☉山東省濟南實驗初級中學(xué) 趙圣柱

每年的學(xué)業(yè)水平測試不但承擔(dān)著檢測一個初三學(xué)生是否達到畢業(yè)標準的任務(wù)，而且有為高一級中學(xué)選拔優(yōu)秀人才的雙重使命.因此學(xué)業(yè)水平測試題目既要全面考查初中階段應(yīng)知應(yīng)會的基礎(chǔ)知識、基本技能和情感態(tài)度價值觀，而且要考查學(xué)生是否會靈活運用數(shù)學(xué)知識在數(shù)學(xué)思想指引下解決基本問題，是整個命題團隊集體教研、集體探討形成的智慧結(jié)晶.因此，研究每一年的學(xué)考為初三的數(shù)學(xué)老師指明了教學(xué)方向.我今年又送了一屆畢業(yè)班，有幸被選中參加了中考閱卷，在緊張的閱卷過程中看到數(shù)以萬計的學(xué)生答題情況，和其他閱卷老師交流討論學(xué)生的答題思路收獲很大.下面就2019年濟南市中考第27題的設(shè)計談?wù)剛€人的感悟.

（2019年濟南市中考第27題）原題如下：

已知：在如圖1所示的直角坐標系中，拋物線C1∶y=ax2+bx經(jīng)過點A（-4，0）、B（-1，3），將拋物線C1∶y=ax2+bx繞原點O轉(zhuǎn)180度后得到C2.

（1）求拋物線C1的解析式和頂點G的坐標.

（2）點D是拋物線C1對稱軸左側(cè)的一個動點，設(shè)點D的橫坐標為m，連接DO并延長交拋物線C2于點E，交過點A的直線于點M，若，求m的值.

（3）在（2）的條件下，若拋物線上存在點P使得∠PED=∠GAB，求點P的橫坐標.

乍一看題目，濟南師生感覺到變化很大：涉及了濟南市沒有考過的拋物線運動.但是通覽全題就會發(fā)現(xiàn)這個題目依然體現(xiàn)了濟南市命題的穩(wěn)定性：第（1）問是常規(guī)的求拋物線的解析式和頂點的坐標；第（2）問考查了初中所學(xué)的中點、中位線、中心對稱、相似等知識，把點D的坐標轉(zhuǎn)化為點M的坐標，利用公共點M是直線DE和直線AM的交點這一特性達到求出m的目的，思路指向明確，很好地考查了學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決基本問題的能力；第（3）問是在第（2）問回答的基礎(chǔ)上探究兩個角相等前提下未知點P的坐標.這就打開了學(xué)生的思考空間，一般兩個角相等就是尋找相似，苦于未知點P導(dǎo)致直線PE畫不出，基本圖形找不到而無從下手.個人感覺2019年濟南市命題思路清晰，既體現(xiàn)了中考命題的持續(xù)穩(wěn)定性，全面考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，又能在壓軸題目中突破舊思路而不斷創(chuàng)新，從知識點的全面考查，到數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題實現(xiàn)情感態(tài)度價值觀的經(jīng)歷中，很好地體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).下面從不同角度的解題思路分析如下：

第（1）問是很常規(guī)的基本運算的考查：

只要把A、B兩點的坐標代入到y(tǒng)=ax2+bx，得到：輕松得到解析式：y=-x2-4x.再把點A與點O的坐標代入對稱軸公式先求橫坐標x=再求縱坐標；或者直接代入頂點公式，求得點G（-2，4）.第（1）問是送分的題目，這就要求教師在講解待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式時要到位，務(wù)必使每個學(xué)生掌握用待定系數(shù)法確定解析式和二元一次方程組的求解，還要掌握頂點坐標公式，這是應(yīng)知應(yīng)會的基礎(chǔ)知識，不允許出錯.

第（2）問考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識的能力，粗略一看涉及了拋物線旋轉(zhuǎn)、線段的倍數(shù)關(guān)系、與未知直線的交點等很多不相干的頭緒.但是抽絲剝繭后就會發(fā)現(xiàn)完全可以轉(zhuǎn)化為很基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識.也正因為如此，考生們?nèi)收咭娙手钦咭娭?，解題的方法較多.閱卷結(jié)束后反復(fù)回顧總結(jié)出常見的三種解題思路：

圖1

圖2

方法1：借助中點是最簡單的思路.按照題目要求，一步步轉(zhuǎn)化即可：如圖2，因為拋物線旋轉(zhuǎn)180°，就意味著點E、D關(guān)于原點中心對稱.又因為，所以可以轉(zhuǎn)化為OM=2OE，也相當(dāng)于點E是線段OM的中點.因此設(shè)點D（m，-m2-4m）.那么，由中心對稱得到點E（-m，m2+4m），進而得到點M（-2m，2m2+8m）.因為點M在過點A（-4，0）的直線上，確定直線為把點M的坐標代入，得到二次方程得到又因為點D在對稱軸的左側(cè)，所以m=-3.

方法2：通過方法1的分析，可以轉(zhuǎn)化為利用位似圖形的性質(zhì)來解決，借助于圖形放大或縮小時點的坐標的變化來實現(xiàn).參看圖2，相當(dāng)于線段OM是OD的2倍.又因為點M與點D在原點O的異側(cè)，所以點M的坐標是點D的坐標的-2倍，即：設(shè)點D（m，-m2-4m），那么得到點M的坐標（-m，2m2+8m）.然后把點M的坐標代入y=-中，得解得m2=-3，最終m=-3符合要求.

方法3：借助于三角形中位線或相似知識.分別過點E和M作x的垂線段EH與MN，會發(fā)現(xiàn)EH就是△OMN的中位線（或者且相似比為1∶2），設(shè)點D（m，-m2-4m），得到點E（-m，m2+4m）和M（-2m，2m2+8m），然后把點M的坐標代入中即可求出.

綜觀以上方法，涉及中點、中心對稱、中位線、位似圖形等最基本的知識點，學(xué)生靈活應(yīng)用以上知識點，在直角坐標系里實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，把點M的坐標代入直線的解析式即可.盡管思路簡單，但是由于學(xué)生計算能力差而算不對，符號正負弄不清楚，導(dǎo)致思路正確但計算過程錯誤.這就要求教師平時在教學(xué)中注意概念教學(xué)的嚴謹，在數(shù)形結(jié)合訓(xùn)練中特別關(guān)注用點的坐標表示邊的長度時容易出錯的符號問題，在數(shù)與式的計算中強化基本計算，使學(xué)生形成較強的基本運算能力，不能在運算中失分.

第（3）問是命題人為學(xué)有余力的學(xué)生呈現(xiàn)的壓軸題目.題目設(shè)計巧妙，很靈活，有深度，很好地考查了學(xué)生的綜合答題能力.因為這個題目給出了兩個角相等，那就意味著構(gòu)造三角形的相似是不二選擇.

圖3

圖4

方法1：如圖4，過點G、E分別作x軸的垂線段GF、EH，構(gòu)造了一對相等角∠AFG=∠EHT=90°.容易發(fā)現(xiàn)∠BAF=∠OEH=45°，與已知條件∠PED=∠GAB，分別相加得到∠GAF=∠PEH，可得利用對應(yīng)線段成比例求出HT=6，進而求出點T（-3，0），得到直線EP的解析式y(tǒng)=與拋物線C1∶y=-x2-4x聯(lián)立，可以求出點P的橫坐標x=

方法2：如圖5，連接GB.易判斷△AGB是直角三角形而且由題可知直線AB與直線DE相互垂直，因此∠ABG=∠EHI=90°.聯(lián)立兩條直線的解析式可以求出點H（-2，-2）由已知條件∠GAB=∠IEH，得到利用相似性質(zhì)求得；然后過點H作HQ∥y軸，過點I作IQ∥x軸交于點Q，構(gòu)造了一個等腰直角△IHQ，把點H（-2，-2）先向下平移個單位再向左平移個單位后得到點從而求出直線EI的解析式再與拋物線C1：y=-x2-4x聯(lián)立，即可求得點P的橫坐標x=

圖5

圖6

方法3：如圖6，因為對頂角相等，所以∠AIF=∠EIH.又已知∠GAB=∠IED，所以不添加輔助線，照樣存在所以∠AFI=∠EHI=90°，所以直線EP與直線AG相互垂直.易求得kAG=2，借助k1·k2=-1，得直線kPE=又因為點E（3，-3）已求出，從而得到直線EP的解析式再與拋物線C1∶y=-x2-4x聯(lián)立，即可求得點P的橫坐標x=

不管是第（2）問還是第（3）問，通過三種思路分析解答的過程不難看出，盡管此題增加了拋物線的旋轉(zhuǎn)背景，但是僅僅起了干擾的作用.如何去偽存真挖出所需知識，如何添加輔助線構(gòu)建出基本圖形，如何在基本圖形中找到有效數(shù)量關(guān)系，才是解決問題的根本途徑.步步為營，穩(wěn)重求變.這就是濟南市中考第27題的命題原則，也恰恰是我們今后的教學(xué)要努力的方向.F