潘小明 徐智勇

[摘? 要] 數(shù)學(xué)解題教學(xué)的有效性事關(guān)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高. 合理運(yùn)用題根的數(shù)學(xué)解題教學(xué)不僅關(guān)注數(shù)學(xué)問題及求解中的實(shí)質(zhì)，而且注重引導(dǎo)學(xué)生抓住根本的數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)思想方法.用題根改進(jìn)數(shù)學(xué)解題教學(xué)有著多方面的重要價值，但這些價值的實(shí)現(xiàn)有待于數(shù)學(xué)教師進(jìn)行精心的數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計.基于題根的數(shù)學(xué)解題教學(xué)案例分析，研究者得到兩個重要啟示，一方面，數(shù)學(xué)教師要善于在那些看似簡單的數(shù)學(xué)問題中調(diào)動學(xué)生的深度數(shù)學(xué)思維，要通過自己的努力讓學(xué)生經(jīng)由數(shù)學(xué)解題的實(shí)踐實(shí)現(xiàn)相關(guān)數(shù)學(xué)問題的生根、發(fā)芽;另一方面，數(shù)學(xué)教師本人要善于在學(xué)生面前暴露自己進(jìn)行數(shù)學(xué)問題尋根的思維過程，要善于引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)結(jié)個人數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與待解數(shù)學(xué)任務(wù)，努力推進(jìn)基于數(shù)學(xué)題根的有效數(shù)學(xué)化和有效再創(chuàng)造.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)解題教學(xué);有效性;題根式;變式教學(xué);案例

數(shù)學(xué)解題教學(xué)的有效性：一個值得重視的現(xiàn)實(shí)問題

數(shù)學(xué)課程的內(nèi)在特點(diǎn)決定了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要進(jìn)行解題實(shí)踐，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)課程教學(xué)中的解題實(shí)踐是鞏固學(xué)生數(shù)學(xué)知識、訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的必要途徑和重要手段. 但是，誠如所有的教學(xué)活動都存在著“是否有效”“效果究竟如何”的問題，在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐活動中，數(shù)學(xué)解題活動也存在著“是否有效”“效果究竟如何”的考量.

不當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)解題實(shí)踐不僅不能有效地鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，而且會僵化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，窄化學(xué)生的數(shù)學(xué)知識，弱化學(xué)生的數(shù)學(xué)能力. 目前，數(shù)學(xué)教育教學(xué)實(shí)踐中依然存在的數(shù)學(xué)題海戰(zhàn)術(shù)非常容易扼殺學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，不少學(xué)生消耗了大量精力做了許多質(zhì)量不高的數(shù)學(xué)題目，卻在數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)成績上收效甚微，由解題“生厭”“生煩”最終主動遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)解題活動的學(xué)生不計其數(shù).

為了克服題海戰(zhàn)術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的負(fù)面效應(yīng)，我國數(shù)學(xué)教育界曾提出了“數(shù)學(xué)變式教學(xué)”的主張，強(qiáng)調(diào)通過數(shù)學(xué)變式的教學(xué)來實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂中的“精講精練”. 由于這種教學(xué)總體上是體現(xiàn)了教師教學(xué)思想、教學(xué)模式和方法策略的變化，特別地，更多的是體現(xiàn)了教師教學(xué)供給端的“精講”和對教學(xué)對象在數(shù)學(xué)認(rèn)知上進(jìn)行不平衡性的激發(fā)，所以這一偏向外部形態(tài)、以式的變化為主的教學(xué)變革并未能真正地深化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不少以變式為特征的數(shù)學(xué)課堂尚未能真正有效地提高學(xué)生對數(shù)學(xué)問題及其求解的本質(zhì)認(rèn)識，比如，就常見數(shù)學(xué)題目的變式而言，“數(shù)學(xué)變式教學(xué)”更多的是注重探究問題條件的變化（增加、減少或變更）、問題結(jié)論的形態(tài)（是否唯一）以及諸如命題是否可以推廣、引申等，對于諸如“一個或一類問題或命題的根本究竟是什么”“如何挖掘、尋探并利用數(shù)學(xué)問題的根本”等類似的問題并未進(jìn)行深入、有效的探究.

自2015年起，研究者主持的“數(shù)學(xué)教師實(shí)踐性知識研究”課題組對江蘇省泰州市多所中學(xué)數(shù)學(xué)教師的解題教學(xué)進(jìn)行了課堂觀察，并持續(xù)地進(jìn)行了跟蹤調(diào)研.調(diào)研結(jié)果表明，不少教師雖然通過數(shù)學(xué)變式教學(xué)的方式提高了學(xué)生“一題多解”“一法多題”的能力，也部分改進(jìn)了數(shù)學(xué)解題教學(xué)的效果. 但由于學(xué)生在這種以變式驅(qū)動的數(shù)學(xué)解題活動中并未真正、明顯地增強(qiáng)自主性、探究性，故在經(jīng)歷了一系列基于“數(shù)學(xué)變式”的演繹活動之后，仍然有不少學(xué)生在面對具體的數(shù)學(xué)問題時感到“難以下手”“功力不足”.

用題根聯(lián)結(jié)解題思維：改進(jìn)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的新探索

“數(shù)學(xué)教學(xué)改革沒有深入數(shù)學(xué)的內(nèi)容必然是空洞的”“數(shù)學(xué)教學(xué)不進(jìn)行考試是不現(xiàn)實(shí)的”，在對“數(shù)學(xué)變式教學(xué)”可能的局限性和現(xiàn)實(shí)的不足進(jìn)行了必要的感知后，課題組中多名一線的數(shù)學(xué)教師結(jié)合來自高校教師的指導(dǎo)和自己對數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐反思[1]，嘗試性地提出了“深入學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維訓(xùn)練”“將數(shù)學(xué)解題教學(xué)的思維進(jìn)一步聚焦于數(shù)學(xué)題目本身”等教學(xué)主張[2]，強(qiáng)調(diào)有質(zhì)量的數(shù)學(xué)解題教學(xué)要立足于數(shù)學(xué)題目的根本.

基于新的數(shù)學(xué)教學(xué)思維，課題組成員在日常的數(shù)學(xué)解題教學(xué)實(shí)踐中主動走向了對于“數(shù)學(xué)問題最基礎(chǔ)、最根本”的回歸，并率先在高中數(shù)學(xué)課堂中開展了“用題根聯(lián)結(jié)學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維”的實(shí)踐探索. 近3年的實(shí)踐研究表明，“用題根聯(lián)結(jié)學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維”的主張是一種更值得關(guān)注的“與解題教學(xué)更密切相關(guān)的教學(xué)主張”，一線教師基于數(shù)學(xué)解題教學(xué)的實(shí)踐“回歸”“尋根”具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義和理論價值. 這是因?yàn)?，?shù)學(xué)題根是數(shù)學(xué)問題的根子，“用題根聯(lián)結(jié)學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維”更加注重數(shù)學(xué)問題及求解中的實(shí)質(zhì)，能引導(dǎo)學(xué)生“抓住根本的數(shù)學(xué)問題”“抓住數(shù)學(xué)思想方法的根本”. 經(jīng)由數(shù)學(xué)題根進(jìn)行的數(shù)學(xué)解題思維訓(xùn)練在實(shí)踐中已部分有效地促進(jìn)了實(shí)驗(yàn)班學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高. 參與研究的課題組教師在實(shí)踐中也真切地認(rèn)識到，如果自己既能深入地研究、尋探相關(guān)數(shù)學(xué)問題真正的根子，并善于把它們合理地運(yùn)用于自己的數(shù)學(xué)解題實(shí)踐指導(dǎo)，那么，接受指導(dǎo)的學(xué)生就可以避免在解題過程中陷入“盲人摸象”的尷尬，不僅有利于數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，而且有利于經(jīng)由數(shù)學(xué)解題實(shí)踐優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，不斷增強(qiáng)數(shù)學(xué)解題的自信心和積極性.

用題根改進(jìn)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的路徑：來自兩個案例的啟示

盡管數(shù)學(xué)題根對于數(shù)學(xué)教學(xué)有著較高的價值，但是，研究也發(fā)現(xiàn)所謂“較高的價值”并不能自動地在所教學(xué)的對象身上實(shí)現(xiàn). 較之于“題根式解題教學(xué)”實(shí)驗(yàn)的老師最初強(qiáng)調(diào)的在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中必須要率先明了“立足什么”“關(guān)注什么”“教什么”“學(xué)什么”， 參加課題研究的老師們后來更清晰地認(rèn)識到題根教學(xué)價值的實(shí)現(xiàn)離不開教法設(shè)計的有效性，并且這種有效性要以激發(fā)學(xué)生思維主動性、尋根自主性為價值取向. 實(shí)踐表明，對于數(shù)學(xué)題根不當(dāng)?shù)慕谭?、引?dǎo)不僅有可能阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，而且有可能形成暫時性或虛假性的“成效顯著”——表面上看，學(xué)生對于一類題目解答更加得心應(yīng)手，但是面對新一類題目則又會“茫然不知所措”. 為了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)題根的教學(xué)價值，數(shù)學(xué)教師在利用題根進(jìn)行教學(xué)時，既要重視數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)問題、解題方法的挖掘，又要注意教學(xué)方法本身的有效性，盡可能將內(nèi)容與方法有機(jī)融合. 下面結(jié)合數(shù)列解題教學(xué)的兩個案例，分析題根式數(shù)學(xué)解題教學(xué)的路徑.

（一）善于在對看似簡單數(shù)學(xué)問題的深度思維中尋根

先簡單后復(fù)雜，是解題教學(xué)中一個行之有效的教學(xué)路徑. 現(xiàn)實(shí)的解題教學(xué)中，許多師生對這一重要教學(xué)路徑還不以為然，甚至有著強(qiáng)烈的輕視心理.一些學(xué)生拿到了他們認(rèn)為非常簡單的題目立即下手解答，解完了事. 一些教師對于簡單的題目在教學(xué)中也常常一帶而過，他們認(rèn)為“簡單的題目沒有玩頭”“題目簡單，沒有什么好講的”. 然而，復(fù)雜本身來源于簡單，無論是數(shù)學(xué)知識的習(xí)得，還是數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，其有效性往往從簡單開始. 對于看似簡單的數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)教師要善于調(diào)動學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生經(jīng)由必要的“變化”尋覓數(shù)學(xué)問題的一般形式，并因此實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的生根.

在確信學(xué)生對于這些一般性結(jié)論及其尋探方法有了較為深刻的認(rèn)識后，C老師給出了新任務(wù)：（1）解答2009年全國卷Ⅱ第19題（略）;（2）利用所學(xué)“題根”，同桌間進(jìn)行編題、解題活動——解答對方所編習(xí)題，并進(jìn)行相應(yīng)評價.

教學(xué)分析：美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)啟發(fā)法大師喬治·波利亞在解題教學(xué)中曾提出過所謂的“蘑菇理論”，即當(dāng)解題者找到第一個蘑菇時，如果繼續(xù)觀察就有可能發(fā)現(xiàn)一堆蘑菇[3]. 在C老師看來，這句話用于題根教學(xué)的指導(dǎo)也是適用的.基于自己“以學(xué)定教”“以教導(dǎo)學(xué)”的教學(xué)思想，有豐富教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的C老師沒有滿足于學(xué)生對所布置問題答案的獲得，而是在問題獲得解答之后將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維引向深入，引導(dǎo)學(xué)生就一般形式的問題給出自己的分析.在此基礎(chǔ)上，師生所發(fā)現(xiàn)的就不僅是一堆數(shù)學(xué)蘑菇，而是那些能夠生長數(shù)學(xué)蘑菇的菌絲，而這種菌絲本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)問題的根子——一個相對根本的問題. 教師對學(xué)生的導(dǎo)學(xué)，是一種追求深度學(xué)習(xí)的導(dǎo)學(xué)，是引導(dǎo)學(xué)生在解題、理解、回顧和思考的基礎(chǔ)上，批判地認(rèn)識原有的數(shù)學(xué)問題，建立新的數(shù)學(xué)認(rèn)知，提升數(shù)學(xué)探究的層次，在“尋什么根”上就具體的數(shù)學(xué)問題展開研究，并將研究結(jié)論用于新的問題情境、生成新的數(shù)學(xué)思考. 由此，C老師的導(dǎo)學(xué)不是停留于數(shù)學(xué)知識的傳授，而是突出了學(xué)生對所解數(shù)學(xué)問題的反思，既誘發(fā)了學(xué)生對探求問題一般形式的興趣，又拓展了學(xué)生更為抽象的數(shù)學(xué)思維.結(jié)合所求根問題是關(guān)于數(shù)列遞推關(guān)系式這一問題及相應(yīng)函數(shù)的分類研究，C老師引導(dǎo)學(xué)生得到了更為一般性的數(shù)學(xué)結(jié)論，其導(dǎo)學(xué)過程也是較好地顯現(xiàn)了與所求解習(xí)題相關(guān)知識的有效整合，有助于學(xué)生在今后優(yōu)化同類問題的解答. “有題無根一潭泥”“有根無法終迷離”，對于數(shù)學(xué)問題的尋根與題根教法的優(yōu)化，兩者只有有機(jī)融合，才能實(shí)現(xiàn)有效的數(shù)學(xué)題根式教學(xué). 后續(xù)的跟蹤調(diào)研表明，正是由于題根式教學(xué)有效性的不斷提高，才有更多學(xué)生在教師引導(dǎo)下獲得快速有效的教學(xué)反饋，更為主動、積極地投入數(shù)學(xué)解題實(shí)踐，更為自覺地將相關(guān)數(shù)學(xué)問題“串成線”“聯(lián)成體”“生成根”，并因此更為深切地體會到了數(shù)學(xué)題根的價值.

（二）在思維暴露過程中讓題根與解題有效聯(lián)結(jié)

面對一道相對較難的數(shù)學(xué)解題，一些學(xué)生容易因畏難而棄之，并因此形成不好的數(shù)學(xué)情感、態(tài)度與價值觀.由此，對數(shù)學(xué)教師而言，不僅要培養(yǎng)學(xué)生“知難而不畏難”的態(tài)度，而且要教給學(xué)生“攻堅克難”的方法和策略. 由于解題本質(zhì)上是解題者基于自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)對當(dāng)前待解的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)模式的聯(lián)結(jié)化過程，如果將待解數(shù)學(xué)問題與頭腦中一些有價值的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)有效地聯(lián)結(jié)，就容易基于題根制定相應(yīng)的解題方案. 由此，數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中一個非常重要的作用就是要通過合理暴露自己的數(shù)學(xué)思維來引導(dǎo)學(xué)生尋求、分析自己的一些數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，基于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)尋探待解數(shù)學(xué)問題之題根，通過一系列數(shù)學(xué)化和再創(chuàng)造的過程不斷聚焦數(shù)學(xué)問題的求解思路.

教學(xué)案例2：在一個習(xí)題課上，幾個學(xué)生向C老師討教如下一道問題：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. 若對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn=am，則稱{an}是“H數(shù)列”.

教學(xué)觀察：向C老師問問題的學(xué)生說“這道題我們好幾個人都弄過了，但好像都不得要領(lǐng).” C老師看著題目，笑著對學(xué)生說：“前一陣子和你們講‘?dāng)?shù)學(xué)有源，題目有根，你們有沒有試著研究一下這個題目的題根？有沒有通過題根來把握解題的大方向？”學(xué)生說“弄不起來”. C老師說：“那，我們今天就一起來思考、解答.”

“嗯，這是什么樣的題目？喲，新概念題！{an}是‘H數(shù)列. 乖乖，還真的有點(diǎn)高大上. 怎么弄？大家不要急. 我們把題目再來認(rèn)真仔細(xì)讀一下：任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn=am. 這是什么意思？我以前和大家說過，題有根，本題的根是什么？剛才有同學(xué)說不知道，是得好好地想一想. 咦，你們看，我們能否把這個問題與小學(xué)里所學(xué)的自然數(shù)聯(lián)系起來呢？對！是自然數(shù)的特征.任意多個自然數(shù)的和還是自然數(shù)，這是在小學(xué)階段就能整明白的. 這是不是我們這道題的題根？是！不過，看樣子，好像還有個別同學(xué)沒理解我剛才話的意思.好吧，我來舉個例子.

C老師笑著說：“找到了題根，有了思路，第1小題迎刃而解. 好的，我們現(xiàn)在繼續(xù)攻關(guān)第二小問.”“首項(xiàng)a1=1，公差d<0. 若{an}是‘H數(shù)列，求d的值”“題目的變化是‘d<0，有了負(fù)數(shù)的概念，它會引起哪些變化呢？你們有什么建議？”

學(xué)生：“C老師，你是不是還是帶領(lǐng)我們著眼于題根來尋求解答？可題根是什么呢？”“這個題根就是特殊性，對，可以從特殊性入手來尋求解答.”

C老師和學(xué)生共同做了如下的探索：

第2小題解完后，C老師說道：“第3小題可能是相對難一點(diǎn)的題目.我們一起來想辦法. 所面對的問題是什么？可能的解題計劃是怎樣的？得在理解題意基礎(chǔ)上思考解題方法.”

教學(xué)分析：學(xué)生在做題的過程遇到了困難，他們并未知難而退，而是積極主動地尋求任課教師的指導(dǎo)與幫助.面對學(xué)生的求助，數(shù)學(xué)教師不僅明白學(xué)生所問數(shù)學(xué)問題本身具有一定難度，而且明白“教學(xué)這樣有一定思維技巧數(shù)學(xué)問題本身就具有一定的難度”，因?yàn)?，“弄不好，解題教學(xué)就會演變?yōu)閷⒆约旱慕夥ㄓ踩o學(xué)生”“學(xué)生很容易食而不化”.和學(xué)生相比.教師同樣是知難不畏難，關(guān)鍵是如何有效地完成這具有雙重難度的解題指導(dǎo)任務(wù).基于“數(shù)學(xué)有源，題目有根”的認(rèn)識，教師選擇了“現(xiàn)想現(xiàn)推”的解題指導(dǎo)策略，盡管這會有一定的風(fēng)險，比如，題目做不出來“會掛黑板”“會降低個人威信”，但這樣做也有好處，因?yàn)橥ㄟ^置身于這種相對危險困難的教學(xué)境地，也有利于讓學(xué)生看清“數(shù)學(xué)問題尋根的思維過程究竟是如何進(jìn)行的”“老師本人是如何接受來自學(xué)生挑戰(zhàn)的”.

一花一世界，一葉一菩提. 無論學(xué)生還是教師，對于解題都有其主觀性認(rèn)識和思考，而考察C老師指導(dǎo)學(xué)生問題解答的過程可發(fā)現(xiàn)，教師所建構(gòu)的數(shù)學(xué)思維世界可影響學(xué)生的數(shù)學(xué)思維世界，這種影響實(shí)現(xiàn)的前提是教師主動暴露數(shù)學(xué)問題尋根的思維過程，這種過程既是引導(dǎo)學(xué)生基于個人數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)化聯(lián)結(jié)的過程，也是基于數(shù)學(xué)題根進(jìn)行數(shù)學(xué)化和再創(chuàng)造的過程. 在這種過程中，師生共同推進(jìn)的數(shù)學(xué)問題解答所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)形態(tài)，并非是冷冰冰的數(shù)學(xué)推理和知識講解，而是有著教師引導(dǎo)所帶來的火熱性數(shù)學(xué)思考. 事實(shí)上，在幫助學(xué)生尋求解法過程中，C老師并沒有立即給出自己的解法，而是“佯裝不知”，通過“現(xiàn)想現(xiàn)推”進(jìn)行積極的數(shù)學(xué)思維，這不僅暴露了解題中尋根的方法，也暴露了數(shù)學(xué)模式辨識和問題解決的過程. 綜合C老師解題教學(xué)指導(dǎo)過程可看出，好的解題教學(xué)不僅要有教師在教法上所做的努力，而且要有教師個人在數(shù)學(xué)水平、解題功底的支撐，而后者的素養(yǎng)越來越顯示了重要性，“數(shù)學(xué)教學(xué)的好壞，取決于教師的素養(yǎng)，尤其是他的數(shù)學(xué)水平.[4]”畢竟，數(shù)學(xué)題根更多是一類數(shù)學(xué)問題中的根基或代表[5]，如果沒有過硬的知識基礎(chǔ)和特殊的數(shù)學(xué)眼光，將難以發(fā)現(xiàn)隱匿于一道道習(xí)題中根本性、基礎(chǔ)性的東西，自然談不上數(shù)學(xué)解題的尋根.

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