☉安徽省合肥市第四中學(xué) 唐愛(ài)民

張奠宙先生說(shuō)過(guò)數(shù)學(xué)有三種不同的形態(tài)，第一種是數(shù)學(xué)家在創(chuàng)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)過(guò)程中的原始形態(tài)；第二種是整理研究成果之后發(fā)表在數(shù)學(xué)雜志上、陳述于教科書(shū)上的學(xué)術(shù)形態(tài)；第三種是便于學(xué)生理解學(xué)習(xí)、在課堂上出現(xiàn)的教育形態(tài).數(shù)學(xué)課堂教學(xué)就是要把抽象的第一、第二種形態(tài)轉(zhuǎn)化為易于學(xué)生理解與接受的第三種形態(tài)，即教育形態(tài)，其中構(gòu)建自然流暢的教學(xué)過(guò)程是實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵.最近，筆者觀摩了一堂關(guān)于“數(shù)學(xué)歸納法”的公開(kāi)課，縱觀整個(gè)教學(xué)流程，發(fā)現(xiàn)還是有一些地方值得商榷的.

一、教學(xué)主要過(guò)程簡(jiǎn)介

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

故事情境：從前有個(gè)財(cái)主，雖有萬(wàn)貫家財(cái)，但幾代都沒(méi)人識(shí)字.這年，他請(qǐng)來(lái)一位先生，在家教兒子讀書(shū).先生上第一課時(shí)，先教寫(xiě)字.他寫(xiě)一畫(huà)說(shuō)是“一”字；寫(xiě)二畫(huà)，說(shuō)是“二”字；寫(xiě)三畫(huà)，說(shuō)是“三”字.教到這里，財(cái)主的兒子就把筆一擲，興高采烈地跑去告訴父親，說(shuō)：“我全學(xué)會(huì)啦，我全學(xué)會(huì)啦！爹你快把老師辭退吧，不要破費(fèi)錢(qián)財(cái)呀！”財(cái)主聽(tīng)了很高興，真的打發(fā)走先生.過(guò)了不久，財(cái)主要請(qǐng)一個(gè)姓萬(wàn)的朋友吃酒，他就叫兒子起來(lái)寫(xiě)請(qǐng)?zhí)?誰(shuí)知過(guò)了半天，財(cái)主還不見(jiàn)兒子把請(qǐng)?zhí)麑?xiě)好，便去催促他.兒子抱怨那人說(shuō)：“天底下那么多的姓，他什么也不要，偏偏要姓‘萬(wàn)’的，害得我從早晨到現(xiàn)在，才寫(xiě)完五百畫(huà).爹，你說(shuō)氣人不？”

數(shù)學(xué)情境：12-1+11=11，22-2+11=13，32-3+11=17，42-4+11=23都是質(zhì)數(shù)，于是就有人得出結(jié)論：任何形如n2-n+11的數(shù)都是質(zhì)數(shù)？你認(rèn)為這個(gè)猜想對(duì)不對(duì)？

設(shè)計(jì)意圖：一方面，通過(guò)以上兩個(gè)情境讓學(xué)生了解什么是歸納法、歸納推理的特點(diǎn)；另一方面，通過(guò)運(yùn)算讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到歸納法存在的缺陷，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好必要的思維鋪墊.于是，教師就可以自然地提出“對(duì)如何優(yōu)化歸納法”的思考.

2.動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)原理

教師為每個(gè)學(xué)習(xí)小組發(fā)放了一副多米諾骨牌，學(xué)生在“玩”的同時(shí)思考：多米諾骨牌全部倒下需要滿足什么條件？

通過(guò)動(dòng)手操作，學(xué)生提出了：必須有一塊骨牌先倒下、骨牌的間隙不能太大、骨牌要排列整齊、骨牌要光滑等條件.

經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)，最后得到骨牌全部倒下的充分條件：第一塊骨牌必須先倒下；前一塊骨牌倒下必須能夠碰到后一塊骨牌.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在“玩中學(xué)，學(xué)中玩”的同時(shí)發(fā)現(xiàn)隱藏在背后的數(shù)學(xué)原理，這樣的一種發(fā)現(xiàn)方式對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是“有趣的”，能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且能夠讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.

3.抽象類(lèi)比，形成方法

類(lèi)比“多米諾骨牌”倒下的充分條件，可以得到證明上述結(jié)論的步驟.

第一塊骨牌倒下：n=1時(shí)，等式成立；

前一塊骨牌倒下后一塊骨牌也倒下：n=k時(shí)，等式成立→n=k+1時(shí)，等式也成立.

經(jīng)過(guò)師生的共同討論，最后得到數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)類(lèi)比，讓學(xué)生經(jīng)歷感受、體驗(yàn)、領(lǐng)悟、深化的思維過(guò)程，從而實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)知到理性思考的升華.

最后，進(jìn)入方法應(yīng)用環(huán)節(jié).教師布置兩道例題（證明等式、證明不等式），讓學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，通過(guò)糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式.

二、引發(fā)的教學(xué)思考

作為高中數(shù)學(xué)的經(jīng)典課例，有關(guān)“數(shù)學(xué)歸納法”的教學(xué)探討一直沒(méi)有停止，如何讓教學(xué)設(shè)計(jì)更加自然、符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律也一直是廣大一線教師努力的方向.雖然本節(jié)課的設(shè)計(jì)有很多可圈可點(diǎn)之處，但總體上還是不夠“自然”.

1.“數(shù)學(xué)歸納法”不同于“歸納法”

本節(jié)課不是概念課，也不是習(xí)題課、公式定理課，而是“數(shù)學(xué)思想方法”課.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生掌握一種全新的思想方法，并認(rèn)可其合理性、科學(xué)性，教學(xué)難度不言而喻.但不論什么課型，教師的教學(xué)必須立足于學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，那么“數(shù)學(xué)歸納法”的認(rèn)知基礎(chǔ)是“歸納法”嗎？?jī)烧邚淖置嫔峡淳筒盍藘蓚€(gè)字，看似是同一回事，其實(shí)不然.歸納法是從特殊到一般的推理過(guò)程，是通過(guò)特例來(lái)發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，它的適用范圍不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科，而是所有的科學(xué)研究.而數(shù)學(xué)歸納法僅僅是在數(shù)學(xué)中用來(lái)嚴(yán)格證明某一類(lèi)命題的數(shù)學(xué)方法.歸納法是以獲得結(jié)論為目標(biāo)，而數(shù)學(xué)歸納法是以“皮亞諾自然數(shù)大理中的歸納公理”為理論基礎(chǔ)的一種數(shù)學(xué)證明方法，追求的是過(guò)程的嚴(yán)密性.因此，歸納法與數(shù)學(xué)歸納法是有本質(zhì)區(qū)別的.在本課中，把數(shù)學(xué)歸納法作為歸納法的一種拓展或者優(yōu)化是值得商榷的.這樣的做法，很容易讓學(xué)生把歸納法與數(shù)學(xué)歸納法等同起來(lái)，從而在實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)一系列的問(wèn)題.

2.“多米諾”骨牌不是數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)

在很多課例中，都把“多米諾”骨牌游戲作為發(fā)現(xiàn)、提煉數(shù)學(xué)歸納法的情境，教材也是這樣處理的.但實(shí)際上，“多米諾”骨牌現(xiàn)象并非數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).數(shù)學(xué)歸納法的出現(xiàn)要早于“多米諾”骨牌游戲，也就是說(shuō)數(shù)學(xué)歸納法并不是從“多米諾”骨牌游戲中獲得靈感的，只是類(lèi)比發(fā)現(xiàn)“多米諾”骨牌效應(yīng)中隱藏著“從一到多，從有限到無(wú)限”的數(shù)學(xué)原理，于是，就把“多米諾”骨牌游戲作為揭示數(shù)學(xué)歸納法的載體.但在實(shí)際教學(xué)中，這也是教師的“一廂情愿”而已.正如本節(jié)課中所出現(xiàn)的，在探討讓“多米諾”現(xiàn)象成功發(fā)生的條件時(shí)，很多學(xué)生卻提出了“骨牌要排列整齊、骨牌要光滑”等類(lèi)似的“無(wú)效”條件，這就充分說(shuō)明了從“多米諾”骨牌游戲中提出“數(shù)學(xué)歸納法”有多難.

三、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，自然構(gòu)建

那么本節(jié)課該如何設(shè)計(jì)？關(guān)鍵是要明確數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)其實(shí)就是“遞推”，其證明步驟呈現(xiàn)的就是一個(gè)遞推的過(guò)程.它的教學(xué)難點(diǎn)是如何從“有限”上升到“無(wú)限”，而數(shù)學(xué)中往往用“任意”過(guò)渡到“無(wú)限”，這就是證明步驟中為什么有“假設(shè)k”，因?yàn)椤発”是任意的，任意都成立，從而推出所有都成立.明確了上述兩點(diǎn)，本節(jié)課的自然構(gòu)建也就不成問(wèn)題了.

1.直面問(wèn)題，引發(fā)思考

問(wèn)題：已知數(shù)列{an}中，a1=1，且滿足N*），計(jì)算a2，a3，a4，由此推測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an，并給出證明.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4的值，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納猜想的過(guò)程；猜想獲得公式后，引發(fā)學(xué)生對(duì)于如何進(jìn)行嚴(yán)格證明的思考.并且，本題原本就包含了一個(gè)明顯的遞推公式，其作用就是利用an可以求得an+1，即已知前一項(xiàng)可以獲得后一項(xiàng)的結(jié)果，學(xué)生經(jīng)過(guò)運(yùn)算，不斷地經(jīng)歷這樣的一種“遞推”的過(guò)程，然后教師再進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，類(lèi)比就很容易從形式上與數(shù)學(xué)歸納法建立聯(lián)系.

2.聯(lián)系生活，發(fā)現(xiàn)原理

上述問(wèn)題已經(jīng)具備了提煉數(shù)學(xué)歸納法的基本要素，但要讓學(xué)生直接從中得出數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，顯然難度太高.聯(lián)系生活中的一些常見(jiàn)現(xiàn)象，可以降低思維難度.

摸球問(wèn)題：一個(gè)袋子里面裝了很多球，如何確定里面裝的全是紅球？

問(wèn)題1：摸1個(gè)球，發(fā)現(xiàn)是紅球能否說(shuō)明里面裝的全是紅球？

問(wèn)題2：摸出2個(gè)球，3個(gè)球，4個(gè)球都是紅球能否說(shuō)明里面裝的全是紅球？

問(wèn)題3：需要摸出幾個(gè)球是紅球才能說(shuō)明里面裝的全是紅球？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)簡(jiǎn)單的生活例子，引發(fā)學(xué)生對(duì)于“數(shù)學(xué)歸納法”做出最原始的思考.顯然，摸出“幾個(gè)”球是無(wú)法得到“全是紅球”的結(jié)論的，最直接的辦法就是把所有的球都確認(rèn)一遍.如果球的數(shù)量很多，這種“枚舉”的方法效率太低.但無(wú)論如何，第1個(gè)球必須是紅球，如果不是就可以直接得出否定的結(jié)論.這就是數(shù)學(xué)歸納法的第一步“n=1”，這一步是證明的開(kāi)始，是不可或缺的.

問(wèn)題4：能否通過(guò)足夠少的摸球次數(shù)就能確定“全是紅球”的結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖：顯然，這種辦法在現(xiàn)實(shí)中一般是不可能辦到的，除非能夠證明任意兩個(gè)球之間都存在著某種“傳遞”關(guān)系，“前一個(gè)球是紅色能夠推出下一個(gè)球也是紅色”，這就是數(shù)學(xué)歸納法中的“遞推”關(guān)系.最后，回到“數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題”，類(lèi)比“摸球”現(xiàn)象，提煉出數(shù)學(xué)歸納法證明的一般步驟，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)就會(huì)顯得很自然.

教無(wú)定法，貴在“自然”.教學(xué)不是方法的灌輸，也不是技巧的訓(xùn)練，而是在豐富的情境下，通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)到每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的出現(xiàn)，新知識(shí)、新方法的產(chǎn)生，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的自然構(gòu)建.