(西安電子科技大學(xué)電子信息攻防對(duì)抗與仿真技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 陜西西安 710071)

0 引言

陣列處理中信號(hào)的波達(dá)方向估計(jì)是雷達(dá)等探測(cè)系統(tǒng)的主要任務(wù)之一，在信源為窄帶信號(hào)的基礎(chǔ)上，過(guò)去幾十年對(duì)DOA估計(jì)研究的過(guò)程中產(chǎn)生了經(jīng)典的Capon方法[1-2]和子空間算法[3-6]等。由于寬帶信號(hào)攜帶更多的信息量和更強(qiáng)的抗干擾能力[7]，因此對(duì)于寬帶信號(hào)的研究更具有意義。對(duì)于寬帶信號(hào)的測(cè)向方法主要分為兩大類：非相干信號(hào)子空間法[8](Incoherent Signal-subspace Method，ISM)和相干信號(hào)子空間法[9-10](Coherent Signal-subspace Method，CSM)。ISM算法是將寬帶信號(hào)在頻域上分解成不重疊的窄帶分量，在每一個(gè)窄帶上使用子空間高分辨測(cè)向算法，然后對(duì)所有的子帶空間譜進(jìn)行幾何平均，得到寬帶信號(hào)的DOA估計(jì)。這種算法不能發(fā)揮相干數(shù)據(jù)積累作用，抵抗噪聲能力較弱。CSM算法通過(guò)構(gòu)造聚焦矩陣，將不同頻點(diǎn)上的數(shù)據(jù)聚焦到參考頻率上，然后通過(guò)子空間分解算法進(jìn)行寬帶信號(hào)的空間譜估計(jì)。這種算法的缺點(diǎn)是需要構(gòu)造聚焦矩陣，在構(gòu)造過(guò)程中需要預(yù)估計(jì)角度且需要選擇合適的聚焦頻率。文獻(xiàn)[11-12]使用Khatri-Rao子空間進(jìn)行聚焦，這種算法雖然提高了估計(jì)性能，但仍需DOA預(yù)估計(jì)，由此帶來(lái)的計(jì)算量依然較大。文獻(xiàn)[13]提出了基于網(wǎng)格失配迭代最小化稀疏學(xué)習(xí)的寬帶DOA估計(jì)方法，雖然在低信噪比條件下具有良好的DOA估計(jì)精度和分辨率，可以不依賴信源數(shù)等先驗(yàn)信息，但由于網(wǎng)格失配等導(dǎo)致計(jì)算量較大。

為解決CSM算法計(jì)算量大的問(wèn)題，本文對(duì)聚焦類算法RSS(Rational Signal-Subspace)進(jìn)行了改進(jìn)。首先對(duì)頻域數(shù)據(jù)聚焦后計(jì)算得到的協(xié)方差矩陣，取其虛部構(gòu)造實(shí)值矩陣[14]，根據(jù)實(shí)值矩陣噪聲子空間的特點(diǎn)，在搜索譜峰時(shí)中可以僅搜索一半的角度，對(duì)于搜索時(shí)出現(xiàn)的角度模糊問(wèn)題，可通過(guò)MUSIC算法去模糊，從而達(dá)到正確估計(jì)效果。

1 寬帶信號(hào)數(shù)學(xué)模型

寬帶信號(hào)不同于窄帶信號(hào)，其包絡(luò)的變化與信號(hào)的瞬時(shí)頻率有關(guān)，同一時(shí)刻不同陣元上的信號(hào)相位和包絡(luò)均有差異，且信號(hào)包絡(luò)的差異不能忽略不計(jì)。假設(shè)空間遠(yuǎn)場(chǎng)存在P個(gè)寬帶信號(hào)，信號(hào)帶寬B∈[fl,fh]，以角度θ1,θ2,…,θP入射到由M個(gè)陣元組成的均勻線陣上，陣元間距d為最高頻率fh對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的一半，以第一個(gè)陣元為參考陣元，則第m個(gè)陣元接收到的信號(hào)xm(t)為

(1)

X(fj)=Aθ(fj)S(fj)+N(fj)

(2)

式中:X(fj)=[X1(fj),X2(fj),…,XM(fj)]T為第j個(gè)子頻帶的頻域數(shù)據(jù)，j=1,2，…，J,其中[·]T表示對(duì)矩陣的轉(zhuǎn)置；Aθ(fj)為頻率fj處的陣列流型矩陣，可表示為Aθ(fj)=[a(fj,θ1),a(fj,θ2),…,a(fj,θP)]，其中a(fj,θp)為在頻率fj處對(duì)應(yīng)θp的導(dǎo)向矢量，可表示為

a(fj,θp)=[1,e-j2πfjdsinθp/c,…,e-j2πfj(M-1)dsinθp/c]T

(3)

從式(3)可以看出在陣元結(jié)構(gòu)確定的條件下，寬帶下的導(dǎo)向矢量不僅與來(lái)波方向有關(guān)，還與子頻帶頻率有關(guān)。

2 基于實(shí)值矩陣的寬帶信號(hào)DOA估計(jì)算法

聚焦類算法RSS是通過(guò)聚焦矩陣將頻域數(shù)據(jù)聚焦到同一參考頻率上，再使用子空間算法進(jìn)行寬帶信號(hào)的空間譜估計(jì)。由于RSS算法是采用低分辨的波束形成作預(yù)估計(jì)，因此會(huì)不可避免地帶來(lái)較大的初值誤差，當(dāng)需要提高估計(jì)精度時(shí)，需要根據(jù)譜峰搜索結(jié)果利用RSS算法進(jìn)行多次迭代求解，逐漸逼近真實(shí)信號(hào)來(lái)向。這種迭代會(huì)導(dǎo)致估計(jì)DOA計(jì)算復(fù)雜度較高，針對(duì)每次迭代過(guò)程中的計(jì)算量大這種問(wèn)題采用實(shí)值矩陣算法對(duì)RSS算法進(jìn)行改進(jìn)。

2.1 基本原理

RSS算法對(duì)寬帶信號(hào)的處理是構(gòu)造一個(gè)隨頻率變化的矩陣T(fj)，將不同頻率段的方向矩陣聚焦到同一參考頻率段f0下的矩陣，即

T(fj)Aθ(fj)=Aθ(f0)

(4)

式中，T(fj)為聚焦矩陣，f0為參考頻率，即聚焦頻率。聚焦矩陣T(fj)將信號(hào)帶寬內(nèi)不同頻率的陣列流型或信號(hào)子空間變換映射到同一參考頻率f0上，使得寬帶目標(biāo)信號(hào)具有同一信號(hào)子空間。對(duì)寬帶信號(hào)X(fj)進(jìn)行聚焦變換，由式(2)可得到聚焦后的陣列輸出為

T(fj)X(fj)=T(fj)Aθ(fj)S(fj)+

T(fj)N(fj)=

Aθ(f0)S(fj)+T(fj)N(fj)

(5)

由式(5)可得經(jīng)過(guò)聚焦變換后，陣列流型矩陣聚焦到了參考頻率f0上，設(shè)聚焦之后陣列的輸出信號(hào)為Y(fj)，則

Y(fj)=T(fj)X(fj)

(6)

則由式(6)可知，聚焦后陣列各頻率點(diǎn)下的協(xié)方差矩陣求和平均得到

(7)

式中，RY為聚焦后的協(xié)方差矩陣，(·)H為矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。對(duì)其進(jìn)行分析，將其分為由實(shí)部和虛部組成的兩部分：

[ReT(Y(fj))-iImT(Y(fj))]}=

Im(Y(fj))·ImT(Y(fj))}+

Re(Y(fj))·ImT(Y(fj))}

(8)

式中，Re(·)表示矩陣的實(shí)部，Im(·)表示矩陣的虛部。因此，協(xié)方差矩陣的實(shí)部和虛部可以表示為

Im(Y(fj))·ImT(Y(fj))}

(9)

Re(Y(fj))·ImT(Y(fj))}

(10)

對(duì)RY，Re(RY)，Im(RY)觀察可以發(fā)現(xiàn)在 Re(RY)中只存在二階項(xiàng)Re(Y(fj))ReT(Y(fj))，Im(Y(fj))ImT(Y(fj))，而在Im(RY)中則相反，只包含交叉項(xiàng)Im(Y(fj))ReT(Y(fj))， Re(Y(fj))ImT(Y(fj))。由式(8)可以看出，傳統(tǒng)MUSIC一類的DOA估計(jì)算法是對(duì)實(shí)部和虛部都存在的協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，而在Re(RY)和 Im(RY)中同樣包含了數(shù)據(jù)的虛部和實(shí)部信息，因此可以單獨(dú)使用協(xié)方差矩陣的實(shí)部或者虛部來(lái)進(jìn)行DOA估計(jì)，以減小運(yùn)算復(fù)雜度。

2.2 對(duì)于協(xié)方差矩陣虛部的子空間分解

由上述分析可知，僅使用協(xié)方差矩陣的實(shí)部或虛部就能完成DOA估計(jì)，這里選取協(xié)方差矩陣虛部進(jìn)行子空間分解求解噪聲子空間Z，對(duì) Im(RY)進(jìn)行特征值分解，則有

(11)

式中：Us為由大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量張成的子空間，即信號(hào)子空間；Z為由小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量張成的子空間，即噪聲子空間。由于Im(RY)為實(shí)值矩陣，則特征值分解產(chǎn)生的Us，Z均為實(shí)值矩陣。此外，對(duì)于任意的線性陣列可以得到A*(θ)=A(-θ)，根據(jù)導(dǎo)向矢量張成的子空間和噪聲子空間相互正交，因此有

(12)

由上述理論可得使用實(shí)值矩陣計(jì)算得到噪聲子空間的搜索原理為

(13)

(14)

因此基于實(shí)值矩陣的寬帶DOA的估計(jì)算法的基本步驟：

2) 粗估計(jì)到達(dá)角度并構(gòu)造聚焦矩陣，選定參考頻率，將各個(gè)子帶上的數(shù)據(jù)聚焦到參考頻率上；

3) 對(duì)于聚焦后的陣列輸出信號(hào)求其自相關(guān)矩陣RY，并取其虛部Im(RY)對(duì)其進(jìn)行特征值分解并計(jì)算噪聲子空間矩陣Z；

5) 當(dāng)需要提高估計(jì)性能時(shí)，可根據(jù)搜索的譜峰重新構(gòu)造聚焦矩陣，將頻域數(shù)據(jù)聚焦到參考頻率上并對(duì)第三到第五步進(jìn)行迭代；

2.3 計(jì)算復(fù)雜度分析

對(duì)于寬帶信號(hào)DOA估計(jì)算法，其計(jì)算量主要包括對(duì)接收數(shù)據(jù)做的傅里葉變換、粗估計(jì)角度、使用子空間算法估計(jì)DOA三個(gè)方面，前兩部分計(jì)算量較小且為兩種算法所共有，本文所提出的改進(jìn)算法主要減小第三部分的計(jì)算量?？紤]陣元數(shù)為M，信號(hào)個(gè)數(shù)為P，快拍數(shù)為N的情況，當(dāng)使用改進(jìn)算法時(shí)，能夠?qū)⑺阉鞣秶鷾p小為原來(lái)的一半，且在每一個(gè)搜索角度所需使用的時(shí)間復(fù)雜度為O(2PM+4M2)。使用改進(jìn)算法會(huì)遇到角度模糊的問(wèn)題，在去模糊時(shí)，對(duì)于REAL-MUSIC改進(jìn)算法搜索出的角度，通過(guò)比較f1(θi)和f1(-θi)的大小即可達(dá)到目的，而這些計(jì)算量相對(duì)于復(fù)數(shù)運(yùn)算和整個(gè)頻譜的搜索是可以忽略不計(jì)的。而使用傳統(tǒng)算法時(shí)，首先是在整個(gè)頻域范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，且在每一個(gè)搜索角度使用的時(shí)間復(fù)雜度為4O(M2P+P2M+M2)，考慮到搜索步徑和精度的問(wèn)題，改進(jìn)的算法有效降低了計(jì)算量。

由上述分析可知，改進(jìn)算法不僅能夠減半角度搜索范圍，且在每一次搜索時(shí)都能夠減小計(jì)算量，在需要迭代估計(jì)DOA的情況下，改進(jìn)算法REAL-MUSIC的計(jì)算量小于傳統(tǒng)聚焦類算法RSS。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步分析本文改進(jìn)算法的性能，我們采用仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。假設(shè)兩個(gè)中心頻率為150 MHz，帶寬為100 MHz的等功率線性調(diào)頻信號(hào)入射到陣元數(shù)為8的均勻線陣中，其中，均勻線陣的陣元間距為信號(hào)最高頻率對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的一半，在每次實(shí)驗(yàn)中，若估計(jì)所得角度與真實(shí)角度差的絕對(duì)值均小于等于1°，則定義該次實(shí)驗(yàn)為一次正確檢測(cè)，否則認(rèn)為檢測(cè)失敗。在上述條件下比較改進(jìn)算法REAL-MUSIC和聚焦類算法RSS的性能。

(a) 入射信號(hào)為非相干信號(hào)

(b) 入射信號(hào)為相干信號(hào)圖1 不同信噪比的空間譜估計(jì)圖

由圖1(a)所示，當(dāng)入射信號(hào)為非相干信號(hào)時(shí)，改進(jìn)算法搜索到的譜峰為10.2°和19.9°，由上述理論可得備選角度為±10.2°及±19.9°。根據(jù)步驟五去模糊可得，于10.2°處的譜峰，其真實(shí)角度是-10.2°，譜峰為19.9°的真實(shí)角度是19.9°。而傳統(tǒng)RSS算法搜索出的譜峰在-9.9°和20°。同理，由圖1(b)所示，當(dāng)入射信號(hào)為相干信號(hào)時(shí)，改進(jìn)算法估計(jì)所得DOA角度為-9.8°和20.1°，傳統(tǒng)RSS算法估計(jì)所得DOA角度為-9.9°和19.9°。綜上所述，在相同條件下兩種算法均能區(qū)分出正確的角度。

(a) 入射信號(hào)為非相干信號(hào)

(b) 入射信號(hào)為相干信號(hào)圖2 均方根誤差隨信噪比的變化

從圖2可以看出，兩種算法在都能正確檢測(cè)DOA的前提下，聚焦類算法RSS在性能上略微好于改進(jìn)算法REAL-MUSIC。由于改進(jìn)算法極大地降低了計(jì)算復(fù)雜度，綜合考慮改進(jìn)算法REAL-MUSIC優(yōu)于傳統(tǒng)類算法RSS。

實(shí)驗(yàn)三： 本實(shí)驗(yàn)主要考察子帶數(shù)目對(duì)DOA估計(jì)的影響，仿真條件與前相同，在不同的子帶數(shù)目下分別進(jìn)行500次獨(dú)立的蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，圖3是非相干信號(hào)和相干信號(hào)入射時(shí)RMSE隨子帶數(shù)目變化的曲線圖。

(a) 入射信號(hào)為非相干信號(hào)

(b) 入射信號(hào)為相干信號(hào)圖3 均方根誤差隨子帶數(shù)目的變化

由圖3可以看出，改進(jìn)算法REAL-MUSIC和聚焦類算法RSS隨子帶數(shù)目變化時(shí),RMSE并沒(méi)有太大變化，即兩種算法在相同條件下都能達(dá)到良好的DOA估計(jì)性能。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)寬帶信號(hào)DOA估計(jì)算法高計(jì)算復(fù)雜度問(wèn)題，本文提出使用實(shí)值矩陣改進(jìn)的算法。改進(jìn)算法僅使用復(fù)數(shù)協(xié)方差矩陣的虛部構(gòu)造的實(shí)值矩陣，在實(shí)值矩陣的基礎(chǔ)上，使用子空間算法進(jìn)行DOA估計(jì)。使用實(shí)值矩陣不僅能降低特征值分解過(guò)程的復(fù)雜度，而且僅需要對(duì)一半的角度進(jìn)行譜峰搜索，同時(shí)補(bǔ)充了譜峰搜索過(guò)程中角度模糊問(wèn)題的解決辦法。計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了改進(jìn)的有效性。