李 暾 ，肖志豪 ，楊雄偉

（1.廣西科技大學 土木建筑工程學院，廣西 柳州 545006；2.西南交通大學 土木建筑工程學院，四川 成都 611731）

斜拉橋由于其諸多優(yōu)點得到越來越廣泛的應用，但斜拉橋的拉索質量小、阻尼小、柔度大，很容易發(fā)生風致振動，這就給橋梁的運營和安全帶來了隱患，因此，研究斜拉索的振動就顯得十分必要。目前，斜拉索振動方面的研究已由線性振動階段進入了非線性振動階段。 H.M.Irvine［1］、I.A.Hassan［2］和 H.Yamaguchi等［3］研究了斜拉索的三維線性振動理論和有關參數(shù)對斜拉索振動頻率的影響。左曉寶等［4］建立了斜拉索在平面內發(fā)生橫向振動的非線性自由振動方程，但沒有考慮抗彎剛度。吳曉等［5］研究了斜拉索的非線性固有振動特性。高永強等［6］研究了彎曲剛度的斜拉索的固有振動特性。姜健等［7］研究了拉索平面內自由振動的影響因素。趙躍宇等［8］研究了斜拉索面內振動和面外擺振的耦合。以上研究涉及的都是拋物線型拉索。隨著斜拉索長度的增加，拋物線型拉索的計算精度越來越低。劉志軍等［9］考慮了抗彎剛度和垂度對斜拉索的影響，建立了在平面內發(fā)生橫向振動的非線性自由振動方程，但該方程是斜拉索靜止時的無量綱化曲線方程，與真實情況有一定的差距。袁從森等［10］考慮了斜拉索重量的弦向分量對斜拉索非線性振動產生的影響，建立了非線性自由振動方程，并采用更精確的函數(shù)來逼近垂度懸鏈線，但這和實際情況仍有一定的差距。在本文中，我們先在拉索質量沿軸向均勻分布的條件下給出懸鏈線型表達式，在考慮拉索抗彎剛度和拉索垂度的基礎上建立拉索面內的非線性自由振動微分方程，通過Galerkin法將此微分方程轉化為常微分方程，并通過龍格-庫塔法對其進行數(shù)值求解，再分析拋物線型拉索與懸鏈線型拉索產生自由振動的差異，研究拉索長度、線質量、張力和傾角分別與兩種線型拉索的自振頻率、垂度影響系數(shù)的關系。

1 懸鏈線型拉索的自由振動微分方程

在不考慮拉索軸向振動的條件下，拉索在y軸方向上的平衡方程和振動微分方程分別為在式（1）和式（2）中：為拉索質量；和分別為拉索軸向靜態(tài)和動態(tài)張力；為拉索沿y軸方向的阻尼系數(shù)；E為拉索彈性模量；I為拉索截面慣性矩；為拉索傾角；g為重力加速度；v為拉索單元沿y軸方向的動位移；x軸為過拉索兩端的直線；y軸為拉索面內振動方向，向下為正。

根據Green-Lagrange應變-位移關系，通過適當簡化可以得出拉索的軸向應變

和懸鏈線的靜態(tài)線型表達式［11］

其中，L為拉索長度，H0為靜力平衡狀態(tài)下的拉力水平分量。

對式（7）求導，可得

根據Galerkin法，可設

將式（8）和式（9）代入式（3）中，可得

對式（10）沿拉索軸向積分，可得

拉索軸向動態(tài)張力 τ 近似為時間t的函數(shù)，故有

其中A為拉索界面面積。

將式（8）和式（9）代入式（2），整理后可得

將式（12）代入式（14）中，整理后可得

2 單模態(tài)分析

為了對懸鏈線型和拋物線型進行比較，由以拉索風雨激振理論模型［12］為基礎的拋物線型拉索的自由振動微分方程可知，懸鏈線型和拋物線型拉索的自由振動微分方程均是多模態(tài)耦合的。若將方程中的各模態(tài)對第n階模態(tài)自振頻率影響系數(shù)和各模態(tài)對第n階模態(tài)影響系數(shù)去掉，即得到拉索單模態(tài)自由振動微分方程

在式（25）和式（26）中，兩種線型下拉索單模態(tài)自由振動的各階模態(tài)的自振頻率為

式（25）~式（28）中符號含義及表達式與前文的一致。

3 算例及分析

3.1 拉索參數(shù)

以白沙洲長江大橋上的拉索為例進行分析，該拉索為大橋2號墩上的C20號拉索，其長度為331.013 6 m，橫截面積為6.273×10-3m2，線質量為51.8 kg/m，彈性模量為 1.95×105MPa，截面慣性矩為 3.5×10-6m4，初始張力為2 002 kN，拉索傾角為24.397 6°。

3.2 懸鏈線型與拋物線型的差異

從式（27）和式（28）可以看到，在采用懸鏈線型和拋物線型建立的模型中，拉索的固有頻率是相同的，抗彎剛度對拉索各階頻率影響系數(shù)也是相同的，各階自振頻率之間的差異是由拉索垂度的不同造成的，而影響拉索垂度的因素包括拉索長度、拉索線質量、拉索張力以及拉索傾角。無論采用哪種線型，對于偶數(shù)階模態(tài)，垂度對拉索振動頻率的影響系數(shù)都為0，因此只需比較奇數(shù)階模態(tài)自振頻率。

拉索的長度范圍非常大，短的只有十幾米，長的可達600 m［13］。表1為當拉索長度發(fā)生變化，其他參數(shù)保持不變時，兩種線型拉索各階模態(tài)自振頻率的計算結果。表2為當拉索線質量發(fā)生變化，其他參數(shù)保持不變時兩種線型拉索各階模態(tài)自振頻率的計算結果。通常情況下，拉索承受的張力很大，單根拉索的張力可達30 000 kN［14］，實際上拉索的張力沒有這么大。表3為當拉索張力發(fā)生變化，其他參數(shù)保持不變時，兩種線型拉索各階模態(tài)自振頻率的計算結果。表4為當拉索傾角發(fā)生變化，其他參數(shù)保持不變時，兩種線型拉索各階模態(tài)自振頻率的計算結果。

表1 不同長度下兩種線型拉索的各階模態(tài)的自振頻率

表2 不同線質量下兩種線型拉索的各階模態(tài)的自振頻率

表3 不同張力下兩種線型拉索的各階模態(tài)的自振頻率

表4 不同傾角下兩種線型拉索的各階模態(tài)的自振頻率

從表1~表3可以看出，當采用不同線型拉索時，只有第1階自振頻率的差異相對較大，其他各階自振頻率值雖然不完全相同，但它們差異可以忽略不計，而且階數(shù)越高，差異越小。另外，拉索越長，單位拉索質量越大，拉索張力越小，兩種線型的自振頻率差異就越大。

從表4可以看出，隨著拉索傾角的增大，這兩種線型拉索自振頻率的差異也在逐漸增大。與表1~表3中數(shù)據不同的是，雖然隨著拉索長度的增加、單位拉索質量增加及拉索張力減小，這兩種線型的自振頻率的差距不斷增大，但其變化趨勢是一致的。當拉索傾角增大時，懸鏈線型的自振頻率逐漸增大，而拋物線型的自振頻率逐漸減小。

為了找出原因，分析一下兩種線型下拉索單模態(tài)自由振動時第n階自振頻率和的表達式，即式（27）和式（28）。首先，從這兩個式子可以看出，拉索固有頻率以及彎曲剛度的影響是相同的，因此和之間的差異是由垂度項和的不同引起的。 其次，影響垂度項和的因素有拉索長度L、拉索線質量拉索張力和拉索傾角，而拉索參數(shù)L、Mc和T0對和也有影響，因此，雖然和的差異僅由垂度項引起，但差異的大小取決于拉索的參數(shù)。

圖1分別反映了拉索長度、線質量、張力、傾角與兩種線型拉索第1階自振頻率的關系。分析各參數(shù)對兩種線型拉索其他階自振頻率的影響，可以得出以下結論：兩種線型的拉索長度、線質量和張力對拉索自振頻率的影響趨勢基本一致，而兩種線型的拉索傾角對拉索自振頻率的影響的趨勢正好相反。

圖2分別反映了拉索長度、線質量、張力和傾角與兩種線型第1階垂度影響系數(shù)的關系。分析拉索各參數(shù)對兩種線型的其他階垂度影響系數(shù)的影響，可以得出如

圖1 各參數(shù)與兩種線型拉索的第1階自振頻率的關系

3 結論

在本文中，我們導出了基于懸鏈線型連續(xù)拉索的自由振動微分方程，并對拉索自由振動特性做了單模態(tài)分析。拋物線型作為懸鏈線型的近似線型，自振頻率與懸鏈線型的非常接近，但又有差異。通過算例分析，我們得出以下結論：1）采用懸鏈線型和拋物線型所得到的拉索各階模態(tài)的自振頻率非常接近，但還存在一定的差異，模態(tài)階數(shù)越高，差異越小，且差異是由垂度項引起的。2）懸鏈線型拉索和拋物線型拉索各階模態(tài)的自振頻率除第1階略有差異外，高階自振頻率差異很小。拉索越長、張力越小、線質量越大以及傾角越大，兩種線型的自振頻率差異也就越大。3）兩種線型的垂度影響系數(shù)隨拉索長度、線質量和張力的變化具有相下結論：低階垂度影響系數(shù)隨拉索長度的增加而變大，高階垂度影響系數(shù)基本上不受拉索長度變化的影響。低奇數(shù)階垂度影響系數(shù)隨拉索線質量的增加而變大，高奇數(shù)階垂度影響系數(shù)和偶數(shù)階垂度影響系數(shù)基本上不受拉索線質量變化的影響。低奇數(shù)階垂度影響系數(shù)隨拉索張力的增大而變小，高奇數(shù)階和偶數(shù)階垂度影響系數(shù)基本上不受拉索張力變化的影響。對于懸鏈線型拉索，低奇數(shù)階垂度影響系數(shù)隨拉索傾角的增大而變大，高奇數(shù)階和偶數(shù)階垂度影響系數(shù)基本上不受拉索傾角變化的影響；對于拋物線型拉索，低奇數(shù)階垂度影響系數(shù)隨拉索傾角的增大而變小，高奇數(shù)階和偶數(shù)階垂度影響系數(shù)基本上不受拉索傾角變化的影響。同的變化趨勢。這兩種線型的垂度影響系數(shù)隨拉索傾角的變大變化趨勢正好相反。拉索傾角相同時，懸鏈線型垂度影響系數(shù)要比拋物線型垂度影響系數(shù)大。

圖2 各參數(shù)與兩種線型的第1階垂度影響系數(shù)的關系