潘素娟

( 1.福建商學院 信息工程學院， 福建 福州 350012；2.金融數(shù)學福建省高校重點實驗室(莆田學院)， 福建 莆田 351100 )

回望期權是一種在有效期內(nèi)選取最有利的價格作為協(xié)定價格的期權，因其可為投資者以最低價格買進標的股而廣受OTC市場投資者的青睞.亞式期權是到期收益依賴于平均資產(chǎn)價格的一種期權，它允許投資者對某時段內(nèi)商品的平均價格進行套期保值，進而可以避免因某些交易者對期權到期時的資產(chǎn)價格進行操縱而產(chǎn)生的風險；因此，亞式期權已成為一種廣泛使用的金融衍生工具.資產(chǎn)的平均價格可以通過多種平均方式來實現(xiàn)．例如： Gentle[1]采用加權幾何平均標的資產(chǎn)對回望期權進行了近似定價，左玲等[2]給出了一種采用跳躍擴散下離散算術平均資產(chǎn)回望買權的定價公式，文獻[3-5]的作者應用數(shù)值模擬、二叉樹等方法給出了回望期權的近似計算.本文在研究中將資產(chǎn)的平均價格作為標的資產(chǎn)的價格，并將期權的標的資產(chǎn)在其回望時段內(nèi)的最低價格作為期權的執(zhí)行價，該做法可有效避免期權即將到期時價格容易被操縱問題.目前為止，已有很多學者對外匯型衍生產(chǎn)品進行了研究[6-8],但未見將回望期權和亞式期權結(jié)合起來考慮匯率風險的研究.基于此，本文在考慮匯率風險的情況下，將離散幾何平均資產(chǎn)作為標的(標的資產(chǎn)價格以及匯率均為隨機)，用含有Poisson過程的Ito -Skorohod隨機微分方程[9]描述股票價格的運動，用鞅定價技巧(風險中性方法)[10]和多元正態(tài)分布運算的相關知識，推導出基于離散幾何平均資產(chǎn)的國外股票回望買入期權的定價公式.

1 經(jīng)濟變量的隨機過程

考慮某個完備概率空間(Ω,F,(Ft)t ≥0,P)上的標準Brown運動Wt， 其中(Ft)t ≥0是對t遞增的σ域.假定對隨機變量的所有敘述幾乎處處成立或者幾乎必然成立， 用E〈X|Ft〉表示隨機變量X關于到時間t為止可獲的信息的條件期望，用S(t)表示t時以外幣計量的國外股票的價格,用F(t)表示t時以內(nèi)幣計量的一單位外幣的價格，即t時即期匯率.本文假設股票價格的擴散過程和匯率的變動隨機過程都遵循幾何Brown運動，即：

(1)

2 風險中性概率測度和數(shù)學模型

2.1 風險中性概率測度

(2)

2.2 幾何平均亞式期權的定義和數(shù)學模型

解上面2個式子，可得：

類似上述解法，可得：

2.3 期權標的資產(chǎn)的說明

為了方便討論，本文利用乘積的方式將資產(chǎn)的離散幾何平均值和匯率的離散幾何平均值轉(zhuǎn)化成一個資產(chǎn)，即φ=GSGF.φ可以解釋為國內(nèi)貨幣給出的國外股票價格的離散幾何平均值，其價格擴散過程服從對數(shù)正態(tài)分布，即

2.4 期權的回望時段和到期收益的說明

假設期權的回望時段為期權的整個合同期，即浮動執(zhí)行價回望買入期權允許持有者以回望時段內(nèi)期權標的資產(chǎn)的最低價買入資產(chǎn)，因此這種期權在到期日總是會被執(zhí)行，并且它的到期收益總是大于零.期權的到期收益公式[14]為

3 分布函數(shù)及其分布密度的說明

(3)

式(3)所對應的密度函數(shù)為

4 期權定價公式及其求解

4.1 模型的求解

根據(jù)風險中性期望折現(xiàn)方法[15]，隨機匯率條件下國外股票幾何平均回望買入期權的價格為

(4)

1)計算式(4)右邊的第1項.

(5)

將式(3)帶入式(5)可得

2)計算式(4)右邊的第2項.

(6)

式(6)可分成如下3部分：

A1、A2、A3的計算過程為：

(7)

計算式(7)中的各項：

將上述結(jié)果代入式(7)， 得：

綜上可得

整理上式得

4.2 模型結(jié)論及展望

根據(jù)4.1中的各項結(jié)果，可以得到基于隨機匯率條件下國外股票幾何平均亞式回望期權的定價公式：

化簡上式得

上述研究中，本文只考慮了離散的情況，這是因為在實際交易中所有亞式期權的標的變量都是采用離散的平均方式.當n→∞時，離散幾何平均即成為連續(xù)幾何平均，由此可求得基于隨機匯率條件下國外股票連續(xù)幾何平均亞式回望期權的定價公式.在本文研究結(jié)果的基礎上，還可以進一步考慮國內(nèi)外無風險利率參數(shù)r和rf是隨機變量的情況.例如：在傳統(tǒng)經(jīng)典模型的基礎上，若假定利率遵從高斯利率過程，違約強度函數(shù)遵從Poisson隨機過程,就可得到不完全市場下匯率隨機時國外股票的幾何平均亞式回望期權的定價公式．本研究結(jié)果可為未來國內(nèi)出現(xiàn)的同類期權的合理定價提供參考.