宋軼民，金雪瑩，梁?棟，孫?濤

?

兩類平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)凱恩動(dòng)力學(xué)建模與比較研究

宋軼民1，金雪瑩1，梁?棟2，孫?濤1

(1. 天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300354；2. 天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387)

研究了冗余驅(qū)動(dòng)平面4-RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)與非冗余驅(qū)動(dòng)平面3-RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛體動(dòng)力學(xué)建模及其性能比較.首先，從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度出發(fā)，推導(dǎo)了兩種機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型. 其次，基于Kane方程和多體理論，提出了一種模塊化建模方法. 該方法簡(jiǎn)捷、高效，可有效簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)建模過(guò)程，并可獲得結(jié)構(gòu)緊湊的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)于控制策略的構(gòu)建極為便利. 最后，在MATLAB編程環(huán)境下，分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)、逆剛體動(dòng)力學(xué)仿真等方面對(duì)兩種機(jī)構(gòu)進(jìn)行了比較分析，驗(yàn)證了冗余驅(qū)動(dòng)在規(guī)避奇異、提升系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能等方面的有效性，為后續(xù)基于模型的控制策略設(shè)計(jì)奠定了理論基礎(chǔ).

并聯(lián)機(jī)構(gòu)；Kane方程；冗余驅(qū)動(dòng)；動(dòng)力學(xué)

近年來(lái)，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)已在許多領(lǐng)域得到較為廣泛的應(yīng)用，原因是其具有剛度高、結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力強(qiáng)、動(dòng)態(tài)性能好、控制便捷等優(yōu)點(diǎn)[1]．但是，并聯(lián)機(jī)構(gòu)較小的工作空間和工作空間內(nèi)較多的奇異點(diǎn)是制約其性能的關(guān)鍵因素[2-3]．因此，如何有效規(guī)避工作空間內(nèi)的奇異點(diǎn)，擴(kuò)大無(wú)奇異工作空間，使其運(yùn)動(dòng)性能得以充分發(fā)揮，值得去做一些深入研究．

動(dòng)力學(xué)模型是動(dòng)態(tài)特性分析和控制的基礎(chǔ)．常用的動(dòng)力學(xué)建模方法包括牛頓-歐拉(Newton-Euler)?法[4]、拉格朗日(Lagrange)法[5]、凱恩(Kane)法[6-7]、虛功原理法[8]等．這幾種方法建立的動(dòng)力學(xué)模型表達(dá)形式各不相同，但在本質(zhì)上并無(wú)差別．Newton-Euler法物理意義明確，但因涉及鉸鏈內(nèi)力計(jì)算，導(dǎo)出的計(jì)算格式不宜作為控制的模型．Lagrange法在串聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模中應(yīng)用較廣，其特點(diǎn)是無(wú)需計(jì)算系統(tǒng)鉸鏈內(nèi)力(力矩)，可得到形式較為簡(jiǎn)捷的動(dòng)力學(xué)方程．但是，Lagrange法是基于分析力學(xué)，需做較多偏導(dǎo)運(yùn)算，一定程度上會(huì)增大建模工作量．Kane法兼具矢量力學(xué)與分析力學(xué)的特點(diǎn)，其將廣義速率定義為運(yùn)動(dòng)學(xué)變量，采用偏速度與偏角速度建立系統(tǒng)的自由度空間(可運(yùn)動(dòng)方向的空間)，將力投影在偏速度與偏角速度的空間上，不會(huì)出現(xiàn)理想的約束反力，有利于計(jì)算機(jī)的輔助運(yùn)算．Bhattacharya等[9]基于Lagrange方程分別建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈與動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型，而后將其組合，并借助運(yùn)動(dòng)學(xué)映射關(guān)系進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型．Zubizarreta等[10]利用上述方法對(duì)傳感器冗余的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模．Cheng等[6]應(yīng)用Kane方程建立了3SPS＋1PS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行了仿真分析. Kane方法在建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，具有簡(jiǎn)捷、高效的優(yōu)點(diǎn)且有利于基于模型的控制策略的構(gòu)建．然而，目前有關(guān)該方法在冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模中的應(yīng)用則少有報(bào)道．

平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)雖然結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成本低廉，但應(yīng)用廣泛，其中平面3-RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)[11]是最具代表性的構(gòu)型之一，其可應(yīng)用于電子封裝、精密定位等[12]先進(jìn)制造領(lǐng)域．而在此基礎(chǔ)上衍生出的平面4-RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)[13]由于增加了一條對(duì)稱冗余驅(qū)動(dòng)支鏈，其可有效克服傳統(tǒng)平面3-RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的第二類奇異，改善運(yùn)動(dòng)性能，因此日益受到重視．本文擬研究上述兩類機(jī)構(gòu)的高效動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題及其動(dòng)態(tài)性能比較．首先，建立兩類機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型；其次，基于Kane方程和多體理論，提出一種模塊化建模方法，并據(jù)此建立上述兩類機(jī)構(gòu)的剛體動(dòng)力學(xué)模型；最后，對(duì)上述機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)與剛體動(dòng)力學(xué)性能的分析與對(duì)比，并借助多體軟件驗(yàn)證所提方法和結(jié)論的正?確性．

1?運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1?位置逆解分析

圖1?兩類平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意

???(1)

???(2)

根據(jù)機(jī)構(gòu)的幾何約束關(guān)系可得

???(3)

(4)

其中

式中和分別為冗余驅(qū)動(dòng)平面4-RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)、靜平臺(tái)中心點(diǎn)到其鉸鏈中心點(diǎn)的距離．

與冗余驅(qū)動(dòng)平面4-RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解推導(dǎo)過(guò)程相仿，非冗余驅(qū)動(dòng)平面3-RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解可表示為

?(5)

1.2?速度逆解分析

對(duì)式(2)關(guān)于時(shí)間求1階導(dǎo)數(shù)，整理后可得

???(6)

對(duì)式(3)關(guān)于時(shí)間求1階導(dǎo)數(shù)，經(jīng)整理，可得

???(7)

???(8)

履行相仿手續(xù)，可求得非冗余驅(qū)動(dòng)平面3-RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣為

???(9)

篇幅所限，、中各元素具體表達(dá)式不再列出．

2?動(dòng)力學(xué)建模

2.1?Kane方程

Kane方程被描述為對(duì)應(yīng)于每一個(gè)廣義速率的廣義主動(dòng)力與廣義慣性力之和為零，即有

(10)

2.2?系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

動(dòng)力學(xué)模型對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能分析和控制器設(shè)計(jì)具有重要意義．為提高效率，提出一種模塊化建模方法，將機(jī)構(gòu)虛擬切割為支鏈子模塊和動(dòng)平臺(tái)子模塊，選取主動(dòng)關(guān)節(jié)輸入向量、被動(dòng)關(guān)節(jié)向量和末端執(zhí)行器參考點(diǎn)輸出向量為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)，進(jìn)而基于Kane方程，建立各子模塊的動(dòng)力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上，借助增廣拉格朗日乘子法[14]，構(gòu)建系統(tǒng)的完備動(dòng)力學(xué)模型．建模流程如圖2所示．針對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，應(yīng)用該方法建立的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中含有被動(dòng)關(guān)節(jié)的冗余信息，同時(shí)結(jié)合冗余驅(qū)動(dòng)，可有效避免因坐標(biāo)奇異帶來(lái)的動(dòng)力學(xué)模型失效問(wèn)題．

圖2?動(dòng)力學(xué)建模流程

以冗余驅(qū)動(dòng)平面4-RR機(jī)構(gòu)為例，闡述建模過(guò)程．首先在支鏈末端關(guān)節(jié)位置處進(jìn)行虛切，獲得開鏈系統(tǒng)，如圖3所示．對(duì)于支鏈建模，不失一般性，以任意支鏈為例進(jìn)行分析．

圖3?機(jī)構(gòu)任意分支示意

依據(jù)上述建模思想，定義系統(tǒng)廣義坐標(biāo)向量為

令慣性坐標(biāo)系下、、軸的單位方向向量分別為、、，則支鏈中兩桿件的角速度為

支鏈中桿件的質(zhì)心位置矢量可表示為

對(duì)之關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，得到支鏈中兩桿件的質(zhì)心速度為

???(11)

由式(11)可得支鏈中各桿件的質(zhì)心偏速度為

???(12)

此外，各桿件的偏角速度為

???(13)

進(jìn)一步對(duì)質(zhì)心位置方程關(guān)于時(shí)間求2階導(dǎo)數(shù)，得到桿件的質(zhì)心加速度為

??(14)

因此，作用于支鏈中各桿件的廣義慣性力為

???(15)

依據(jù)Kane方程，開鏈系統(tǒng)中任意支鏈的動(dòng)力學(xué)方程可寫為

上式可表示為如下緊湊形式：

???(16)

動(dòng)平臺(tái)為獨(dú)立運(yùn)動(dòng)剛體，其動(dòng)力學(xué)方程可表示為

???(17)

將支鏈動(dòng)力學(xué)方程式(16)與動(dòng)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)方程式(17)進(jìn)行組集，可得開鏈系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

???(18)

根據(jù)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，機(jī)構(gòu)的閉鏈約束方程可表示為如下矩陣形式：

?????(19)

對(duì)式(19)關(guān)于時(shí)間求1階導(dǎo)數(shù)，可得系統(tǒng)的速度約束方程為

???(20)

???(21)

進(jìn)一步對(duì)閉鏈約束方程式(19)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)后，寫為如下形式：

???(22)

將式(22)代入式(20)，可得

???(23)

???(24)

基于式(24)所示關(guān)系，可消掉上式中的廣義約束力項(xiàng)，得到簡(jiǎn)化形式的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

???(25)

上式可簡(jiǎn)記為

???(26)

對(duì)于冗余驅(qū)動(dòng)平面4-RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，因其驅(qū)動(dòng)力矩?cái)?shù)目大于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程數(shù)目，需進(jìn)行優(yōu)化求解，為便于實(shí)際控制，借助最小二范數(shù)法[3]，可將該機(jī)構(gòu)的逆動(dòng)力學(xué)解表示為

???(27)

對(duì)于非冗余驅(qū)動(dòng)平面3-RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，效仿上述冗余驅(qū)動(dòng)平面4-RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)推導(dǎo)過(guò)程，可建立其動(dòng)力學(xué)模型為

???(28)

因非冗余驅(qū)動(dòng)平面3-RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力矩?cái)?shù)等于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程數(shù)，故其逆動(dòng)力學(xué)具有唯一解

???(29)

3?動(dòng)態(tài)性能比較研究

3.1?運(yùn)動(dòng)學(xué)性能

給出兩類機(jī)構(gòu)的尺寸和質(zhì)量參數(shù)如表1[11]所示.為便于比較分析，設(shè)定兩類機(jī)構(gòu)支鏈中各桿件的尺度參數(shù)一致，動(dòng)、靜平臺(tái)相應(yīng)尺寸亦一致．

表1?機(jī)構(gòu)的尺度和質(zhì)量參數(shù)

Tab.1?Dimensions and mass parameters of mechanism

圖4?3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能圖譜

圖5?4-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能圖譜

3.2?動(dòng)力學(xué)性能

動(dòng)力學(xué)性能是評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)高速性能和加減速特性的重要技術(shù)指標(biāo)．廣義慣性橢球(GIE[18])和動(dòng)態(tài)可操作性橢球(DME[19])可用來(lái)評(píng)價(jià)機(jī)器人的局部動(dòng)力學(xué)映射特征．在此，以DME為理論依據(jù)，基于前面所建立的剛體動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)一步考察兩類并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能．考慮到加減速時(shí)，與加速度有關(guān)項(xiàng)將起主導(dǎo)作用，定義系統(tǒng)慣性矩陣的條件數(shù)倒數(shù)(動(dòng)態(tài)靈巧度)為評(píng)價(jià)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能的局部指標(biāo)．

動(dòng)態(tài)靈巧度指標(biāo)定義為

圖6?3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能圖譜

圖7?4-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能圖譜

3.3?逆剛體動(dòng)力學(xué)仿真

圖8?3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力矩

圖9?4-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力矩

3.4?多體軟件驗(yàn)證

圖10?多體軟件仿真模型

圖11?不同時(shí)刻構(gòu)型圖

圖12?末端執(zhí)行器跟蹤軌跡

4?結(jié)?論

(1) 在對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的基礎(chǔ)上，借助Kane方程和多體理論，提出了一種高效的模塊化建模方法，該方法可有效應(yīng)對(duì)含復(fù)雜閉鏈約束機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題，降低建模復(fù)雜度．

(2) 將包含廣義約束力的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型向約束雅克比矩陣的零空間方向投影，消掉了廣義約束力項(xiàng)，所得模型結(jié)構(gòu)緊湊、形式簡(jiǎn)捷，對(duì)于提高未來(lái)動(dòng)力學(xué)控制策略的設(shè)計(jì)和執(zhí)行效率具有重要意義．

(3) 基于運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)靈巧度指標(biāo)全面比較研究了兩類機(jī)構(gòu)的性能，在此基礎(chǔ)上，針對(duì)不同運(yùn)動(dòng)軌跡開展了逆剛體動(dòng)力學(xué)仿真，直觀揭示了冗余驅(qū)動(dòng)在克服系統(tǒng)奇異和提升動(dòng)態(tài)性能方面的有效性．

(4) 開發(fā)了冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多體物理仿真模型，并基于一種動(dòng)力學(xué)前饋方法實(shí)施仿真，驗(yàn)證了理論模型的正確性和有效性．

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(責(zé)任編輯：金順愛(ài))

Kane-Formulation-Based Dynamic Modeling and Comparative Study on Dynamic Performance of Two Kinds of Parallel Robots

Song Yimin1，Jin Xueying1，Liang Dong2，Sun Tao1

(1. Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education， Tianjin University，Tianjin 300354，China； 2. School of Mechanical Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China)

In this study，we compared the rigid body dynamics of 4-RR and 3-RR parallel robots. First，we derived inverse kinematics models for both parallel robots. Second，based on the Kane formulation and multibody theory，we developed a modular modeling method，which is concise and efficient to simplify the dynamic modeling process effectively. Using this method，a dynamic system model with a compact format can be achieved，which is very suitable for the construction of a control strategy. Ultimately，using MATLAB software，we performed inverse dynamic simulations and comparatively analyzed the two parallel robots with respect to their kinematic and dynamic performance indices. The results suggest that a redundantly actuated parallel robot can effectively avoid singularities and enhance the dynamic performance of a system compared to one that is non-redundantly actuated. These findings lay a theoretical foundation for the future design of model-based control strategies.

parallel mechanism；Kane formulation；redundant actuation；dynamics

10.11784/tdxbz201805028

TH112.1

A

0493-2137(2019)02-0173-10

2018-05-15；

2018-07-05.

宋軼民（1971— ），男，博士，教授.

宋軼民，ymsong@tju.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51475321).

the National Natural Science Foundation of China(No. 51475321).