鐘健

摘 要：電路是整個(gè)中學(xué)階段的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，其中的復(fù)雜電路中的無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)和立體空間網(wǎng)絡(luò)是高考、物理競(jìng)賽的?？碱}型，占據(jù)著重要地位。而這部分內(nèi)容對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)是難點(diǎn)，為此文章作者總結(jié)了幾種無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)和立體空間網(wǎng)絡(luò)求解的方法。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜電路；無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)電路；立體空間網(wǎng)絡(luò)電路

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2018-11-10 文章編號(hào)：1674-120X（2019）01-0076-02

物理考試和物理競(jìng)賽中常出現(xiàn)的無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)及空間網(wǎng)絡(luò)類型的典型題目進(jìn)行例題解說(shuō)，這類題乍一眼看上去非常復(fù)雜，讓人一頭霧水，更不用說(shuō)是解答了。其實(shí)往往越是復(fù)雜的題目，越是有規(guī)律可循。這些類型的題目也不例外，下面主要通過(guò)例題來(lái)揭示它們的規(guī)律。

一、梯形無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)

（一）半無(wú)窮梯形網(wǎng)絡(luò)電阻

半無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)就是一端封閉，另一端無(wú)限延伸的電路。對(duì)于這種網(wǎng)絡(luò)，可以利用其具有無(wú)窮和電阻排列規(guī)律性的特點(diǎn)，當(dāng)整個(gè)電路中少一級(jí)網(wǎng)絡(luò)或多一級(jí)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的總電阻沒(méi)有影響。也就是說(shuō)，當(dāng)無(wú)窮梯形網(wǎng)絡(luò)是由無(wú)限多級(jí)具有相同連接規(guī)律的電阻構(gòu)成的時(shí)，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的等效電阻為一個(gè)固定的值。這種方法也叫做極限法。

例1：如圖1所示電路稱為半無(wú)窮梯形網(wǎng)絡(luò)，求等效電阻Rab。

解析：由于該電路為無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)，因此a、b間的等效總電阻與去掉一級(jí)網(wǎng)絡(luò)格子后的電阻應(yīng)相等，即Rab=Rab……①

又a、b間的電阻等于R2與Ra'b'并聯(lián)后再與R1、R3串聯(lián)，即 …… ②

聯(lián)立①②兩式，化簡(jiǎn)得：

R2ab-（R1+R3）Rab-（R1R2+R2R3）=0，這是一個(gè)關(guān)于Rab的一元二次方程，故：

由于Rab必須大于零，所以上式根號(hào)必須取正號(hào)，因此

半無(wú)窮梯形電路按結(jié)構(gòu)形式可以稱此類電路為開端形半無(wú)窮梯形網(wǎng)絡(luò)，即ab端沒(méi)有閉合。既然有開端形，就應(yīng)該閉端形，如圖2所示的電路就是閉端形半無(wú)窮梯形網(wǎng)絡(luò)。求其等效電阻的方法與解開端性網(wǎng)絡(luò)的思路一樣，同樣也是采用極限法。

（二）缺口形無(wú)窮梯形網(wǎng)絡(luò)

例2：如圖3所示兩端無(wú)窮電路，求中間e、f兩點(diǎn)間的等效電阻。

解析：對(duì)于這種中間缺口型的無(wú)窮梯形網(wǎng)絡(luò)，可以將其看成是左右兩邊各一個(gè)半無(wú)窮梯形網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)而成，設(shè)兩個(gè)半無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)的電阻為R，則有Ref= R，而R就是例題1中計(jì)算出來(lái)的Rab，故：

……①

若開口處不在中間，而是在底邊，如圖4所示，同樣可以將其看成是兩個(gè)半無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)與另一個(gè)電阻R1串聯(lián)而成的，這個(gè)半無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)的等效電阻可采用例題1的解法——極限法求出，具體的計(jì)算過(guò)程交給讀者。計(jì)算的結(jié)果為：

3.完整型無(wú)窮梯形網(wǎng)絡(luò)

例3：如圖5所示，這種電路稱為完整形無(wú)窮梯形網(wǎng)絡(luò)，試求i、j之間的等效電阻Rij。

解析：求i、j之間的電阻Rij有多種不同的方法。

方法一：對(duì)電路進(jìn)行分割，將電阻R2與整個(gè)網(wǎng)絡(luò)電阻電路分開，就可以把這種完整型無(wú)窮梯形網(wǎng)絡(luò)看成是R2與中間缺口形的無(wú)窮梯形網(wǎng)絡(luò)（如例題2）并聯(lián)而成，則有：

，將例題2的結(jié)果①式代入此式可得：

。

方法二：將該電路圖從i、j點(diǎn)處分割，就分割成了一個(gè)開端形半無(wú)窮梯形網(wǎng)絡(luò)與一個(gè)閉端形半無(wú)窮梯形網(wǎng)絡(luò)，這兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)接方式是并聯(lián)的，通過(guò)這種方法也能求出結(jié)果。

另外，如果題目改為求此完整型無(wú)窮梯形網(wǎng)絡(luò)j、k之間的等效的電阻，又應(yīng)該如何做呢？同樣，我們將電阻R3與原電路分割開，很顯然，原電路就變成了底邊缺口形無(wú)窮梯形網(wǎng)絡(luò)，故可以將原電路看成是它與R3并聯(lián)而成，則：

，

將例題2中的②代入上式得結(jié)果：

二、面型無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)

（一）無(wú)窮正方形格子網(wǎng)絡(luò)

例4：一個(gè)無(wú)窮正方形格子網(wǎng)絡(luò)，求相鄰兩結(jié)點(diǎn)AB之間的等效電阻，其中每一小段電阻均為R。

解析：設(shè)電流I從A點(diǎn)流入后流向無(wú)窮遠(yuǎn)處，則會(huì)有I/4的電流從A→B；其他三條支路的電流最終又從無(wú)窮遠(yuǎn)處流回B處再流出，根據(jù)對(duì)稱性，又有I/4的電流從A→B，故AB段電流為兩個(gè)I/4的疊加，從而UAB=（I/2）R，RAB=UAB/I=R/2。

這個(gè)例題的分析中隱含了這樣一種思想：從A點(diǎn)（或B點(diǎn)）流入的電流的對(duì)稱性不會(huì)因?yàn)锽點(diǎn)（或A點(diǎn)）有電流流出而遭到破壞，由基爾霍夫方程組也可以得出這種思想，在這里不做證明。

（二）無(wú)窮正六邊形網(wǎng)絡(luò)

例5：如圖6所示為一個(gè)無(wú)窮正六邊形網(wǎng)絡(luò)，其中每個(gè)正六邊形的邊的電阻都為R。求①結(jié)點(diǎn)AB間的電阻。②若有電流I從A流入G點(diǎn)流出，那么DE段的電流多大？

解析：① 假設(shè)有一電流I由A點(diǎn)流進(jìn)，從B點(diǎn)流出，那么流過(guò)AC段的電流是I/3，電流從C點(diǎn)又分流，有I/6的電流流經(jīng)CB段；其他電流又從無(wú)窮遠(yuǎn)處流回B點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，則AC段有電流I/3，CB段有電流I/6，電流疊加后，即AC段流過(guò)的總電流為2I/3，CB段流過(guò)的總電流是I/3，則有。

解得RAB=R …… ②

同理可知，從A點(diǎn)直接流到DE段的電流為I/12，根據(jù)對(duì)稱性，從無(wú)窮遠(yuǎn)處流經(jīng)DE段的電流也是I/12，故DE段的電流為此兩個(gè)電流的疊加，即I/6。

三、立體空間網(wǎng)絡(luò)

對(duì)于立體空間網(wǎng)絡(luò)，它的著眼點(diǎn)也跟面型無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)一樣，根據(jù)其對(duì)稱性解答。

例6：如圖7，由12段阻值均為1歐的導(dǎo)體棒焊接成的正方體框，試求該正方體兩對(duì)角頂點(diǎn)月AA'間阻值。

解析： 設(shè)想AA'間加電壓，電流從A點(diǎn)分別到B、D、C'，再分別到的路徑完全相同，因?yàn)楦鬟呑柚迪嗟?，所以B、D、C'三點(diǎn)是等電勢(shì)點(diǎn)，同理得B'、D'、C三點(diǎn)也是等電勢(shì)點(diǎn)，可分別等效為同一點(diǎn)B和點(diǎn)B'作等效電路圖，如圖8所示，用R表示各段電阻，這樣就能很容易地求出。

這個(gè)題是根據(jù)電勢(shì)的對(duì)稱性，將電勢(shì)相等的點(diǎn)連在一起，從而簡(jiǎn)化電路，得出結(jié)果。

例7：有三個(gè)相同的金屬圈兩兩相交地連成如圖9所示的形狀，若每一個(gè)金屬圈的原長(zhǎng)電阻為R，試求圖中A、B兩點(diǎn)之間的等效電阻。

解析：從金屬圈的正上方往下看，電路圖可簡(jiǎn)化成如圖10所示電路，由于上下半球及圖10都具有對(duì)稱性，故電路可進(jìn)一步簡(jiǎn)化如圖11所示電路，設(shè)R=4r，則電阻阻值如圖所示。

將電路化成常見(jiàn)電路形式，如圖12，該圖中每個(gè)電阻的阻值均為r，故得，即。

電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻，是電路理論的基本研究課題，本文通過(guò)典例例證，將電阻網(wǎng)絡(luò)電阻求法總結(jié)為三種類型。

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