☉江蘇省海門市中小學(xué)教師研修中心 徐 強(qiáng)
今年筆者有幸參加了2019年南通市中考數(shù)學(xué)試卷的命題工作,試卷繼續(xù)保持了以課標(biāo)為指南,以教材為題源的命題風(fēng)格,充分體現(xiàn)了“畢業(yè)和選拔相匹配、傳承與創(chuàng)新相融合、減負(fù)與增效相呼應(yīng)”的命題特點(diǎn),對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)起到了很好的導(dǎo)向作用.現(xiàn)將試卷中一道首創(chuàng)“代數(shù)新定義”題的命制過程與拓展整理成文,與同行分享.
力求通過構(gòu)建一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系的“代數(shù)新定義”,形成一道集方程、函數(shù)(一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題)與內(nèi)隱圖形于一體的綜合題,難度系數(shù)為0.3~0.4.著重考查方程與函數(shù)思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、幾何直觀、極限思想,突出考查代數(shù)推理能力、數(shù)學(xué)建模能力及利用幾何圖形來研究代數(shù)問題的能力.
核心載體:點(diǎn)M(x,y)——定義x、y之間的數(shù)量關(guān)系——定直線,動(dòng)曲線.
核心知識(shí):以乘法公式、方程、一次函數(shù)、反比例函數(shù)與等腰三角形為核心知識(shí).
核心素養(yǎng):注重代數(shù)推理素養(yǎng)——先思后變,運(yùn)算推理,把握規(guī)律,關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,考查函數(shù)眼光;注重幾何直觀素養(yǎng)——先畫后算,數(shù)形結(jié)合,生成方法,關(guān)注學(xué)生思維的層次與遷移,考查建模能力.
如何構(gòu)造x、y之間的關(guān)系,形成點(diǎn)M(x,y)的新定義?
命題組基于命題的指向性,逆向探求命題思路,以直線、雙曲線的解析式為思考的起點(diǎn),挖掘“y=kx+b,xy=k”的特征,來定義x、y之間的數(shù)量關(guān)系.
(1)不同變統(tǒng)一.
從“式”具有的特點(diǎn)出發(fā)思考:y=kx+b不具有輪換對(duì)稱的特點(diǎn),xy=k具有輪換對(duì)稱的特點(diǎn).
將“式”統(tǒng)一成都具有輪換對(duì)稱的特點(diǎn):x+y=b,xy=k.
(2)顯性變隱性.
如何將x、y之間的顯性函數(shù)關(guān)系變成隱性的關(guān)系?
由x+y=b,xy=k,容易聯(lián)想到x2+y2.
變形:x2+y2=(x+y)2-2xy=b(x+y)-2k=bx+by-2k.
拆分:x2=by-k,y2=bx-k.
簡化:當(dāng)b=2,k=-t時(shí),x2=2y+t,y2=2x+t.
(3)驗(yàn)算可行性.
x、y滿足“x2=2y+t,y2=2x+t”是否可行?
驗(yàn)算:由x2=2y+t,y2=2x+t,得x2-y2=2(y-x),x2+y2=2(y+x)+2t.
需增加x≠y,可得x+y=-2.
由x2+y2=(x+y)2-2xy=2(y+x)+2t,得4-2xy=-4+2t.則xy=-t+4.
由x≠y,得(x-y)2>0,即(x+y)2-4xy>0.則(-2)2-4(-t+4)>0.解得t>3.
于是得到:若x、y滿足“x2=2y+t,y2=2x+t,x≠y”,則隱含的是定直線x+y=-2,動(dòng)曲線xy=-t+4.
從而形成新定義:點(diǎn)M(x,y),若x、y滿足x2=2y+t,y2=2x+t,且x≠y,t為常數(shù),則稱點(diǎn)M為“線點(diǎn)”.例如,點(diǎn)(0,-2)和(-2,0)是“線點(diǎn)”.
如何依據(jù)新定義,構(gòu)建考查的問題?
命題組立足考查的目的性,抓住定義具有判定與性質(zhì)的雙重性的視角進(jìn)行命制,構(gòu)建了“有梯度”的三個(gè)問題:(1)直接用定義判定已知點(diǎn)是否為“線點(diǎn)”;(2)從定義出發(fā),利用代數(shù)的變形推理,發(fā)現(xiàn)定義中隱含的一些性質(zhì),如確定的一次函數(shù)y=-x-2和一個(gè)與t的取值有關(guān)的變化的反比例函數(shù)等;(3)綜合運(yùn)用定義的判定與隱含的性質(zhì),解決幾何問題.
已知:在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(m,n).
(1)P1(3,1)和P2(-3,1)兩點(diǎn)中,點(diǎn)______是“線點(diǎn)”;
(2)若點(diǎn)P是“線點(diǎn)”,用含t的代數(shù)式表示mn,并求t的取值范圍;
(3)若點(diǎn)Q(n,m)是“線點(diǎn)”,直線PQ分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,當(dāng)|∠POQ-∠AOB|=30°時(shí),直接寫出t的值.
這道代數(shù)新定義題從命題的角度來說是一種創(chuàng)新,“從新定義的提出,到問題的設(shè)置”的命制過程凝聚了命題組全體成員的集體智慧,清晰呈現(xiàn)了閱讀—理解—轉(zhuǎn)化的模式,充分體現(xiàn)了“式”中思法、“圖”中求道的味道,強(qiáng)化了代數(shù)推理變形的水平、幾何聯(lián)想推理的能力,是一道很好地考查“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的創(chuàng)新試題.
從學(xué)生答題的角度來說也是一種創(chuàng)新.首先,有效考查了學(xué)生對(duì)新定義的現(xiàn)場(chǎng)閱讀、運(yùn)算與推理的學(xué)習(xí)能力,這是本題發(fā)現(xiàn)“定直線和變化的雙曲線”的前提;其次,考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的聯(lián)想、遷移與轉(zhuǎn)化的處理能力,能否將已有認(rèn)知體系中的直線和雙曲線及時(shí)調(diào)用是分析的核心;再次,考查了學(xué)生對(duì)基本模型的構(gòu)造、求異的創(chuàng)新能力,發(fā)現(xiàn)題目中隱藏的基本圖形是求解的關(guān)鍵.
從引領(lǐng)課堂教學(xué)的角度來說更是一種創(chuàng)新.能較好地引領(lǐng)數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)與復(fù)習(xí)中,一要關(guān)注核心概念的限時(shí)閱讀與理解,強(qiáng)化概念“雙重性”內(nèi)涵的形成過程;二要關(guān)注主干知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化,強(qiáng)化遷移的意識(shí)與方法;三要關(guān)注建模的思想與變式,強(qiáng)化思維的深刻性與靈活性.
縱觀命制過程,可以發(fā)現(xiàn)此類定義的構(gòu)造“聯(lián)想有源,構(gòu)造有法”.可以無限構(gòu)造出“定曲線,動(dòng)直線”“動(dòng)曲線,定直線”“動(dòng)曲線,動(dòng)直線”.
從x+y=b,xy=k聯(lián)想構(gòu)造.
由x+y=b,xy=k,得x2+y2=(x+y)2-2xy=b(x+y)-2k.
拆分:x2=by-k,y2=bx-k.
驗(yàn)算:由x2=by-k,y2=bx-k,得x2-y2=b(y-x),x2+y2=b(y+x)-2k.
需增加x≠y,可得x+y=-b.則x2+y2=-b2-2k.
由x2+y2=(x+y)2-2xy,得-b2-2k=b2-2xy.則xy=b2+k.
取值范圍:由x≠y,得(x-y)2>0.即(x+y)2-4xy>0.則3b2+4k<0.
于是可定義:若實(shí)數(shù)x、y滿足x2=by-k,y2=bx-k,且x≠y,則稱點(diǎn)M(x,y)為“線點(diǎn)”.
顯然,特殊化可構(gòu)造出不同的情形,當(dāng)b確定,k變化時(shí),則為“動(dòng)曲線,定直線”.
從ax+y=b,xy=k類比“1”的構(gòu)造.
由ax+y=b,xy=k,得a2x2+y2=(ax+y)2-2axy=b(ax+y)-2ak.
拆分:a2x2=by-ak,y2=abx-ak.
驗(yàn)算:由a2x2=by-ak,y2=abx-ak,得a2x2-y2=b(y-ax),a2x2+y2=b(y+ax)-2ak.
需增加ax≠y,可得ax+y=-b.則a2x2+y2=-b2-2ak.
由a2x2+y2=(ax+y)2-2axy,得-b2-2ak=b2-2axy.則axy=b2+ak.
取值范圍:由ax≠y,得(ax-y)2>0.即(ax+y)2-4axy>0.則b2-4(b2+ak)>0.即3b2+4ak<0.
于是仍可定義:若實(shí)數(shù)x、y滿足a2x2=by-ak,y2=abxak,且ax≠y,則稱點(diǎn)M(x,y)為“線點(diǎn)”.
顯然,利用橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系構(gòu)建“新定義”是有規(guī)律可循的,教學(xué)中要從簡單的“模仿”走向本質(zhì)的“思考”,適度滲透“如何構(gòu)想的方法”,不斷強(qiáng)化多題歸一、舉一反三,培養(yǎng)思維的深刻性和靈活性,這樣才能使學(xué)生從“機(jī)械操作”走向“理性思維”,從而有效突破“一遇陌生問題就一籌莫展”的軟肋.
對(duì)于中考試題,一線教師的關(guān)注度很高,但很多教師對(duì)如何命題總感無所適從,其實(shí)命題并不神秘、并非難事.如本文中利用點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系構(gòu)建這類代數(shù)“新定義”題的命制規(guī)律往往是“式”中思法,“變”中求道.因此,在平時(shí)的教學(xué)中,一方面,要多積累,關(guān)注基本模型、通性通法、逆向推理與多解歸一的水平,不斷增進(jìn)思維的深刻性;另一方面,要多思考,注重?cái)?shù)學(xué)不同“學(xué)習(xí)領(lǐng)域”間關(guān)聯(lián)、轉(zhuǎn)化的能力,有效拓寬思維的空間.W