張家瑋，孫 琳，張香巖，張晨宇

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院, 蘭州 730070)

一般而言，工程結(jié)構(gòu)和構(gòu)件總可以看成是在恒定初始載荷和附加可變載荷的聯(lián)合作用下工作[1]。當(dāng)結(jié)構(gòu)承受活載時(shí)，將從恒載產(chǎn)生的初始參考狀態(tài)下開始發(fā)生變形，在后續(xù)的變形中包含有初始應(yīng)力的影響。恒載的初始應(yīng)力會(huì)產(chǎn)生加勁效應(yīng)，使結(jié)構(gòu)在后續(xù)活載作用下的內(nèi)力和變形發(fā)生變化。這種影響既包含由初始中面張力引起的加勁效應(yīng)，又包含初始彎曲應(yīng)力造成的加勁效應(yīng)。

恒載對(duì)梁非線性靜動(dòng)力性態(tài)的影響有許多學(xué)者做過有益的研究工作，Biot[2]研究了初始應(yīng)力對(duì)桿的扭轉(zhuǎn)剛度的影響，Brunelle[3]研究了梁在初始軸向壓力作用下的屈曲和振動(dòng)特問題。石慶華等[4-6]研究了初始軸向力及軸向變形對(duì)梁靜動(dòng)態(tài)特性的影響。這些研究主要集中在初始軸向力對(duì)梁彎曲變形靜動(dòng)態(tài)特性的影響，由于初始軸向力的存在，梁桿構(gòu)件將表現(xiàn)出明顯的二階效應(yīng)，拉力使梁桿構(gòu)件自振頻率增大、壓力使梁桿構(gòu)件自振頻率減小。其實(shí)質(zhì)是初始軸向力導(dǎo)致了構(gòu)件剛度的改變。

這些研究中主要考慮由于初始軸向變形的存在而復(fù)雜化了的扭轉(zhuǎn)、彎曲及動(dòng)力問題，而認(rèn)為初始彎曲變形對(duì)結(jié)構(gòu)后續(xù)變形及自振頻率沒有影響。

Takabatake[7-8]認(rèn)為當(dāng)梁承受后續(xù)荷載時(shí)，將從恒載產(chǎn)生的參考狀態(tài)開始發(fā)生彎曲變形，在后續(xù)的彎曲變形中包含有保守初始彎曲應(yīng)力的影響。并發(fā)現(xiàn)恒載產(chǎn)生的彎曲變形會(huì)對(duì)梁靜動(dòng)力特性產(chǎn)生影響，恒載產(chǎn)生的彎曲變形會(huì)產(chǎn)生加勁效應(yīng)，使梁桿構(gòu)件自振頻率增大。Zhou等[9-11]在Takabatake工作的基礎(chǔ)上，提出了初始彎曲變形對(duì)梁動(dòng)力影響的有限元方法，推導(dǎo)出考慮這種影響的單元?jiǎng)偠染仃?。張家瑋等[12-15]研究了恒載初始彎曲應(yīng)力對(duì)拱形梁靜動(dòng)力特性的影響。周世軍等[16-17]用有限元方法分析了恒載初始彎曲應(yīng)力對(duì)板自振頻率的影響。

這些研究未同時(shí)考慮初始軸向、彎曲應(yīng)力及變形對(duì)結(jié)構(gòu)影響的完備表達(dá)。本文應(yīng)用Hamilton原理，建立了同時(shí)考慮初始靜載產(chǎn)生的彎曲和軸向應(yīng)力及變形影響時(shí)梁的控制微分方程，利用Galerkin方法推導(dǎo)出了考慮兩種變形影響時(shí)簡支梁自振頻率的解析表達(dá)式，進(jìn)一步擴(kuò)展初等梁理論。并通過對(duì)簡支梁自振頻率的解析表達(dá)式的討論，明確了初始靜載大小、梁自身剛度等不同參數(shù)對(duì)這兩種初始變形對(duì)梁動(dòng)力反應(yīng)的敏感度。采用產(chǎn)生相同變形能的方式，定量地比較了兩種初始變形在各種邊界條件不同參數(shù)情況下(初始荷載大小、慣性矩、慣性半徑和跨度等)對(duì)梁自振頻率的影響。

1 微分方程的建立

假定梁的變形服從Bernoulli-Euler假設(shè)，應(yīng)變位移關(guān)系為[18]

(1)

(2)

式中：εx為梁的應(yīng)變；v為梁的撓度。

在后續(xù)活載作用下，梁的應(yīng)變能U為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

則梁的變形能U為

(8)

外荷載所產(chǎn)生的荷載勢能為

(9)

忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及軸向振動(dòng)的影響，梁的動(dòng)能可以表示為

(10)

Hamilton原理

(11)

將式(8)～式(10)代入式(11)，得

(12)

其中，梁只在初始荷載作用下時(shí)應(yīng)滿足

(13)

(14)

(15)

在式(12)中，考慮初始軸向變形和彎曲變形影響時(shí)梁的控制微分方程為

(16)

(17)

邊界條件為

(18)

(19)

邊界條件為

(20)

2 動(dòng)力分析及Galerkin方法求解

由式(19)可知，考慮初始荷載影響時(shí)梁的自由振動(dòng)微分方程為

(21)

(22)

將式(22)代入式(21)得

(23)

(24)

這里，

(25)

(26)

其中，fi為

(27)

(28)

(29)

一端固支一端簡支梁：

(30)

初始荷載對(duì)梁自振頻率影響的控制方程式采用Galerkin方法求解，其表達(dá)式為

(31)

(32)

其中，計(jì)算初始彎曲變形影響時(shí)

(33)

(34)

其中，計(jì)算初始軸向變形影響時(shí)

(35)

(36)

考慮初始荷載的影響時(shí)簡支梁的自振頻率

(37)

不考慮初始荷載的影響時(shí)簡支梁的自振頻率

(38)

其中,k0i為

(39)

兩端固支梁:

Cos(k0nL)Cosh(k0nL)=1

(40)

懸臂梁:

Cos(k0nL)Cosh(k0nL)=-1

(41)

一端固支一端簡支梁：

Tan(k0nL)=Tanh(k0nL)

(42)

由式(31)～式(36)可以得到考慮初始彎曲應(yīng)力及變形時(shí)簡支梁的自振頻率

(43)

其中,

(44)

G1=1.365 9×10-4

(45)

G2=0.224 182×10-4

(46)

G3=0.098 349 4×10-4

(47)

由式(31)～式(39)可以得到考慮初始軸向應(yīng)力及變形時(shí)簡支梁的自振頻率

(48)

3 算例及分析

圖2 不同邊界條件下與 關(guān)系曲線 for various boundary conditions

圖3 前三階頻率與關(guān)系曲線 relationship

圖與關(guān)系曲線

從圖3、圖4中可以看出，初始軸向拉力及彎曲應(yīng)力會(huì)對(duì)梁的動(dòng)力特性產(chǎn)生影響。初始軸向拉力及彎曲應(yīng)力使梁自振頻率增大，頻率的階數(shù)越低，這種增大越明顯。隨著初始荷載的增大，初始軸向拉力、彎曲應(yīng)力及變形對(duì)梁自振頻率的影響越大，其中初始彎曲變形的影響相對(duì)初始荷載的大小更加敏感，尤其是基頻。

圖5～圖7為單獨(dú)慣性矩變化(αI=I/I0)、單獨(dú)回轉(zhuǎn)半徑變化(面積變，慣性矩不變，αr=r/r0)、單獨(dú)跨度變化(αL=L/L0)時(shí)初始彎曲與軸向應(yīng)力對(duì)簡支梁自振頻率影響大小的比值。圖8為這三種與結(jié)構(gòu)自身剛度有關(guān)的參數(shù)對(duì)初始彎曲與軸向應(yīng)力對(duì)簡支梁自振頻率影響大小比值的比較?？梢钥闯?，簡支梁的慣性矩越小，或回轉(zhuǎn)半徑越小(面積變、慣性矩不變)，或跨度越大，初始彎曲應(yīng)力在初應(yīng)力影響中所占的比例越大。而且，跨度變化對(duì)此項(xiàng)的影響最大，這一點(diǎn)從自振頻率解析表達(dá)式上可以看出。

圖5 αI變化時(shí)與關(guān)系曲線Fig.5 relationship for various αI

圖6 αr變化時(shí)與關(guān)系曲線Fig.6 relationship for various αr

圖7 αL變化時(shí)與關(guān)系曲線Fig.7 relationship for various αL

圖8 三種變量變化時(shí)與關(guān)系曲線Fig.8 Relationships between varying deterrent effect

4 結(jié) 論

本文在同時(shí)考慮初始軸向和彎曲應(yīng)力及變形影響下，推導(dǎo)梁幾何非線性分析的完備表達(dá)式，得到梁在初始荷載影響下的自振頻率的解析解，進(jìn)一步擴(kuò)展初等梁理論。

(1) 初始軸向及彎曲應(yīng)力會(huì)對(duì)梁的動(dòng)力特性產(chǎn)生影響。初始軸向拉力及彎曲應(yīng)力使梁自振頻率增大，頻率的階數(shù)越低，這種增大越明顯。隨著初始荷載的增大，初始軸向拉力、彎曲應(yīng)力及變形對(duì)梁自振頻率的影響越大，其中初始彎曲變形的影響相對(duì)初始荷載的大小更加敏感，尤其是基頻。

(2) 梁自身的剛度會(huì)對(duì)兩種初始變形的加勁效應(yīng)的大小會(huì)造成影響。結(jié)構(gòu)越柔(約束越弱、或慣性矩越小、或跨度越大、或回轉(zhuǎn)半徑越小)，初始彎曲與軸向應(yīng)力及變形對(duì)梁自振頻率的影響的比值越大。