黃景帥，張洪波，湯國建，包為民, 2

(1. 國防科技大學空天科學學院，長沙 410073；2. 中國航天科技集團有限公司，北京 100048)

0 引 言

攔截末制導律的研究起始于20世紀30-40年代，早期的制導律以比例導引(Proportional navigation, PN)為主[1-2]。由于其結(jié)構簡單、易于實現(xiàn)，因而成為工程應用最廣泛的制導律。針對非機動或弱機動目標，PN能夠取得優(yōu)異的制導性能。但隨著目標機動能力的提升，為了規(guī)避攔截系統(tǒng)通常會在攔截末段實施大幅度機動，PN由于未對目標機動進行專門處理導致其難以抑制由目標機動引起的彈目視線旋轉(zhuǎn)，進而制導性能下降。由此，直接補償目標加速度的增廣PN應運而生，但其需要目標的加速度信息，通常難以精確獲得[2]。為了有效攔截大機動目標，學者們基于先進控制理論設計了諸多制導律，期望產(chǎn)生優(yōu)于PN的制導性能。

滑模變結(jié)構控制對模型不確定性和外部干擾具有較強的魯棒性，因此廣泛應用于末制導律的研究。Zhou等[3]采用基于趨近律的滑?？刂圃O計了一種魯棒的自適應滑模制導律，有效抑制了視線的旋轉(zhuǎn)，終端脫靶量顯著低于PN。文獻[4]提出了一種含有廣義的函數(shù)項的滑模變結(jié)構制導律，獲得了對目標機動的魯棒性，具有更小的過載峰值和攔截時間。由于末制導時間短，視線旋轉(zhuǎn)角速率的收斂特性是影響制導性能的主要因素，但上述制導律僅保證了制導系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并沒有涉及其收斂特性?；谟邢迺r間穩(wěn)定理論，文獻[5-7]實現(xiàn)了視線旋轉(zhuǎn)角速率在有限時間范圍內(nèi)收斂至零或其鄰域。在上述魯棒制導律的設計過程中，為了獲得絕對的魯棒性，需要引入以目標機動的上界為增益的切換項來消除未知的目標機動干擾[3-7]。但是，切換項中的符號函數(shù)是非連續(xù)的，易引起制導指令的抖振，降低抖振最簡單的方法是用連續(xù)函數(shù)近似替代符號函數(shù)，例如飽和型函數(shù)、Sigmoid型函數(shù)[3-8]。除抖振外，目標機動的上界通常也難以確定，偏大會惡化抖振，偏小會缺乏魯棒性。

為了較好地對付目標機動，控制視線轉(zhuǎn)率有限時間收斂，同時降低抖振，文獻[9]利用非線性干擾觀測器對目標加速度進行估計，并補償?shù)接邢迺r間收斂制導律中，精確攔截機動目標的同時又有效降低了抖振。與文獻[9]類似，文獻[10]設計了一種有限時間收斂的制導律，并聯(lián)合擴張狀態(tài)觀測器對目標加速度進行估計。雖然實際仿真中上述觀測器的收斂速度較快，但由于無法避免估計誤差，且誤差受系統(tǒng)初始狀態(tài)的影響，因此難以定量給出誤差的上界，進而系統(tǒng)的穩(wěn)定性和視線轉(zhuǎn)率的有限時間收斂性難以嚴格證明。文獻[11]基于有限時間干擾觀測器和新型的自適應趨近律設計了一種有限時間制導律，不需要觀測誤差的上界。與利用觀測器補償目標機動不同，在魯棒的滑?？刂频幕A上，文獻[12-14]將加速度視作上界未知的外界干擾，采用自適應估計算法對其上界進行逼近，并證明了飽和函數(shù)替代符號函數(shù)后制導系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性，消除了抖振。文獻[15]利用自適應控制方法估計干擾上界平方的同時，設計了一種固有光滑的有限時間制導律，證明了制導系統(tǒng)的各狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂至零的鄰域。抑制制導指令的抖振與控制視線轉(zhuǎn)率的有限時間收斂是魯棒制導律的兩個重要的制導品質(zhì)，從以上分析可知，抖振問題已能夠得到很好地解決甚至消除。但是，視線轉(zhuǎn)率有限收斂的時間尚難以靈活精確地控制，收斂時間過長會超出末制導的飛行時間，快速地收斂通常意味著更多的控制消耗，而且有時是不必要的。

鑒于機動目標多數(shù)在大氣層內(nèi)飛行或?qū)嵤C動，例如高超聲速飛行器、機動彈頭和戰(zhàn)斗機等，于是本文針對大氣層內(nèi)機動目標的攔截問題，在上述研究成果的基礎上，為了更靈活精確地控制視線轉(zhuǎn)率有限收斂的時間，同時兼顧控制消耗，設計了視線轉(zhuǎn)率收斂速率可調(diào)整的標準剖面，采用積分滑?？刂品椒ǜ櫂藴势拭?，同時結(jié)合自適應控制方法估計目標機動干擾上界的平方，最終推導得到了自適應的積分滑模制導律，并證明了積分滑模變量、跟蹤誤差與其積分均可在有限時間內(nèi)收斂至零的鄰域。為了適用于大氣層內(nèi)攔截，對所設計的制導律進行了微分幾何形式的轉(zhuǎn)換，使其作用方向垂直于導彈速度。通過仿真，驗證了制導律的有效性。

1 導彈-目標空間攔截模型

為了研究導彈與目標間的相對運動，將兩者均看作質(zhì)點，則導彈末段攔截目標的空間交戰(zhàn)場景可由圖1表示。圖中，oIxIyIzI為慣性坐標系，M和T分別代表導彈和目標，由M指向T的矢量r為彈目視線(Line of sight, LOS)方向，vm和vt分別表示導彈和目標的速度。

圖1 彈目攔截交戰(zhàn)Fig.1 Intercept engagement between missile and target

由圖1可知，彈目相對運動的位置關系為

r=rt-rm=rer

(1)

式中：r為彈目之間的相對距離，er為視線方向上的單位矢量。因為目標相對于導彈的位置變化，視線在慣性空間中會產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，設其旋轉(zhuǎn)角速度為ω。由于視線的旋轉(zhuǎn)完全決定于導彈和目標的速度在垂直視線方向上的分量，因此視線的旋轉(zhuǎn)角速度垂直于視線，且

(2)

式中：v=vt-vm，eω為ω方向上的單位矢量，ω為視線旋轉(zhuǎn)的角速度大小，簡稱視線轉(zhuǎn)率。求取式(1)的時間導數(shù)并聯(lián)立式(2)得

(3)

為了定量描述彈目的相對運動，本文采用文獻[16]提出的視線旋轉(zhuǎn)坐標系。相比于文獻[6,9]所示的視線坐標系，由此建立的方程形式簡潔，不存在耦合。定義單位矢量eθ=eω×er，(er,eθ,eω)構成的直角坐標系即為視線旋轉(zhuǎn)坐標系，原點位于導彈的質(zhì)心處，er和eθ張成的平面稱為交會平面，eω為該平面的法向?；谏鲜龆x，可得如下關系[16]：

(4)

式中：Ω為交會平面旋轉(zhuǎn)角速度大小。對式(3)繼續(xù)求導并聯(lián)立式(4)可得彈目相對運動的標量方程組為

(5)

式中：atr、atθ與atω為目標加速度在視線旋轉(zhuǎn)坐標系下的三個分量，amr、amθ與amω為導彈加速度在視線旋轉(zhuǎn)坐標系下的三個分量。式(5)表明，交會平面內(nèi)的相對運動與其轉(zhuǎn)動是解耦的。

在進行制導律設計之前，作如下假設。

假設1. 忽略導彈導引頭和控制系統(tǒng)的動態(tài)特性，認為其可以實現(xiàn)理想的制導過程。

假設2. 目標的機動幅值是有限的。

2 自適應積分滑模制導律

2.1 制導律設計

攔截制導律設計的基本原則是抑制視線的旋轉(zhuǎn)，將導彈控制在與目標組成碰撞或準碰撞三角形的位置上[4]。由式(5)可知，通過設計合理的amθ即可控制ω的變化。

令vθ=rω，則式(5)的第二式可表示為

(6)

定義如下誤差變量

e=vθ-vθc

(7)

式中：vθc為vθ的期望值。vθc的剖面表達式設計為

(8)

式中：r0和ω0分別為攔截初始時刻r和ω的相應值，Δ≥0，η≥1。由式(8)可知，當r→0時，vθc→Δ，通過改變η可調(diào)整vθc的收斂速率，且初始時刻的e值取為零，為了防止攔截起始階段的導彈過載過大。

(9)

式中：atθ和amθ分別為系統(tǒng)的干擾和控制輸入。本文的目標是設計合適的amθ，在未知有界干擾atθ存在的條件下，使系統(tǒng)狀態(tài)有限時間內(nèi)收斂至零或其鄰域內(nèi)。取如下形式的積分滑模面[17]：

(10)

式中：t≥t0,l1>0,l2>0, 0<α<1, sgn(·)為符號函數(shù)?；Ｗ兞縮(t0)=0意味著在攔截起始時刻系統(tǒng)狀態(tài)即位于滑模面上。對式(10)求導并聯(lián)立式(9)，可得

(11)

設定如下的快速趨近律：

(12)

式中：k1>0,k2>0, 0<μ<1。聯(lián)立式(11)-(12)，可得積分滑模制導律(Integral sliding-mode guidance law, ISMGL)的表達式為

(13)

式(13)包含未知的目標加速度項atθ，致使其無法應用，為此采用自適應控制方法對|atθ|上界的平方進行估計。根據(jù)假設2，可設|atθ|≤d,d為正常數(shù)，引入如下形式的自適應律對κ=d2進行估計[15]：

(14)

(15)

(16)

式中：satδ1(x1)為飽和函數(shù)，表達式為

(17)

satδ2(x2)與satδs(s)以此類推。

2.2 穩(wěn)定性分析

在對AISMGL進行穩(wěn)定性分析之前，先給出需用的引理。

引理1[18]. 定義在包含原點的鄰域U?Rn上的光滑正定函數(shù)V(x,t)，若存在實數(shù)a、b>0, 0<γ<1，使得下式成立：

(18)

則該函數(shù)值將在有限時間內(nèi)收斂至零，且收斂時間滿足

(19)

式中：x(t0)=x0,t0為初始時刻。

引理2[19]. 對于雙重積分系統(tǒng)：

(20)

若采用如下形式的反饋律：

(21)

式中：g1>0,g2>0, 0

定理1. 針對式(9)所示的非線性制導系統(tǒng)，若采用設計的AISMGL進行制導，有如下結(jié)論成立：

1) 滑模變量有限時間收斂至|s|≤Θ。

2) 系統(tǒng)狀態(tài)分別有限收斂至|x1|≤Θ2和|x2|≤Θ3。

各收斂域的具體表達式為

(22)

式中：Θ1為與d、ζ和Θ有關的正常數(shù)，ζ定義見證明過程。

證. 取如下形式的Lyapunov函數(shù)：

(23)

(24)

(25)

聯(lián)立式(25)和(14)，代入式(24)可得

(26)

由基本不等式可得

(27)

將式(27)代入式(26)有

-χV1+ψ

(28)

(29)

對其求導得

(30)

(31)

(32)

將式(32)改寫成如下兩種形式[20]：

(33)

(34)

同理，可得x2的收斂域為

(35)

證畢。

3 制導指令轉(zhuǎn)換

根據(jù)制導指令作用方向的不同，攔截制導律可主要劃分為垂直導彈速度和彈目視線兩類。由于大氣層內(nèi)攔截彈利用氣動力提供機動過載，大氣層外的攔截彈利用安裝在彈體質(zhì)心處的軌控發(fā)動機提供機動過載，因此垂直導彈速度和彈目視線的制導律分別適用于大氣層內(nèi)和外的攔截。鑒于式(16)表示的AISMGL的作用方向垂直于視線，為了應對大氣層內(nèi)的機動目標，采用如下形式的制導指令轉(zhuǎn)換[21]：

(36)

式中：am為導彈的制導加速度，nm為垂直于導彈速度的單位矢量。

為了保證式(36)中的分母不為零，令

nm·eθ=λ

(37)

式中：0<λ≤1。同時，nm還須滿足以下兩約束[22]：

(38)

式中：tm為導彈速度方向上的單位矢量。聯(lián)立式(37)-(38)可解得nm存在的條件為

1-(tm·eθ)2≥λ2

(39)

由式(39)，將λ設置為

(40)

式中：σ>0足夠小。由此，可獲得兩個滿足條件的解，記作nm1與nm2。考慮到制導指令的連續(xù)性，應取滿足如下條件的解：

(41)

4 仿真校驗

為了校驗AISMGL的有效性，對不同類型的機動目標實施了攔截仿真。同時，考慮現(xiàn)有的兩種制導律與AISMGL作比較，分別為經(jīng)典的PPN制導律和文獻[10]中基于有限時間穩(wěn)定理論與擴張狀態(tài)觀測器設計的微分幾何制導律，簡記為DGGL-FE。PPN的表達式為

am=N1ω×vm

(42)

式中：N1為有效導航比。DGGL-FE的表達式為

(43)

導彈和目標在慣性坐標系oIxIyIzI下的初始狀態(tài)如表1所示。

表1 導彈和目標初始狀態(tài)Table 1 Initial states of missile and target

(44)

基于上述攔截條件，仿真結(jié)果如圖2-6和表3

表2 制導律參數(shù)Table 2 Parameter settings for guidance laws

所示。由圖3可知，制導系統(tǒng)的狀態(tài)變量快速地收斂至零附近，vθ較好地跟蹤了設計的期望值vθc，表明了自適應算法抑制目標機動干擾的有效性。由于PPN未對目標機動做專門處理，在圖4中相比于AISMGL與DGGL-FE，其視線轉(zhuǎn)率無法得到有效抑制。DGGL-FE的視線轉(zhuǎn)率在有限時間內(nèi)收斂至零附近；由于η=2，AISMGL的視線轉(zhuǎn)率呈準線性減小的趨勢，與式(8)相吻合。圖5給出了過載分布曲線，AISMGL的過載分布均勻。由于系統(tǒng)狀態(tài)在攔截初始時刻即位于滑模面上，因此AISMGL的起始段過載較小，而DGGL-FE由于嵌入的觀測器存在估計誤差的初始尖峰現(xiàn)象，致使初始過載較大。在能量消耗方面，AISMGL明顯優(yōu)于PPN，且低于補償目標加速度的DGGL-FE，表明控制視線轉(zhuǎn)率提前收斂會消耗更多能量。

圖2 攔截軌跡(情景一)Fig.2 Intercept trajectories (scenario 1)

圖3 系統(tǒng)變量隨時間變化(情景一)Fig.3 System variables versus time (scenario 1)

圖4 視線轉(zhuǎn)率隨時間變化(情景一)Fig.4 LOSR rate versus time (scenario 1)

圖5 制導加速度大小隨時間變化(情景一)Fig.5 Guidance acceleration magnitude versus time (scenario 1)

制導律脫靶量/m總能量消耗/(m·s-1)AISMGL0.085411.16DGGL-FE0.203425.87PPN0.266582.44

情景二：目標正弦機動，參數(shù)設置與情景一相同，仿真結(jié)果如圖7-11和表4所示。由仿真結(jié)果可知，與情景一相同，AISMGL的初始過載小，過載分布均勻。在脫靶量和總能量消耗方面AISMGL依然優(yōu)于PPN，稍遜于DGGL-FE，表明此時控制視線轉(zhuǎn)率盡早收斂可降低制導指令隨著目標的正弦機動進行振蕩的幅度，更有利于節(jié)省能量。

圖7 攔截軌跡(情景二)Fig.7 Intercept trajectories (scenario 2)

圖8 系統(tǒng)變量隨時間變化(情景二)Fig.8 System variables versus time (scenario 2)

圖9 視線轉(zhuǎn)率隨時間變化(情景二)Fig.9 LOS rate versus time (scenario 2)

圖11 能量消耗隨時間變化(情景二)Fig.11 Energy consumption versus time (scenario 2)

制導律脫靶量/m總能量消耗/(m·s-1)AISMGL0.534461.91DGGL-FE0.480454.86PPN1.089478.88

與DGGL-FE相比，AISMGL可通過直接調(diào)節(jié)參數(shù)η來定量地控制視線轉(zhuǎn)率的收斂速率，而DGGL-FE由于嵌入的觀測器存在估計誤差無法精確地給出視線轉(zhuǎn)率的收斂時間。圖12給出了不同η條件下攔截常值和正弦機動目標時視線轉(zhuǎn)率的變化，η值越大其收斂速率越快。圖13給出了脫靶量和總能量消耗隨η的變化，脫靶量稍有波動，基本處于同一水平，不同機動形式下總能量消耗隨η的變化趨勢不同。

情景三：情景一與情景二均是在確定性的條件下實施的攔截仿真，但在實際的攔截中，制導信息不可避免地含有測量噪聲。因此，為了驗證所設計制導律的噪聲特性，考慮相對距離、相對距離變化率、視線角和視線角速率的實際測量量中分別含有三倍標準差為10 m、10 m/s、0.01°和0.01/((°)/s)的高斯白噪聲，并在上述仿真條件的基礎上進行了300次的蒙特卡洛仿真，圖14～圖15分別給出了攔截常值和正弦機動目標時脫靶量和總能量消耗的統(tǒng)計結(jié)果?？煽闯觯O計的AISMGL具有良好的噪聲特性，脫靶量和總能量消耗的波動范圍較小，依然保持了確定性條件下的制導品質(zhì)，易于工程實現(xiàn)。

圖12 不同η下視線轉(zhuǎn)率收斂Fig.12 LOSR convergences under different values of η

圖13 脫靶量和總能量消耗隨η的變化Fig.13 Miss distance and total energy consumption versus η

圖14 常值機動的統(tǒng)計分布Fig.14 Statistical distributions of constant maneuvering

圖15 正弦機動的統(tǒng)計分布Fig.15 Statistical distributions of sinusoidal maneuvering

5 結(jié) 論

本文從抑制彈目視線旋轉(zhuǎn)的基本原則出發(fā)，設計了視線轉(zhuǎn)率收斂速率可調(diào)的跟蹤剖面，采用自適應積分滑?？刂坪椭茖е噶钷D(zhuǎn)換方法推導了適用于攔截大氣層內(nèi)機動目標的自適應積分滑模制導律。仿真結(jié)果表明，文中所提出的制導律可精確命中機動目標，剖面跟蹤誤差能夠在有限時間內(nèi)快速收斂，并具有良好的噪聲特性，易于工程實現(xiàn)。與已有制導律相比，可通過調(diào)整剖面參數(shù)靈活控制視線轉(zhuǎn)率的收斂速率，過載分布均勻，能量消耗少。后續(xù)研究考慮如何智能地調(diào)整視線轉(zhuǎn)率的收斂速率來進一步降低能量消耗。