周世軍 宋 剛

(1.重慶大學(xué)土木工程學(xué)院,重慶 400045; 2.重慶大學(xué)山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室,重慶 400045;3.貴州省交通規(guī)劃勘察設(shè)計研究院股份有限公司,貴陽 550081)

0 引 言

Π形梁具有自重輕、橋面寬等特點,廣泛應(yīng)用于新建橋梁,特別是斜拉橋。因為Π形梁的建造過程中常伴有軸向壓力作用,同時橋面過寬剪力滯效應(yīng)突出,故有必要研究在壓彎作用下Π形梁的剪力滯計算方法。

在剪力滯的數(shù)值解法上,Luo[1]、張元海等[2-3]相繼在能量變分法[4]的基礎(chǔ)上,針對一維梁段有限元進行了大量的研究與改進,但主要集中在箱形截面,對Π形梁的討論尚不充分。在剪力滯的解析理論方面,Chen等[5]近來針對矩形箱梁提出了一種無須假設(shè)剪力滯翹曲位移模式的剪力滯閉合解法,但并不適于壓彎Π形梁。

針對截面縱向位移模式的研究,Zhang[6-7]、周茂定[8]基于面內(nèi)剪切變形和截面應(yīng)力軸向平衡條件,對截面縱向位移函數(shù)進行了軸向修正;Lin等[9]提出了一種具有軸向位移修正和高階剪滯翹曲位移的截面縱向位移函數(shù),但上述的軸向位移修正項均不獨立,無法應(yīng)用于具有軸向自由度的壓彎構(gòu)件。Zhu和Nie[10-11]基于Dezi等[12-13]提出的二次剪滯翹曲位移,對Π形組合梁也提出了一種考慮軸向位移的剪力滯解析模型,但卻未能給出其閉合解。

在壓彎作用下,程翔云等[14]通過引入梁柱效應(yīng)與縱向位移差分別研究壓彎和軸壓作用下箱梁的剪力滯效應(yīng);Chang[15]、Zhou[16-17]和藺鵬臻等[18]先后對預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁的剪力滯效應(yīng)進行了研究;李喬、萬臻[19-20]以及張永健等[21]對斜拉橋中Π形主梁的剪力滯進行了試驗分析?，F(xiàn)有研究多采用板殼、實體有限元的數(shù)值方法[22-23],或模型試驗與現(xiàn)場實測[20,23],理論研究尚顯不足。

Π形梁剪力滯效應(yīng)的現(xiàn)有成果往往僅關(guān)注彎曲作用下的剪力滯,對有軸向力的主梁(如斜拉橋),分析多局限于對軸力工況的單獨分析,未能將軸向位移作為獨立自由度考慮,從而不能合理分析壓彎作用下Π形梁的剪力滯效應(yīng)。本文針對壓彎Π形梁的剪力滯效應(yīng),引入獨立的軸向位移以合理描述壓彎Π形梁截面縱向位移狀態(tài),并提出一種每節(jié)點4個自由度的一維有限梁段法,能有效解決各種邊界條件下壓彎Π形梁剪力滯效應(yīng)的分析。

1 基本假定

針對剪力滯翹曲位移函數(shù),文獻[6]論證了彎曲作用下面內(nèi)剪切變形使頂板縱向位移沿其板寬方向按二次拋物線分布;文獻[14]同樣也采用二次拋物線作為軸力作用下剪力滯的翹曲位移模式。由于軸力和彎曲均會產(chǎn)生剪力滯效應(yīng),本文假設(shè)其翹曲位移模式均為二次拋物線,并將兩者產(chǎn)生的剪力滯效應(yīng)合并,用一個剪力滯位移表征壓彎作用下的剪力滯。

圖1所示的4個位移變量分別為z=0處腹板的軸向位移u(x)、截面豎向位移v(x)、截面轉(zhuǎn)角θ(x)和剪切轉(zhuǎn)角最大差值φ(x)(即壓彎作用下的剪力滯位移)。

圖1 Π形梁節(jié)點位移Fig.1Nodal displacementsof Π shaped girder

坐標(biāo)系的建立如圖2所示,位移方向的約定為:u(x)沿+x為正;v(x)沿+z為正;θ(x)和φ(x)繞+y旋轉(zhuǎn)為正。

圖2 Π形梁橫截面與坐標(biāo)系Fig.2 Cross section of Π shaped girder and coordinate system

引入軸向位移u(x)以合理描述壓彎Π形梁截面縱向位移,具體為

(1)

式中:uf(x,y,z)為頂板縱向位移函數(shù);uw(x,z)為腹板縱向位移函數(shù);b為頂板寬度的1/2。

腹板仍滿足平截面假定;對頂板而言,板內(nèi)縱向纖維的豎向擠壓變形、板平面外的剪切變形及橫向彎曲、橫向應(yīng)變均屬微量,忽略不計。

2 控制微分方程的建立

當(dāng)主梁受到圖3所示的外力荷載(圖中荷載方向假定為正)時,主梁的總勢能為:

(2)

式中:E為彈性模量;G為剪切模量;A為橫截面面積;I為截面對y軸的慣性矩;If為頂板對y軸的慣性矩;Sf為頂板對y軸的面積矩;Iφ=8If/15;qv(x)為豎向分布荷載;qu(x)為軸向分布荷載;l為梁體長度;δe和fe為梁端位移及其相應(yīng)的梁端荷載:

(3)

式中,N(x)為軸力;Q(x)為剪力;M(x)為彎矩;S(x)為與φ(x)對應(yīng)的剪力滯矩。

圖3 荷載圖示Fig.3 Load diagram

對式(2)求變分,得

(4)

式(4)即為分析壓彎Π形梁剪力滯效應(yīng)的控制微分方程組。顯然,位移u(x)、v(x)、φ(x)之間相互耦合。

令

(5)

當(dāng)qv(x)=qv,qu(x)=qux+q0時,式(4)的通解為

(6)

式中,c1～c8為積分常數(shù),式(6)對應(yīng)的邊界條件為

(7)

3 有限梁段法

如圖1在每個節(jié)點引入4個節(jié)點位移,對式(6)進行離散化,并代入式(7)建立Π形梁單元節(jié)點位移與節(jié)點力間的對應(yīng)關(guān)系,δe和fe重寫為

(8)

式中:ui,j為節(jié)點軸向位移;vi,j為節(jié)點豎向位移;θi,j為節(jié)點轉(zhuǎn)角;φi,j為節(jié)點剪力滯位移;Ni,j為節(jié)點軸力;Qi,j為節(jié)點剪力;Mi,j為節(jié)點彎矩;Si,j為節(jié)點剪力滯矩;節(jié)點上各物理量均以坐標(biāo)軸正向為正,如圖4所示。

圖4 節(jié)點力正方約定Fig.4 Nodal forces positive convention

根據(jù)式(6)～式(8),可得節(jié)點位移δe和節(jié)點力fe與積分常數(shù)c1～c8之間的關(guān)系式為

(9)

式中:C=(c1c2c3c4c5c6c7c8)T;Mδ,Mf分別為聯(lián)系δe,fe與C的系數(shù)矩陣(8×8)。

令

(10)

將式(9)化為

(11)

(12)

(13)

(14)

令

單元剛度矩陣ke中各上三角元素表示如下:

如圖5所示為考慮剪力滯的壓彎Π形梁單元剛度矩陣,節(jié)點剪力滯位移φi,j分別與節(jié)點軸向位移ui,j、節(jié)點豎向位移vi,j和節(jié)點轉(zhuǎn)角位移θi,j相互耦合,與式(10)對應(yīng)的坐標(biāo)變換矩陣為:

(15)

式中,C=cosα,S=sinα,α為單元坐標(biāo)系與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系間的夾角,規(guī)定由結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系逆時針轉(zhuǎn)到單元坐標(biāo)系為正。

圖5 單元剛度矩陣示意圖Fig.5 Element stiffness matrixdiagram

4 算 例

結(jié)合圖6所示的主梁斷面尺寸,分別采用本文方法和ANSYS實體單元SOLID185分析簡支梁、懸臂梁和連續(xù)梁在軸向壓力Nx=500 kN和豎向均布荷載qv(x)=450 kN/m共同作用下的剪力滯效應(yīng)。其中,材料的彈性模量E=3.55×107kN/m2,剪切模量G=0.4E。為實現(xiàn)實體單元與本文方法之間的比較,選擇圖6中的A點(腹板中面z=0處)作為實體單元響應(yīng)輸出位置,以保證兩種計算方法之間的可比性。

如圖7所示,在壓彎作用下,本文方法與實體單元的位移分析結(jié)果吻合良好,能夠正確反映軸向位移和豎向位移沿梁長的變化規(guī)律。對簡支梁而言,軸向位移為負(fù),沿軸力方向;對懸臂梁而言,軸向位移先正后負(fù),固定端沿軸力反向,自由端沿軸力方向;對連續(xù)梁而言,軸向位移基本變化規(guī)律與簡支梁相同,但在中間鉸支座處軸向位移出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象,跳躍方向沿軸力反向。由此表明,在壓彎作用下,由于剪力滯效應(yīng)的影響梁單元的軸向位移沿梁長的變化規(guī)律并非直線u(x)=Nxx/EA,而是隨不同的受力狀態(tài)和邊界條件改變。

圖6 橫斷面尺寸(單位:cm)Fig.6 Dimension of cross section (Unit:cm)

圖7 壓彎作用下實體單元和本文方法的位移對比圖Fig.7 Displacement comparisons of solid elementandpresent methodunder axial compression and bending

結(jié)合式(1)和式(7),消去位移變量,得到頂板正應(yīng)力σf與單元桿端力間的關(guān)系如式(16)所示。

(16)

如圖8-圖13所示,分別為Π形截面簡支梁、懸臂梁和連續(xù)梁的廣義力矩圖,以及各主梁跨中截面頂板正應(yīng)力分布圖。經(jīng)實體單元SOLID185驗證,本文所提出的梁單元能夠較準(zhǔn)確地計算壓彎Π形梁的截面正應(yīng)力,合理反映了由剪力滯所引起的截面正應(yīng)力分布不均勻的現(xiàn)象。同時,與文獻[2]分析結(jié)果類似,在壓彎作用下,Π形梁的剪力滯矩S和彎矩M同樣也具有相似的分布規(guī)律,但相對于箱梁而言,Π形梁的剪力滯矩S的絕對值遠小于彎矩M的絕對值,且軸向壓力對廣義力矩的影響極小,可忽略不計。

圖8 簡支梁的廣義力矩圖Fig.8 Generalized moment of simply supported girder

圖9 簡支梁跨中截面應(yīng)力Fig.9 Stress on midspan section of simply supported girder

圖10 懸臂梁的廣義力矩圖Fig.10 Generalized moment of cantilever girder

圖11 懸臂梁跨中截面應(yīng)力Fig.11 Stress on midspan section of cantilever girder

圖12 連續(xù)梁的廣義力矩圖Fig.12 Generalized moment of continuous girder

圖13 連續(xù)梁跨中截面應(yīng)力Fig.13 Stress on midspan section of continuous girder

5 結(jié) 論

本文通過引入軸向位移u(x),以合理描述壓彎作用下截面的縱向位移狀態(tài),給出了軸向位移、豎向位移與剪力滯位移間相互耦合的微分關(guān)系,并利用解析解和邊界條件建立了梁單元節(jié)點位移與節(jié)點力間的對應(yīng)關(guān)系,從而導(dǎo)出了壓彎作用下考慮剪力滯的Π形梁單元剛度矩陣。

通過對簡支梁、懸臂梁和連續(xù)梁的位移與應(yīng)力進行分析,本文方法能夠較好地與實體單元分析結(jié)果相吻合,能夠準(zhǔn)確反映Π形梁的位移狀態(tài)與受力狀態(tài),驗證了本文方法的有效性和可靠性,并得出以下結(jié)論。

(1) 在壓彎作用下,由于剪力滯的影響梁單元的軸向位移沿梁長不再按照直線變化,而隨受力狀態(tài)和邊界條件的不同而改變。

(2) 連續(xù)梁中間支座處,軸向位移出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象,跳躍方向沿軸力反向;

(3) Π形梁的剪力滯矩S和彎矩M具有相似的分布規(guī)律,但剪力滯矩S的絕對值遠小于彎矩M的絕對值,軸向壓力對廣義力矩的影響可以忽略。