周 勇 鄭 丹

(深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部,廣東 深圳 518055)

1 問題的引入

例1.(山東省青島市2015屆高三下學(xué)期一模考試·理綜物理第21題)某實(shí)驗(yàn)小組利用圖1所示的實(shí)驗(yàn)裝置驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律．小鋼球自由下落過程中,計(jì)時(shí)裝置測出小鋼球先后通過光電門A、B的時(shí)間分別為tA、tB,用小鋼球通過光電門A、B的平均速度表示鋼球球心通過光電門的瞬時(shí)速度．測出兩光電門間的距離為h,當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間,小鋼球所受空氣阻力可忽略不計(jì)．

圖1

原題第3問的部分內(nèi)容如下.

(3)實(shí)驗(yàn)中小鋼球通過光電門的平均速度(選填“大于”或“小于”)小鋼球球心通過光電門時(shí)的瞬時(shí)速度,導(dǎo)致動能增加量ΔEk總是稍________(選填“大于”或“小于”)重力勢能減少量ΔEp,且隨小鋼球下落起始高度的增加,誤差越來越________(選填“大”或“小”)．

試題所給的參考答案為:小于、小于、大．

原試題沒有給出詳細(xì)解答,網(wǎng)上流傳的解析如下:由于小鋼球做勻加速直線運(yùn)動,平均速度等于中間時(shí)刻的速度,中間時(shí)刻的速度小于中間位置的速度,因此平均速度小于小鋼球球心通過光電門時(shí)的瞬時(shí)速度,從而導(dǎo)致動能增加量ΔEk小于重力勢能減少量ΔEp．

根據(jù)題意,如果只考慮光電門測速原理而不考慮其他因素的影響,那么小球重力勢能的減少量ΔEp的測量值應(yīng)該是準(zhǔn)確的,并且等于小球動能增加量的真實(shí)值ΔEk真.上述解析其實(shí)只說明了通過光電門測得的小球在某個(gè)狀態(tài)的速度比實(shí)際值小,從而導(dǎo)致小球在某個(gè)狀態(tài)的動能偏小.而題目中設(shè)問的“動能增加量ΔEk”是指末狀態(tài)動能測量值與初狀態(tài)動能測量值之差ΔEk測,它與某個(gè)狀態(tài)的動能并不是一個(gè)概念．因任意兩個(gè)狀態(tài)通過光電門測得的動能都比實(shí)際值偏小,所以由此并不能很直接的看出“動能增加量ΔEk”的誤差情況如何.下面我們進(jìn)一步分析說明“動能增加量ΔEk”的誤差情況到底如何．

2 分析與說明

我們知道,光電門以及與其配合使用的滑塊或擋光片都有一定的寬度,此時(shí)不能視為質(zhì)點(diǎn),但只要我們研究的物體不發(fā)生形變,那么其精確位置可以用該物體上任何一個(gè)確定的點(diǎn)的位置來代表．以圖1(甲)中的裝置為例,顯然,最能方便的代表光電門精確位置的是光電門的發(fā)光孔所在的位置,最能方便的代表小球精確位置的是球心所在的位置．所以,小球通過光電門時(shí)的瞬時(shí)速度其實(shí)就是指其球心剛好運(yùn)動到光電門發(fā)光孔位置時(shí)的速度．又由于小球通過光電門的過程中所發(fā)生的位移大小等于小球的直徑,那么其球心運(yùn)動到發(fā)光孔處的位置剛好就是它在這個(gè)過程中所通過的位移的中點(diǎn),因此,小球通過光電門時(shí)的瞬時(shí)速度v其實(shí)就是它通過光電門過程中位移中點(diǎn)處的瞬時(shí)速度．而我們通過小球直徑d除以擋光時(shí)間Δt得到的速度v測得到的是小球通過光電門過程中的平均速度,因小球做勻變速直線運(yùn)動,此時(shí)它又等于小球通過光電門這個(gè)過程的始末速度的算術(shù)平均值．

2.1 理論推導(dǎo)

圖2

如圖2所示,設(shè)小球做勻加速直線運(yùn)動的加速度大小為a,其最下端靠近光電門A的發(fā)光孔(即擋光開始)時(shí)的速度為vA1,最上端離開(即擋光結(jié)束)時(shí)光電門A的發(fā)光孔時(shí)的速度為vA2,其最下端靠近光電門B的發(fā)光孔時(shí)的速度為vB1,最上端離開光電門B的發(fā)光孔時(shí)的速度為vB2．設(shè)滑塊經(jīng)過光電門A和B時(shí)的瞬時(shí)速度的真實(shí)值分別為vA和vB,測量值分別為vA′和vB′,則有

此過程中滑塊“動能增加量”的真實(shí)值為

測量值為

兩式相減,可得

設(shè)滑塊(擋光片)經(jīng)過光電門A和光電門B所經(jīng)歷的時(shí)間分別為ΔtA和ΔtB,則有

顯然,ΔtA>ΔtB,可得ΔEk測>ΔEk真,而ΔEp=ΔEk真,故用小鋼球通過光電門的平均速度代替其球心通過光電門時(shí)的瞬時(shí)速度,將導(dǎo)致其動能增加量的測量值ΔEk測總是稍“大于”重力勢能減少量ΔEp,而并非答案所給的“小于”．

通過解析的方法來分析“隨著小鋼球下落起始高度的增加,誤差情況如何變化”會比較繁瑣,為了直觀地說明此問題,筆者采用了數(shù)值作圖的方法來加以說明．

2.2 數(shù)值作圖

若取小球質(zhì)量m=20 g,直徑d=1.5 cm,光電門A、B之間的距離L=0.45 m,設(shè)小球釋放時(shí)其下邊緣到光電門A的發(fā)光孔的高度為h,忽略其他因素,則有

ΔEp=mgL,

取g=9.8 m/s2,基于上述原理,當(dāng)小球釋放高度h取不同值時(shí),通過Excel計(jì)算出對應(yīng)數(shù)據(jù)并作出小球動能增加量ΔEk測和其重力勢能減少量ΔEp(等于ΔEk真)隨h變化的圖線,如圖3所示．從圖3也可看出,小球動能增加量的測量值ΔEk測“大于”重力勢能減少量ΔEp,并且隨著小鋼球下落起始高度的增加,誤差越來越 “小”,而并非答案所給的誤差越來越“大”．

圖3

綜上所述,原題第(3)問所給的參考答案只有第一空是對的,后面兩空都不對.

3 拓展與應(yīng)用

由光電門測量的速度進(jìn)而計(jì)算出來的常見物理量,除了(例1)中的動能增加量ΔEk,還有大家熟悉的“加速度a”．

取小球直徑d=1.5 cm,光電門A、B之間的距離L=0.45 m,當(dāng)小球釋放高度h取不同值時(shí),通過Excel計(jì)算出對應(yīng)數(shù)據(jù)并作圖,如圖4所示．

圖4

圖中a是小球下落時(shí)加速度的真實(shí)值,a1是依據(jù)位移公式得到的加速度測量值;a2是依據(jù)加速度定義式得到的加速度測量值,其中的tAB取的是小球從靠近光電門A的發(fā)光孔(即開始擋光時(shí)刻)到靠近光電門B的發(fā)光孔之間的時(shí)間間隔;a3也是依據(jù)加速度定義式得到的加速度測量值,但其中的tAB取的是小球從離開光電門A的發(fā)光孔(即擋光結(jié)束時(shí)刻)到離開光電門B的發(fā)光孔之間的時(shí)間間隔．

由圖4可見,用光電門測量勻變速直線運(yùn)動物體的加速度時(shí),如果僅考慮擋光片寬度的影響,在計(jì)算方法和時(shí)間間隔的取法不同時(shí),加速度測量值的誤差情況有所不同,但是隨著小球釋放高度的增加,加速度的測量誤差都會越來越小,并且在釋放高度一定時(shí),根據(jù)位移公式得到的加速度測量值比根據(jù)加速度定義式得到的加速度測量值的誤差要?。?/p>

4 結(jié)語

考慮擋光片寬度的影響時(shí),做勻變速直線運(yùn)動物體的“動能增加量”以及“加速度”的測量值的誤差情況一般比較復(fù)雜.筆者認(rèn)為該誤差分析可以以思考題的形式留給學(xué)生進(jìn)行自主探究,不宜以考試題的形式來呈現(xiàn),不當(dāng)之處,敬請批評指正!