邱一葦，林 今，吳 浩，宋永華，

(1.清華大學 電機工程與應(yīng)用電子技術(shù)系，北京 100084；2.浙江大學 電氣工程學院，杭州 310027；3.澳門大學 電子與計算機工程系，澳門 999078)

在當前電網(wǎng)大尺度跨區(qū)域互聯(lián)，風、光等可再生能源發(fā)電跨越式發(fā)展，電力市場化改革不斷深化的背景下，電力系統(tǒng)運行中的不確定性因素日益增多，其電壓穩(wěn)定性正受到全方位的考驗[1-3]。為確保運行安全，有必要對電力系統(tǒng)在不確定性條件下的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性進行優(yōu)化。

在不確定條件下的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性評估上，學界和業(yè)界已積累了許多積極的研究成果[4-10]。其中，靜態(tài)安全域類評估方法通過離線計算獲得參數(shù)空間中安全域邊界的顯式表示，在線運行時通過對比當前運行點與域邊界的位置關(guān)系快速評估系統(tǒng)的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性，極大地提高了評估效率和靈活性[7-10]。但直接利用概率評估結(jié)果，提高不確定條件下電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定性的優(yōu)化研究尚為有限。

為此，本文基于靜態(tài)安全域思想提出了一種不確定條件下提高電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定性的優(yōu)化方法：以最大化隨機變量位于靜態(tài)電壓穩(wěn)定域內(nèi)的概率為目標，利用靜態(tài)電壓穩(wěn)定域邊界及控制變量對其靈敏度的顯式逼近表達式構(gòu)造優(yōu)化模型；為此，引入廣義多項式混沌(generalized polynomial chaos,gPC)思想，結(jié)合隨機Galerkin方法和經(jīng)典原-對偶內(nèi)點法，求取靜態(tài)電壓穩(wěn)定域邊界及其靈敏度的顯式多項式逼近表達式；最后，通過IEEE-39節(jié)點系統(tǒng)算例驗證了所提方法的有效性和精確性。本文建模與計算工作在浙江大學智能電網(wǎng)運行與優(yōu)化實驗室開發(fā)的MASTES電力系統(tǒng)分析和仿真工具包[11]上進行。

1 不確定條件下的靜態(tài)電壓穩(wěn)定優(yōu)化模型

1.1 基于靜態(tài)電壓穩(wěn)定域的優(yōu)化模型

本文所提優(yōu)化模型的目標在于，當電力系統(tǒng)中的隨機變量服從一定隨機分布時，通過調(diào)整運行點使系統(tǒng)靜態(tài)電壓失穩(wěn)的概率最小化。

記多維獨立隨機變量構(gòu)成向量：

Z=[Z1,Z2,…,Zn]∈Qn?Rn.

(1)

式中：Zi∈Qi為第i個獨立隨機變量；Qi為第i個獨立隨機變量的支持域；Qn=Q1?Q2?…?Qn為隨機向量的支持域。對于含有非獨立隨機變量的情形，需進行預(yù)處理使之相互解耦，參見1.3節(jié)。

為刻畫系統(tǒng)靜態(tài)電壓失穩(wěn)的概率，引入靜態(tài)電壓穩(wěn)定域[7]概念。計及發(fā)電機無功出力約束時，電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)模型[13]如下所示：

0=f(V,θ,Ps,QG;λ,Z) .

(2)

(3)

(4)

(5)

基于上述模型，定義概率空間中的靜態(tài)電壓穩(wěn)定域，如下：

ΩSVSR={Z∈Qn?Rn|系統(tǒng)(2)-
(5)運行點存在} .

(6)

顯然，當隨機變量位于域內(nèi)時，系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定；反之意味著失穩(wěn)。因此，系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定的概率即隨機變量位于靜態(tài)電壓穩(wěn)定域中的概率：

(7)

式中：dW(Z)=dW1(Z1)dW2(Z2)…dWn(Zn)為多維概率空間的測度；dWi(Zi)=ωi(Zi)dZi為第i個獨立隨機變量所在概率空間的測度；ωi(Zi)為第i個獨立隨機變量的概率密度函數(shù)；且

(8)

至此，以最大化多維隨機變量處于靜態(tài)電壓穩(wěn)定域內(nèi)的概率為主要目標，兼顧控制變量的調(diào)整幅度，定義不確定條件下提高靜態(tài)電壓穩(wěn)定性的優(yōu)化模型，如下：

min-ΔP(Z∈ΩSVSR)+(ΔU)TR(ΔU) ,

(9)

(10)

(11)

式中：U為控制變量，通常包括發(fā)電機電壓整定值、無功補償裝置的安裝/投入量等；ΔU為控制變量的增量；R為權(quán)重系數(shù)矩陣。注意到因引入了靜態(tài)安全域，上述優(yōu)化模型中無需包含顯式的原始系統(tǒng)模型式(2)-(5)，故求解計算量極小。

需要指出，亦可將節(jié)點電壓安全約束、線路熱穩(wěn)定約束等其他類型的安全約束加入模型式(2)-(5)中，將本文方法和結(jié)論拓展至更為綜合的靜態(tài)安全上。

1.2 優(yōu)化模型化簡

目標函數(shù)式(9)中概率項ΔP(Z∈ΩSVSR)無顯式解析表達式，故優(yōu)化模型難以直接求解。為此，引入靜態(tài)電壓穩(wěn)定域邊界的顯式近似，形式如下[9]：

(12)

(13)

依據(jù)式(7)，將調(diào)整控制變量后系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定的概率增量寫成條件概率的形式：

(14)

考慮到控制變量U的調(diào)整量通常較小，其調(diào)整范圍內(nèi)Z1的概率密度ω1(Z1)變化亦較小，故式中：

(15)

將式(15)代入式(14)中，則調(diào)整控制變量后隨機變量位于穩(wěn)定域中概率的近似增量可由下式給出：

ΔP(Z∈ΩSVSR)≈ΔP*(Z∈ΩSVSR)=

(16)

圖1 調(diào)整控制變量后隨機向量位于穩(wěn)定域內(nèi)概率的示意圖Fig.1 Probability of the random vector staying within the stability region after adjusting control variables

將目標函數(shù)式(9)中的概率項替換為近似表達式(16)，則優(yōu)化模型式(9)-(11)成為一組確定性優(yōu)化問題，可由經(jīng)典非線性規(guī)劃方法直接求解。

1.3 隨機變量相關(guān)性的預(yù)處理

風、光等可再生能源的出力存在一定相關(guān)性；不同節(jié)點負荷相互之間亦可能具有相關(guān)性。如前所述，本文所提方法要求各隨機變量間相互獨立，故需事先對非獨立隨機變量進行解耦，具體實現(xiàn)方法可參考文獻[14].

隨機變量維數(shù)較高時，為降低計算量，亦可參考文獻[15]對隨機變量進行降維處理。由于隨機變量的解耦和降維并非本文關(guān)注重點，故不再贅述。

2 靜態(tài)電壓穩(wěn)定域邊界的多項式逼近

為便于處理隨機變量波動范圍較大時發(fā)電機無功越限組合的切換，并在計算穩(wěn)定域邊界近似表達式的同時得到控制變量對其靈敏度，本節(jié)引入一種基于隨機Galerkin方法的參數(shù)化非線性規(guī)劃問題多項式逼近方法。

2.1 靜態(tài)電壓穩(wěn)定域邊界的參數(shù)化非線性規(guī)劃模型表示

由靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限的定義[14]，將概率空間中的靜態(tài)電壓穩(wěn)定域邊界由如下參數(shù)化非線性規(guī)劃模型表示[10]：

(17)

(18)

(19)

2.2 參數(shù)化非線性規(guī)劃模型的參數(shù)化KKT條件

利用經(jīng)典原-對偶內(nèi)點法(primal-dual interior point method,PDIPM)思想將參數(shù)化非線性規(guī)劃模型式(17)-(19)轉(zhuǎn)換為參數(shù)化非線性代數(shù)方程模型。首先，為不等式約束式(19)引入松弛變量：

(20)

使

(21)

并引入對數(shù)障礙函數(shù)，構(gòu)造參數(shù)化Lagrange函數(shù)：

(22)

令參數(shù)化Lagrange函數(shù)式(22)對各原/對偶變量的偏導(dǎo)為0，可得參數(shù)化KKT條件：

(23)

式中：Y=[XT,uT,ξT,πT]T為所有原、對偶變量構(gòu)成的向量。

2.3 廣義多項式混沌展開式

(24)

并取如下張量積作為完整的多項式基函數(shù)集：

(25)

若隨機變量不服從表1給出的任意1種分布類型，則依據(jù)等概率原則將其變換至其中任意1種分布類型，繼而進行后續(xù)的逼近計算。

表1 隨機分布對應(yīng)的Wiener-Askey混沌多項式基函數(shù)Table 1 Wiener-Askey chaos polynomial basis corresponding to the types of random variables

以式(25)中多項式基函數(shù)的線性組合構(gòu)造Y的gPC展開式，如下：

(26)

2.4 隨機Galerkin方法

采用隨機Galerkin方法構(gòu)造投影方程以求解gPC展開式(26)中的待定系數(shù)。首先定義期望泛函：

(27)

并基于此定義Hilbert空間

U={h(·)|h:Rn-1→R,〈·,·〉} .

(28)

其上2個元素的內(nèi)積定義為其乘積的期望：

(29)

將Y中各變量的gPC展開式(26)代入?yún)?shù)化KKT條件式(23)中，并將其向(25)中各個基函數(shù)以內(nèi)積形式(29)作投影以消去隨機變量，形成以展開系數(shù)為待定變量的確定性Galerkin投影方程組：

(30)

3 算例分析

采用如圖2所示IEEE-39節(jié)點系統(tǒng)進行算例分析，計及所有10臺發(fā)電機的無功出力約束。恒功率因數(shù)增長模式下，初始負荷裕度為51.7%.

圖2 IEEE-39節(jié)點系統(tǒng)接線圖Fig.2 Topology diagram of IEEE 39-bus system

令優(yōu)化前系統(tǒng)整體負荷增長因子λ為40%.在此基礎(chǔ)上，取區(qū)域{13,15,16,17,20,21,23,34}和{25,26,27,28,29}的負荷增長因子作為隨機變量，記為λ1和λ2，并假設(shè)λ1服從μ=0,σ=0.1的高斯分布，λ2服從a=2,b=4的Beta分布。采用Monte Carlo模擬驗證準確性時，采樣數(shù)NMC取100 000.

3.1 靜態(tài)電壓穩(wěn)定域邊界的逼近結(jié)果

首先應(yīng)用第2節(jié)所述方法求取系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定域邊界及控制變量對其靈敏度的顯式近似表達式。取gPC展開階數(shù)N=5，圖3給出了{λ1,λ2}空間中靜態(tài)電壓穩(wěn)定域邊界的逼近，及其上各點的失穩(wěn)機理。其中，SNB{30,31,35,37,38}表示發(fā)電機{30, 31,35, 37, 38}處于無功越限狀態(tài)時發(fā)生的鞍結(jié)分岔；LIB36-{30,31,35,37,38}則表示發(fā)電機{30,31,35,37,38}已處于無功越限狀態(tài)時，發(fā)電機36無功越限引發(fā)的極限誘導(dǎo)分岔。域邊界逼近結(jié)果的表達式如下：

(31)

由圖3可知，盡管隨機變量變化時系統(tǒng)的靜態(tài)電壓失穩(wěn)機理發(fā)生了多次切換，逼近結(jié)果仍很好地貼合了實際邊界。將逼近表達式(29)代入式(7)中，得優(yōu)化前系統(tǒng)靜態(tài)電壓失穩(wěn)的概率為5.364%，這與Monte Carlo模擬所得結(jié)果5.391%相比非常接近，故從另一方面驗證了逼近結(jié)果的準確性。這為后續(xù)優(yōu)化提供了堅實的基礎(chǔ)。

圖3 優(yōu)化前系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定域邊界及其逼近Fig.3 Static voltage stability region boundary before optimization and its approximation

3.2 不確定條件下靜態(tài)電壓穩(wěn)定性的優(yōu)化

取所有10臺發(fā)電機的電壓設(shè)定值作為控制變量，其上下限分別設(shè)置為0.92和1.08，相較于初始值上下調(diào)整幅度限制設(shè)置為0.05，目標函數(shù)(9)中系數(shù)矩陣R=diag([0.1],…,[0,1]T)，進行優(yōu)化。

優(yōu)化模型給出的目標函數(shù)中，失穩(wěn)概率降低至2.054%.根據(jù)優(yōu)化結(jié)果調(diào)整控制變量，以Monte Carlo 模擬計算失穩(wěn)概率，結(jié)果為2.215%，二者基本一致。優(yōu)化前后系統(tǒng)的靜態(tài)電壓穩(wěn)定域邊界如圖4所示。圖中亦給出了隨機變量的采樣點。顯然，優(yōu)化結(jié)果將靜態(tài)電壓穩(wěn)定域大幅向外拓展，使更多隨機采樣落在了穩(wěn)定域的內(nèi)部，故由此大幅降低了系統(tǒng)靜態(tài)電壓失穩(wěn)的概率。

圖4 優(yōu)化前后靜態(tài)電壓穩(wěn)定域邊界對比Fig.4 Comparison between the static voltage stability region boundaries before and after optimization

優(yōu)化前后的控制變量，即各發(fā)電機節(jié)點電壓幅值的設(shè)定值則由圖5給出。由圖可知，優(yōu)化結(jié)果提高了32,33,34,36,37,38等6臺發(fā)電機的電壓幅值設(shè)定值。其中發(fā)電機36在優(yōu)化后達到了1.08的上

限，其余5臺發(fā)電機電壓設(shè)定值的增量則達到0.05的上限。另有4臺發(fā)電機的電壓設(shè)定值因其對優(yōu)化目標的靈敏度為0，故優(yōu)化結(jié)果未對其作任何調(diào)整，這表明并非簡單提高發(fā)電機電壓設(shè)定值即可提高系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性。

圖5 優(yōu)化前后發(fā)電機節(jié)點電壓幅值的設(shè)定值Fig.5 Generator voltage magnitude setting values before and after optimization

最后，討論控制變量調(diào)整量的權(quán)重系數(shù)R對優(yōu)化結(jié)果的影響。逐次提高控制量調(diào)整量在目標函數(shù)中的權(quán)重，并采用Monte Carlo模擬求取優(yōu)化后系統(tǒng)的失穩(wěn)概率，結(jié)果由表2給出?？梢钥闯鲭S著控制量權(quán)重的增加，優(yōu)化后系統(tǒng)的失穩(wěn)概率也隨之增加。考慮到增大權(quán)重系數(shù)可以避免發(fā)電機設(shè)定電壓的調(diào)整幅度過大，權(quán)重系數(shù)取1左右為佳。

表2 控制變量調(diào)整權(quán)重對優(yōu)化目標的影響Table 2 Impact of weight of change in control variables on the optimization objective

4 結(jié)論

本文提出了一種基于域的不確定條件下降低電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓失穩(wěn)概率的優(yōu)化方法。結(jié)果表明所提方法能夠有效擴展概率空間中的靜態(tài)電壓穩(wěn)定域，從而提升系統(tǒng)的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性。

本文以最小化失穩(wěn)概率作為優(yōu)化目標，建模仍較為簡單，尚未考慮其與傳統(tǒng)無功優(yōu)化目標之間的協(xié)調(diào)。將經(jīng)濟性因素考慮在內(nèi)形成綜合的風險-效益指標，提出更為全面的優(yōu)化模型和方法將是下一步的研究內(nèi)容。