω=abc.因此有

(f1,f8)ω=(ab-qba,bc-qda+q)abc

=(ab-qba)c-a(bc-qda+q)

=qada-qbac-qa

≡q(qbc+1)a-qbac-qa

≡q2bca+qa-qbac-qa

≡q2bca-q2bca

≡0 mod (S2;ω)

(4)合成(f2,f4)ω,其中ω=acd.因此有

(f2,f4)ω=(ac-qca,cd-qdc)acd

=(ac-qca)d-a(cd-qdc)

=qadc-qcad

≡q(qbc+1)c-qc(qbc+1)

≡q2bcc+qc-q2cbc-qc

≡q2cbc-q2cbc

≡0 mod (S2;ω)

(5)合成(f5,f4)ω,其中ω=bcd.因此有

(f5,f4)ω=(bc-cb,cd-qdc)bcd

=(bc-cb)d-b(cd-qdc)

=qbdc-cbd

≡q2dbc-cqdb

≡q2dbc-q2dcb

≡q2dcb-q2dcb

≡0 mod (S2;ω)

(6)合成(f8,f4)ω,其中ω=bcd.因此有

(f8,f4)ω=(bc-qda+q,cd-qdc)bcd

=(bc-qda+q)d-b(cd-qdc)

≡qbdc-qdad+qd

≡qbdc-qd(qbc+1)+qd

≡qbdc-q2dbc-qd+qd

≡q2dbc-q2dbc

≡0 mod (S2;ω)

所以我們得到

定理2 集合S2是量子群Mq(2)的坐標(biāo)代數(shù)O(Mq(2))的Gr?bner-Shirshov基.

由引理1我們有

推論2 Irr(S)={u∈〈X〉|u=dl1cl2bl3al4,li≥0,i=1,2,3,4}是坐標(biāo)代數(shù)O(slq(2))/〈S〉的一個(gè)線性基.