李 爭(zhēng)，史雁鵬，王蕾永，薛增濤，王群京

(1.河北科技大學(xué)，石家莊 050018；2.安徽大學(xué),合肥 230601)

0 引 言

直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)自從被提出以來(lái)受到廣泛關(guān)注，它是一種將電能直接轉(zhuǎn)換成直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)機(jī)械能而不需任何中間轉(zhuǎn)換機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)裝置[1]，相比于將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的設(shè)備而言，它具有先天的優(yōu)勢(shì)，歐美等發(fā)達(dá)國(guó)家率先開(kāi)始對(duì)直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)展開(kāi)研究，我國(guó)對(duì)于直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)的研究雖然起步較晚，但是有很多國(guó)外的成功經(jīng)驗(yàn)可以借鑒，因此最近幾年我國(guó)對(duì)于直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)的研究發(fā)展速度很快。永磁電機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、推力密度大[2]、能源效率高等諸多優(yōu)點(diǎn)，因此大部分電動(dòng)設(shè)備制造商都采用永磁電機(jī)作為動(dòng)力來(lái)源。永磁同步直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)結(jié)合了永磁電動(dòng)機(jī)和直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)的優(yōu)點(diǎn)[3]，現(xiàn)在正受到越來(lái)越多的重視。

相較于一般的有鐵心直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)，無(wú)鐵心直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)不存在齒槽效應(yīng)，因此推力波動(dòng)小得多。由于動(dòng)子中沒(méi)有鐵心，使得動(dòng)子質(zhì)量較輕，因此動(dòng)態(tài)加速性能很好。在利用有限元法分析直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)時(shí)，雖然結(jié)果準(zhǔn)確，但計(jì)算速度較慢；解析法不僅速度快，而且可以直觀地得到電機(jī)重要部分尺寸與推力及磁場(chǎng)的關(guān)系，有助于對(duì)電機(jī)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。電磁場(chǎng)計(jì)算最常用的兩種方法是等效磁勢(shì)法和等效磁化強(qiáng)度法[3-4]，文獻(xiàn)[5]利用等效磁化電流法計(jì)算了無(wú)鐵心永磁直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)的磁場(chǎng)和推力，文獻(xiàn)[6]利用等效磁化電流法對(duì)有鐵心永磁直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)的磁場(chǎng)和推力進(jìn)行了計(jì)算，文獻(xiàn)[7]提出了一種適用于直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)的永磁磁極等效方法即等效磁勢(shì)法。本文基于等效磁勢(shì)法對(duì)無(wú)鐵心永磁同步直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)的氣隙磁場(chǎng)和推力進(jìn)行了分析，通過(guò)與有限元法計(jì)算結(jié)果對(duì)比，證明了其準(zhǔn)確性。

1 直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)

雙邊無(wú)鐵心永磁同步直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 無(wú)鐵心永磁同步直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)圖

無(wú)鐵心永磁同步直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)由定子和動(dòng)子組成，定子部分由永磁體和背鐵構(gòu)成[3]，永磁體極性分布情況如圖1所示，由于上下側(cè)永磁體磁性相反，存在較大的法向吸力，所以永磁體需要通過(guò)強(qiáng)力膠固定在背鐵上，而且為了避免發(fā)生形變，定子長(zhǎng)度不宜過(guò)長(zhǎng)。動(dòng)子內(nèi)的三相繞組中沒(méi)有鐵心，利用環(huán)氧樹(shù)脂進(jìn)行封裝固定，繞組內(nèi)通入隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的交流電后產(chǎn)生行波磁場(chǎng)，與永磁體產(chǎn)生的靜磁場(chǎng)相互作用推動(dòng)動(dòng)子運(yùn)動(dòng)。由于動(dòng)子是無(wú)鐵心結(jié)構(gòu)，因此不存在齒槽力，端部效應(yīng)也小得多，使得直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)不存在定位力，運(yùn)行更平穩(wěn)，電機(jī)繞組采用5極/3線(xiàn)圈結(jié)構(gòu)，線(xiàn)圈之間排列緊密，能夠有效縮短動(dòng)子長(zhǎng)度，提高動(dòng)子效率。

2 氣隙磁場(chǎng)分析

準(zhǔn)確分析直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)的方法是建立電機(jī)的三維模型，但是三維模型的建立復(fù)雜而且求解方程的個(gè)數(shù)及維數(shù)較多，不利于分析計(jì)算[6]。為了簡(jiǎn)化分析過(guò)程，將三維模型進(jìn)行合理假設(shè)，簡(jiǎn)化為二維模型進(jìn)行計(jì)算，可作如下假設(shè)：

1) 直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)定子在x軸和z軸方向無(wú)限長(zhǎng)；

2) 直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)鐵磁材料的磁導(dǎo)率無(wú)限大；

3) 忽略電機(jī)端部磁場(chǎng)畸變引起的端部效應(yīng)。

根據(jù)如上假設(shè)，可以將復(fù)雜的直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)三維磁場(chǎng)求解問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維磁場(chǎng)求解問(wèn)題[8]。由于永磁同步直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)中的氣隙磁場(chǎng)幾乎全部由永磁體提供，所以在用解析法求解氣隙磁密時(shí)需要將永磁體進(jìn)行等效。等效磁勢(shì)法的原理是將永磁體等效成無(wú)限薄的線(xiàn)圈，使該線(xiàn)圈產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)與永磁體產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)等效，將永磁體和氣隙組成的區(qū)域等效為一無(wú)源場(chǎng)[8]，在求解時(shí)用該線(xiàn)圈產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)進(jìn)行計(jì)算，永磁同步直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)等效磁勢(shì)法分析模型如圖2所示，δ為上下定子背鐵之間的距離，即氣隙高度。

圖2 直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)分析模型

在假設(shè)成立的條件下，永磁體的磁勢(shì)空間分布情況如圖3所示，τ為直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)極距，τm為永磁體寬度，磁勢(shì)分布函數(shù)如下：

圖3 永磁體等效磁勢(shì)分布圖

k=0,1,2,3，…

(1)

(2)

式中：

因?yàn)楸宠F之間的區(qū)域被等效為無(wú)源場(chǎng)，所以其中的標(biāo)量磁位滿(mǎn)足方程[9]：

(3)

利用變量分離法對(duì)方程求解得到方程的通解：

[Cksh(mky)+Dkch(mky)]

(4)

標(biāo)量磁位關(guān)于x軸奇對(duì)稱(chēng)[8]，即u(-x,y)=-u(x,y)，解得Bk=0，代入式(4),將原方程化簡(jiǎn)：

(5)

根據(jù)假設(shè)(2)可得邊界條件：

(6)

將式(6)代入式(5)得到：

(7)

(8)

式中：

聯(lián)立式 (7)，式(8)解得：

Dk=0

(9)

(10)

將式(9)，式(10)代入式(5)中得到：

(11)

將標(biāo)量磁位的通解分別對(duì)x，y求偏導(dǎo),得到氣隙磁密在x，y方向上的分量：

sh(mky)·cos(mkx)

(12)

ch(mky)·sin(mkx)

(13)

3 有限元法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證以上解析法得到的氣隙磁密表達(dá)式的準(zhǔn)確性，建立了永磁同步直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)的二維有限元分析模型，對(duì)氣隙磁密進(jìn)行求解分析。直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)的極距τ=16 mm，永磁體高h(yuǎn)m=5 mm，永磁體寬度τm=13 mm，氣隙高度δ=19.6 mm，繞組高度hc=3.76 mm，得到的磁感線(xiàn)分布圖如圖4所示，氣隙磁密分布圖如圖5所示。

圖4 磁感線(xiàn)分布圖

圖5 氣隙磁密分布圖

將y=0處解析法與有限元法得到的氣隙磁密進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖6所示。由圖6可知，等效磁勢(shì)法的計(jì)算結(jié)果只在磁密曲線(xiàn)的波峰波谷出現(xiàn)明顯誤差，經(jīng)計(jì)算的平均誤差為3.04%，精確度符合要求。y=2 mm處解析法與有限元法計(jì)算的氣隙磁密對(duì)比如圖7所示。兩種方法的計(jì)算結(jié)果平均誤差為3.53%，符合對(duì)準(zhǔn)確度的要求。經(jīng)計(jì)算后得到，當(dāng)y≥3 mm時(shí)，等效磁勢(shì)法的計(jì)算結(jié)果會(huì)出現(xiàn)比較明顯的誤差，因此在本例中繞組的高度應(yīng)控制在6 mm以?xún)?nèi)。推廣到其他的無(wú)鐵心永磁同步直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)，當(dāng)繞組高度不超過(guò)氣隙空間高度的30%時(shí)，可以認(rèn)為等效磁勢(shì)法計(jì)算得到的氣隙磁密表達(dá)式是準(zhǔn)確的。在對(duì)直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)進(jìn)行建模時(shí)，為了便于分析計(jì)算，將三維模型進(jìn)行適當(dāng)假設(shè)，簡(jiǎn)化為二維模型，使得解析法的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生了一定誤差，但是由于誤差較小可以忽略，因此可以認(rèn)為解析法的計(jì)算精度滿(mǎn)足要求。

圖6 y=0處氣隙磁密分布圖

圖7 y=2 mm處氣隙磁密分布圖

4 直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)推力分析

直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)的推力是由永磁體產(chǎn)生的靜磁場(chǎng)和通有正弦交流電的繞組產(chǎn)生的行波磁場(chǎng)相互作用產(chǎn)生，可以通過(guò)直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)的氣隙磁密和繞組的電流密度計(jì)算得到。由于繞組為無(wú)鐵心結(jié)構(gòu)，并且氣隙磁場(chǎng)幾乎全部由永磁體產(chǎn)生，所以電機(jī)不存在齒槽力且端部效應(yīng)小得多。本文中直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)繞組采用5極/3線(xiàn)圈結(jié)構(gòu)，其空間分布如圖8所示。

圖8 繞組空間分布圖

對(duì)應(yīng)圖8的繞組空間分布圖，可以寫(xiě)出直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)A相繞組的電流密度分布函數(shù)：

(14)

式中：

通過(guò)A相繞組的電流密度分布函數(shù)及氣隙磁密的公式可以得到A相繞組產(chǎn)生推力的微分形式：

dFxA=lcJaBydxdy

(15)

對(duì)應(yīng)于圖8的繞組位置，A相繞組產(chǎn)生的推力：

(16)

式中：

將繞組的位置推廣到一般情況，當(dāng)繞組在任意位置時(shí)將坐標(biāo)原點(diǎn)由x0取代，A相繞組的電流密度分布函數(shù)如下式：

(17)

式中：

同理，可以得到B相，C相繞組的電流密度分布函數(shù)。

A相繞組產(chǎn)生的推力：

cos[mk(x0+tc)]

(18)

同理，可以得到B相，C相繞組的推力：

cos[mk(x0+tc+tm)]

(19)

cos[mk(x0+tc+2tm)]

(20)

式中：

將式(18)～式(20)整理后得到直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)繞組產(chǎn)生的總推力：

(21)

當(dāng)電機(jī)繞組中的電流有效值為1 A時(shí)，用解析法和有限元法計(jì)算電機(jī)的推力，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得推力數(shù)據(jù)，并獲得數(shù)據(jù)曲線(xiàn)，結(jié)果如圖9所示。在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，首先將電動(dòng)推桿和測(cè)力計(jì)固定，將測(cè)力計(jì)與上位機(jī)相連，打開(kāi)與測(cè)力計(jì)配套的控制軟件，然后利用直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)勻速推動(dòng)電動(dòng)推桿，在軟件中記錄電機(jī)推力的變化曲線(xiàn)，實(shí)驗(yàn)過(guò)程如圖10所示。從圖9中可以看出，有限元法計(jì)算的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)很接近，解析法求出的推力與兩者的結(jié)果存在一定誤差，經(jīng)計(jì)算得到解析法的計(jì)算結(jié)果與有限元法及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均相對(duì)誤差為3.85%，可以認(rèn)為計(jì)算的結(jié)果是準(zhǔn)確的。由于直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)氣隙中的磁密大小不是按照標(biāo)準(zhǔn)正弦波進(jìn)行分布的，而是存在一定數(shù)量的諧波，因此直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生推力波動(dòng)。從推力波動(dòng)的角度看，電機(jī)的推力輸出比較平穩(wěn)，解析法計(jì)算出的推力波動(dòng)為±1 N，有限元法計(jì)算的推力波動(dòng)為±1.2 N，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的推力波動(dòng)為±1 N，證明解析法計(jì)算的結(jié)果是準(zhǔn)確的。

圖9 解析法、有限元法計(jì)算推力與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

5 結(jié) 語(yǔ)

本文采用等效磁勢(shì)法推導(dǎo)出了無(wú)鐵心永磁同步直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)的氣隙磁密和推力解析表達(dá)式，對(duì)其計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了分析，并建立了直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)的有限元分析模型，利用有限元法計(jì)算電機(jī)的磁場(chǎng)和推力，對(duì)比了兩種方法的計(jì)算結(jié)果，最后進(jìn)行了直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)的推力實(shí)驗(yàn)。通過(guò)計(jì)算得知，等效磁勢(shì)法的計(jì)算誤差在可接受的范圍內(nèi)，驗(yàn)證了磁密和推力解析公式的準(zhǔn)確性。由于得到的磁密表達(dá)式不能保證在整個(gè)氣隙中都保持同樣的準(zhǔn)確性，因此提出使用等效磁勢(shì)法時(shí)為保證精確度需要具備的條件，在無(wú)鐵心永磁同步直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)中，當(dāng)繞組的高度小于氣隙高度的30%時(shí)，利用等效磁勢(shì)法計(jì)算出的直線(xiàn)電動(dòng)機(jī)磁通密度和推力是較為準(zhǔn)確的。