夏愛玉

【摘要】數學課堂教學需要引發(fā)學生深度學習，需要教師以整體視野來教學，突破一節(jié)課的知識點的局限，通過對“變”與“不變”的思考，采用有效的方式幫助學生建構知識體系，在“變化”之中探究“不變”，在“不變”之中明晰“變”，引導學生經歷發(fā)現共性的不變，尋找不變之中蘊含的變化的規(guī)律，以教學“商不變規(guī)律”為例，從最初的僅僅注視除法運算的一角，到發(fā)散開來引發(fā)學生對積、和、差不變的規(guī)律的思考，不僅僅更加牢固掌握商不變的規(guī)律，還學會觀察、分析、猜想、驗證的方法，學會了“變”和“不變”的辯證思考，更學會了對事物的積極探究態(tài)度。

【關鍵詞】變與不變;商不變的規(guī)律;深度學習

“商不變規(guī)律”一課是義務教育教科書蘇教版國標本四年級上冊《數學》第23頁的教學內容。這一課安排在第二單元《兩三位數除以兩位數》的第7個例題，是在學生已經學習了幾十、幾百幾十除以整十數的口算、兩三位數除以兩位數的筆算的基礎上進行教學的，這是為了加深學生對除法運算的理解，也是為了進一步學習被除數和除數末尾有0的除法提供依據。但是用簡便方法計算被除數和除數末尾都有0的除法時，余數的情況相對比較復雜，學生理解起來是有一定的困難，也是這一部分內容的教學難點。如果這一課僅僅停留在對“商不變”的掌握的層面，一是會對后續(xù)的學習產生負遷移，二是不容易培養(yǎng)學生思維的深度。

這一部分內容看似淺顯易懂，其實內容豐富，怎樣能讓學生有更多的收獲，激發(fā)學生更深度的思考？本課重點強調商不變，那不變之中，有沒有變的呢？以“變”和“不變”為主線，梳理教學內容，理清教學的脈絡，既能有利于學生建立系統(tǒng)的認知，又能有利于學生辯證分析深度思考。因此，筆者對這一部分的教學做了以下研究。

一、探究新知，感受“變”中的“不變”

學生對于事物的認知往往是從區(qū)分事物開始，在比較中進一步分析與思考。在眾多紛繁的“變化”中發(fā)現“不變”的內容，從而產生猜想和驗證。

課堂開始，呈現一組組算式，不同的算式，被除數和除數都在變，但是無論怎么變，商都是不變的，讓學生在不斷地變化中，感受不變，產生“商不變”的猜想，進而主動列舉更多變化的算式來驗證猜想，求證不變。

出示了課本第23頁的例題，但是又有所不同，見下表。

被除數 除數 除法算式 商

100 20 100÷20 5

100×2 20×2 200÷40 5

100×4 20×4

100÷2 20÷2

100÷4 20÷4

100×（? ? ） 20×（? ） 5

100÷（? ? ） 20÷（? ） 5

表格的前5行呈現給學生的是大量的“變化”被除數和除數，讓學生反復書寫計算得出的商都是 “不變”的。在大量的被除數和除數的“變化”狀態(tài)下，凸顯了商“不變”，不僅僅進一步鞏固了除法口算，還對被除數和除數的變化有了初步的感知。然后增加了最后的兩行，既能引發(fā)學生自己探究規(guī)律，又能搜集學生對于這題例舉的猜想驗證的算式，以作為教學資源。這樣的教學，使學生對各道除法算式的觀察中感受到了認識世界的一般方法，在被除數和除法的變化之中發(fā)現商不變的規(guī)律。

二、回首新知，找尋“不變”中的“變”

當學生自主探究，大量舉例驗證了猜想的時候，“不變”已經成了學生研究的重點。當學生自信已經弄懂商不變規(guī)律的時候，且沉浸在學會又“迷信”新知中，教師反問學生：不變之中，有沒有變的？把學生的思緒從“不變”中拉回來，學會審視新知。

師：剛才這些算式，都是符合“商不變規(guī)律的”，商是“不變”的，那有沒有其他變化的？

生：被除數和除數在變。

師：怎么變？

生：同時乘或者除以一個相同的數（0除外）。

師：如果被除數和除數“不同時”變，會怎樣？我們來看看這題：

540÷18=300

54÷18=（ ）

5400÷18=（ ）

生：除數不變，被除數除以10，商除以10;被除數乘10 ，商也就乘10。

師：是這樣的嗎？請你們自己小組內舉例看看是不是這樣的。

生舉例驗證。

師：有反例嗎？要注意什么？

……

師：剛才我們是假定除數不變，如果被除數擴大到原來的10倍，商就“隨著”擴大到原來的10倍。如果被除數縮小到原來的，商就“隨著”縮小到原來的。那如果“被除數”不變呢？你能舉一些例子嗎？

生：我舉的例子是——

54÷18=3

54÷9=6

54÷54=1

我發(fā)現了如果被除數不變，除數除以2，商就乘2;如果除數乘3，商就反而除以3。

師：其他同學，你們舉的例子也是這樣的嗎？小組內交流。

學生小組交流。

師：他的發(fā)言中，說到被除數不變的時候，除數變化了，提到一個詞說商怎么變的？

生：反而。

師：是的，這個詞說明當被除數不變的時候，商和除數變化的情況剛好相反。剛才都是假定被數數不變或者除數不變，如果這兩個數“同時”變，但是變的大小不相同呢？出示：

100÷2=（? ）

（100÷5）÷（2×5）=（? ?）

（100÷5）÷（2÷2）=（? ?）

（100×5）÷（2×2）=（? ?）

（100÷5）÷（2×2）=（? ?）

（100×5）÷（2÷2）=（? ?）

師：這時候商變了嗎？

生：變了。

師：這時候商的變化很大，比之前舉的例子更復雜，后面的練習課上我們會繼續(xù)研究。

考慮到本課是新授課，主要是讓學生初步感知“不變”之中“有變”，而且是有規(guī)律地變。這里做了探究，借著這樣的設計拓寬學生的視野，引導學生進行深度思考。

三、遷移新知，發(fā)現不同運算中的“變”與“不變”

“變”和“不變”可以說是無處不在的。在除法中有，在乘法、加法、減法之中也有嗎？作為教師對這些問題可以清楚回答，但是引導學生能自己提出這樣的問題思考才顯得更有價值。為了能進一步引導學生深入體會“變”和“不變”的普遍性，筆者是這樣設計的。

師：今天我們學習了什么？

生：商不變的規(guī)律。

師：具體說說看。

生：被除數……

師：非常流暢，這個規(guī)律很容易弄懂，你們還有問題嗎？

生：沒有。

師：我有一個問題，“商”不變的規(guī)律，“積”呢？有“積”不變的規(guī)律嗎？

生：沒有——（整齊劃一）

師：是真的嗎？

學生靜下來了，有一個學生叫了：不對，有的，10×10=100;把第一乘數乘2，第二個乘數除以2，商還是100。（老師板書）

（10×2）×（10÷2）=100（全班認同）

師：其他同學也能舉個這樣“積不變的規(guī)律”的例子嗎？

學生紛紛舉例，匯報。

師：乘法算式中的第一個乘數和第二個乘數是怎么變的呢？也是“同時”“乘或者除以”“相同”的一個數嗎？

生：是“相同”的一個數，但是一個“乘”，一個要“除”。

師：“除”和“除以”的含義不一樣，你的意思是當第一個乘數“乘幾”，第二個乘數就“除以幾”，是嗎？

生：是的，乘和除以的數是相同的，也是“同時”變的，只是一個乘數擴大了，一個乘數縮小了。

師：乘或者除以的這個“相同”的數，可以為0嗎？

生：也不能，如果為0，那積就是0，而原來的算式10×10不等于0。

生：還有，第二個乘數不能除以0，0不能作除數。

師：是呀，乘法算式中，第一個乘數乘幾，第二個乘數就除以幾，（0除外），得到的積就不變。那么加法算式中，有和不變規(guī)律嗎？

生：有，10+10=20，（10+1）+（10-1）=20。

生：也是與“積不變”的規(guī)律很像。第一個加數加幾，第二個加數就減去幾，（0除外），得到的積不變。

師：兩個加數加上或者減去的數不可以為0嗎？

生：嗯，是的。

生：不是的，可以為0，你們看（10+0）+（10-0）=20，加上0或者減去0還是原來的加數。

師：乘法的積、加法的和，你們分別探究得到了規(guī)律，還想到了什么？

生：差不變的規(guī)律。

師：有嗎？誰舉個例子。

生：100-80=20;（100-50）-（80-50）=20。

師：對不對？被減數和減數是怎么變的？

生：同加同減。

師：能同乘同除以一個數嗎？

生：不行，10×10+10×10=200，10÷10+10÷10=2，都發(fā)生改變了。

以這樣整體視野來教學，突破一節(jié)課的局限，打通知識之間的聯(lián)系，在“變化”之中發(fā)現“不變”，在“不變”之中明晰“變”，經歷了發(fā)現共性的不變，尋找變化的規(guī)律，讓思維在“變”與“不變”之中穿梭，從最初的僅僅注視除法運算的一角，到發(fā)散開來，發(fā)現積、和、差不變的規(guī)律，學生不僅更加牢固掌握“商不變”的規(guī)律，學會的觀察、分析、猜想、驗證的方法，學會了“變”和“不變”的辯證思考，更學會了對事物的積極探究態(tài)度。

一節(jié)數學課如果能讓學生產生積極的數學思考，而不是僅僅局限于知識本位的教學，才是真正的數學教學意義所在，不僅是借助數學問題、數學關系來吸引學生，更是啟迪學生的數學思維，讓數學課堂彰顯思考的魅力。

【參考文獻】

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