林靖弢

摘 要：本文將對正項級數(shù)的斂散性問題進行研究，引入常用的比較判別法和比值判別法，而后再給出相應(yīng)的級數(shù)作為比較尺度后，得到了相應(yīng)的達朗貝爾判別法和柯西根式判別法，并給出了相應(yīng)的極限形式和上下極限形式的版本。在采用更加精細的級數(shù)作為比較尺度后，引出了拉貝爾判別法，并對上述的幾種方法進行了總結(jié)和分析。

關(guān)鍵詞：正項級數(shù) 斂散性 達朗貝爾判別法 柯西根式判別法 拉貝爾判別法

引言

隨著正負無窮的引入，人們對于數(shù)字的理解不再拘泥于傳統(tǒng)意義上的有限數(shù)字。此時，關(guān)于一列已知序列求和的斂散性問題便應(yīng)運而生。如何判斷一列序列求和是有限的還是發(fā)散的，成為數(shù)學(xué)分析中的一個重要問題，受到了很多的關(guān)注和研究，產(chǎn)生了諸如比較判別法、達朗貝爾判別法和柯西根式判別法等等。本文將對目前常用的一些判定方法進行歸納，并對它們的適用性和局限性進行分析。

一、比較判別法、比值判別法及達朗貝爾判別法

我們在本節(jié)中將介紹三種常用的判別方法——比較判別法、比值判別法和達朗貝爾判別法，在引入序列的上下極限以后，給出極限形式和上下極限形式下的達朗貝爾判別法，從而使得達朗貝爾判別法得到很好的總結(jié)和完善。而后改變比較級數(shù)的尺度，對達朗貝爾判別法進行推廣，引入拉貝爾判別法，使得比較變得更加的精細和準確[1]。

1.比較判別法和比值判別法

當我們遇到一個未知的序列以后，我們可以將它與已知的收斂或者發(fā)散的序列進行比較，進而來判斷它的斂散性，從而誕生了比較判別法和比值判別法。為了下文的行文的簡單性，我們用符號來表示[2]。

定理1（比較判別法）假設(shè)級數(shù)和均為正項級數(shù)，那么我們有：

（1）如果收斂且存在和，使得，，那么也收斂;

（2）如果發(fā)散且存在和，使得，，那么也發(fā)散。

為了方便使用，我們這里引入極限形式的比值判別法.

推論1設(shè)級數(shù)和均為正項級數(shù)

令則有：

（1）如果收斂，且，那么也收斂;

（2）如果發(fā)散，且，那么也發(fā)散。

同樣的，對于嚴格的正項級數(shù)我們可以得到如下的比值判別法.

定理2（比值判別法）假設(shè)級數(shù)和都是嚴格的正項級數(shù)，那么我們有：

（1）如果收斂，且存在，使得，，

那么也收斂;（2）如果發(fā)散，且存在，

使得 ，，那么也發(fā)散。

2.達朗貝爾判別法

在得到了比值判別法以后，如何選取正項級數(shù)作為比較的標準，便成了一個重要的問題。如果選用的級數(shù)過于寬松，那么可能無法很好地判定級數(shù)的斂散性，而如果選用的級數(shù)過于精細，那么無疑會增加計算的難度和復(fù)雜性.在這里，我們首先采用等比級數(shù)作為比較尺度引入達朗貝爾判別法，并給出相應(yīng)的極限形式和上下極限形式的達朗貝爾判別法，而后對所用的判定級數(shù)進行精細，采用級數(shù)作為比較尺度得出拉貝爾判別法。

定理3（達朗貝爾判別法） 設(shè)是嚴格的正項級數(shù)，那么我

們有：

（1）如果存在和，使得，，那么收斂;

（2）如果存在，使得 ，，那么發(fā)散。

下面我們給出相應(yīng)的極限形式和上下極限形式的達朗貝爾判

別法[3]。

推論2（極限形式） 假設(shè)是嚴格的正項級數(shù)，

且存在極限

那么我們有：

（1）如果，那么收斂;

（2）如果，那么發(fā)散。

推論3（上下極限形式） 假設(shè)是嚴格的正項級數(shù)，那么如果，那么收斂;（2）如果，那么發(fā)散。

我們可以發(fā)現(xiàn)，當極限或者上下極限的值為1的時候，達朗貝爾判別法就會失去判別能力。這個時候，我們就應(yīng)該換用一個更加精細的級數(shù)來作為比較尺度。于是，在采用級數(shù)作為比較尺度以后，我們可以得到更加精細的判定方法，也就是拉貝爾判別法。

定理4（拉貝爾判別法） 假設(shè)是嚴格的正項級數(shù)，那么我

們有：

（1）如果存在和

使得，，那么收斂;

（2）如果存在

使得，，那么發(fā)散。

二、柯西根式判別法

我們在本節(jié)中將引入另外一種常用的判別方法——柯西判別方法，這個方法在判定正項級數(shù)的斂散性方面有著重要的作用。

定理5（柯西根式判別方法） 假設(shè)是正項級數(shù)，那么我們有：

（1）如果存在和，使得，，那么收斂;

（2）如果對于無窮多個，有，那么發(fā)散。

在實際的應(yīng)用中，我們會發(fā)現(xiàn)極限形式的柯西根式判別法會更實用一些，于是我們引入極限形式的柯西根式判別法。

推論4（極限形式）

假設(shè)是正項級數(shù)，且存在極限，那么我們有：（1）如果，那么收斂;（2）如果，那么級數(shù)

發(fā)散。

在引入上極限以后，我們可以得到相應(yīng)的上極限形式的柯西根式判別法。

推論5（上極限形式） 假設(shè)是正項級數(shù)，并有，那么我們有

（1）如果，那么收斂;（2）如果，那么發(fā)散。

三、總結(jié)與展望

本文從數(shù)學(xué)分析中的一個重要問題——正項級數(shù)的斂散性問題出發(fā)，首先引入了常用的兩種判別方法——比較判別法和比值判別法，將想要判定的級數(shù)與已知斂散性的級數(shù)之間建立起關(guān)系。而后，在選取了相應(yīng)的級數(shù)作為判定尺度后，引出了相應(yīng)的達朗貝爾判別法和柯西根式判別法，并分別給出了相應(yīng)的極限形式和上下極限形式的版本。為了解決達朗貝爾判別方法中出現(xiàn)的當無法進行判定的問題，將判定的尺度作了進一步的細化，引出了拉貝爾判別方法，使得判定級數(shù)斂散性問題得到了更好的解決。但對于某些特殊的級數(shù)，仍然會出現(xiàn)現(xiàn)有的幾種方法無法解決的問題，需要采用更加精細的尺度，就具體問題進行分析。在以后的研究中，也將就用來作為判定尺度的級數(shù)進行更深層次的挖掘。

參考文獻

[1]張筑生.數(shù)學(xué)分析新講.第二冊[M].1990.

[2]張筑生.數(shù)學(xué)分析新講.第三冊[M].1990.

[3]朱江紅，高紅亞.幾種正項級數(shù)斂散性判別法的強弱性比較[J].滄州師范學(xué)院學(xué)報，2004，20（2）：37-39.