貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽 550025

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)即學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，能動(dòng)地建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，最終自己得到全面發(fā)展的過程。簡單來說，就是在教師指導(dǎo)下，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的一種過程。心理學(xué)中的認(rèn)知過程，指個(gè)體通過對(duì)外界事物的感覺、知覺、聯(lián)想、思維等一系列信息加工的活動(dòng)，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是后繼數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要。通過對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)含義及其特征的探究，來進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

1 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)含義及其特征

所謂的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，指學(xué)生對(duì)來自于在界的數(shù)學(xué)知識(shí)通過自己的感覺與直覺、思維等認(rèn)知活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化加工處理，在認(rèn)知等的心理活動(dòng)的作用下，形成一個(gè)具有自己內(nèi)部規(guī)律的完整組織結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)教育工作者對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的深入把握，有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

1.1 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有主觀性

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是由外部的客觀的數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生內(nèi)部的思維活動(dòng)兩方面共同作用而成。數(shù)學(xué)知識(shí)是客觀存在的，當(dāng)教師將教材里陌生的數(shù)學(xué)知識(shí)通過課堂教學(xué)呈現(xiàn)在學(xué)生面前時(shí)，學(xué)生會(huì)通過自己的感覺、知覺、注意、理解、記憶等思維活動(dòng)、心理活動(dòng)來對(duì)這些數(shù)學(xué)知識(shí)按照自己的方式進(jìn)行信心加工處理，內(nèi)化為具備自己思維屬性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并且在內(nèi)化過程中會(huì)保留數(shù)學(xué)知識(shí)原有的抽象性與邏輯性等的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象程度亦或是否具有很強(qiáng)的邏輯性對(duì)學(xué)生采取的認(rèn)知方式也會(huì)有一定程度的影響，邏輯性強(qiáng)的知識(shí)更需要學(xué)生投入多一些自己的理解，進(jìn)而去歸納總結(jié)該知識(shí)點(diǎn)；對(duì)于一些較為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，前期對(duì)相關(guān)的一些事物的感覺、知覺要更多一些，對(duì)于后期理解知識(shí)點(diǎn)會(huì)更有幫助?？偠灾?，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是教材中數(shù)學(xué)知識(shí)同學(xué)生的認(rèn)知心理活動(dòng)二者間相互作用的產(chǎn)物。

1.2 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)受已有數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的影響

從數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成來看，均是在學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上能動(dòng)建構(gòu)的，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成離不開學(xué)生的舊數(shù)學(xué)知識(shí)和積累下的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，因此，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是不斷在新舊數(shù)學(xué)知識(shí)的交替與融合中不斷地更新與重構(gòu)，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到深化，豐富數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在此方式下，學(xué)生將所習(xí)得的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為自己的經(jīng)驗(yàn)，將數(shù)學(xué)知識(shí)長久地保留在自己的頭腦中。

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)既是一個(gè)整體又具有各個(gè)知識(shí)塊的特殊屬性。從宏觀上來說，數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)同學(xué)生認(rèn)知心理活動(dòng)后的產(chǎn)物及時(shí)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；從微觀上來分析，數(shù)學(xué)知識(shí)又可以分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐這4 大塊，每一知識(shí)組塊有各自的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，且各數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)又是“互通有無”與“交流”的狀態(tài)。例如“數(shù)與代數(shù)”認(rèn)知結(jié)構(gòu)的掌握有利于學(xué)生后續(xù)“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)。

1.3 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣相關(guān)

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成離不開學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理活動(dòng)，每個(gè)學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平與方式都是存在著差異性，因此彼此的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的風(fēng)格也就有很大的不同之處。從知識(shí)類型來分析數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，根據(jù)知識(shí)的不同狀態(tài)與表達(dá)形式可以分為陳述性知識(shí)與程序性知識(shí)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，有的同學(xué)會(huì)更擅長公式的記憶，也就是陳述性知識(shí)的學(xué)習(xí)，而有的同學(xué)則更傾向于程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)，如公式的推導(dǎo)與證明等。陳述性知識(shí)較易獲得但也比較容易被遺忘，而程序性知識(shí)一旦獲得，經(jīng)歷后期的鞏固之后可以牢牢地被學(xué)生掌握，因此，以擅長掌握陳述性知識(shí)的學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)較不穩(wěn)定些，而喜歡操作性知識(shí)學(xué)習(xí)的同學(xué)的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中就更會(huì)儲(chǔ)存較多的可用于實(shí)踐操作性的數(shù)學(xué)知識(shí)。由此，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與學(xué)生的學(xué)習(xí)個(gè)性有莫大的關(guān)聯(lián)性。

1.4 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有秩序性

小學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)的概念逐步形成有關(guān)數(shù)的基本的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，到了初中階段掌握有關(guān)方程的運(yùn)算，此時(shí)，有關(guān)“數(shù)”的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就得到了充實(shí)，由此可見，從縱向來看，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成是循序漸進(jìn)，遵循著一定的順序的。從橫向來看，在某一階段的教育中，學(xué)生不僅會(huì)學(xué)習(xí)“數(shù)”的知識(shí)，同時(shí)也會(huì)學(xué)習(xí)“圖形與幾何”方面的數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)無論是從縱向還是橫向發(fā)展來看，均是按照一定的層次秩序依次進(jìn)行的。

1.5 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有發(fā)展性

個(gè)體的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是一直處在發(fā)展的狀態(tài)下，并非是一成不變的，新舊數(shù)學(xué)知識(shí)以及數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)都會(huì)影響數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成與發(fā)展。新舊數(shù)學(xué)知識(shí)的不斷融合，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的累加，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷得到發(fā)展，在這過程中需要不斷地進(jìn)行知識(shí)的同化與順應(yīng)。學(xué)生根據(jù)新的數(shù)學(xué)知識(shí)的種屬進(jìn)行同化或是順應(yīng)等認(rèn)知活動(dòng)，一部分同化到舊知識(shí)中擴(kuò)大原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，一部分順應(yīng)成為頭腦中的知識(shí)，經(jīng)過認(rèn)知操作等信息加工處理成為新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，豐富了原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的種類。

2 良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的的特征

2.1 良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具備良多的觀念

在小學(xué)階段學(xué)生從簡單的“5+6=？”的問題入手，掌握基本的加減乘除運(yùn)算，隨著年級(jí)升高，逐漸學(xué)習(xí)3位數(shù)的加法、兩位數(shù)與兩位數(shù)的乘法運(yùn)算；小學(xué)升入初中，學(xué)生開始學(xué)習(xí)多項(xiàng)式合并同類項(xiàng)、一元二次方程的多種解法；考入高中，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，由此可見，隨著學(xué)段的提高，每個(gè)學(xué)段的問題解決都需要前面所學(xué)知識(shí)來作為輔助。具備越多的知識(shí)組塊對(duì)后續(xù)數(shù)學(xué)問題的解決越有利。

2.2 良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具備穩(wěn)定且良好的產(chǎn)生式

前文提到了要有足夠多的觀念，在解決數(shù)學(xué)問題過程中，這些可利用的觀念只是解決問題的工具，但是工具同時(shí)也需要會(huì)操作的人來運(yùn)用，才會(huì)達(dá)到問題解決的效果。美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞“怎樣解題”表給我們提供了適用的解題思路。當(dāng)學(xué)生對(duì)于某一類型的問題掌握足夠的基礎(chǔ)知識(shí)后，拿到問題，在頭腦中浮出“怎樣解題”表，“未知數(shù)是什么？已知數(shù)是什么？條件是什么？”，在了解問題后，進(jìn)行下一步“擬定計(jì)劃”，“你以前曾見過他么？”，“你用了全部條件嗎？”等等，之后是實(shí)行計(jì)劃，最后返回問題，檢查自己的答案。產(chǎn)生式的目的是喚醒學(xué)生的心理活動(dòng)或是心理運(yùn)算。

2.3 良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具備有序的知識(shí)組塊

學(xué)生在具備了穩(wěn)定的產(chǎn)生式后，需要頭腦中的各級(jí)各類的知識(shí)組塊有秩序地排列。根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)類型來看，分別有“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”、“綜合與實(shí)踐”4大知識(shí)組塊，從解題方法來看，例如有“待定系數(shù)法”、“配方法”、“函數(shù)法”等知識(shí)組塊，這些知識(shí)組塊如果是雜亂無章儲(chǔ)存在頭腦中，縱然有太多的產(chǎn)生式，也無法完成數(shù)學(xué)問題的解決。反之，各類別知識(shí)組塊依照本質(zhì)屬性分門別類地儲(chǔ)存，在頭腦中形成一個(gè)有層次有條理的知識(shí)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，提高問題解決效率。

2.4 良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具備一定的問題解決策略的觀念

傳統(tǒng)學(xué)習(xí)中常常提到的“熟能生巧”即是通過多加練習(xí)，后期多多總結(jié)解題技巧等來提高問題解決能力，在聯(lián)系的過程中，學(xué)生的問題解決策略也會(huì)逐漸積累，根據(jù)題目的具體要求，選擇最適合題目的策略，這種問題策略是靠著多次的聯(lián)系逐漸積累與掌握。

3 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般過程

根據(jù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知理論可知，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是新的學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。依據(jù)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化，可以將學(xué)習(xí)的一般過程劃分為3個(gè)階段：輸入階段、相互作用階段、操作運(yùn)用階段。

3.1 輸入階段

在這一起始階段，學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)情境中接觸新的數(shù)學(xué)知識(shí)，并同時(shí)喚醒起頭腦中與此相關(guān)的原有的舊知識(shí)，通過對(duì)新知識(shí)的感知，以及同舊知識(shí)間的對(duì)比，完成對(duì)新知識(shí)的的接受。學(xué)生接受新知識(shí)需要教師創(chuàng)設(shè)一定的情境，此情境要激起學(xué)生的求知欲望，燃起學(xué)習(xí)的熱情，學(xué)生能夠通過情境的渲染，達(dá)到認(rèn)知沖突，開啟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程。

3.2 相互作用階段

相互作用階段離不開同化與順應(yīng)。一方面，在知識(shí)建構(gòu)過程中，學(xué)生需要以原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)來同化新知識(shí)，這也意味著學(xué)生對(duì)于新知識(shí)的理解離不開舊知識(shí)和原有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的支持，通過將新知識(shí)納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)而引起認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生量變的過程，叫做同化。另一方面，新知識(shí)與原有觀念存在一定的偏差時(shí)，新觀念的進(jìn)入則會(huì)使原有的觀念發(fā)生一定的調(diào)整，以順應(yīng)新知識(shí)的接納。

例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)“一元一次方程”這一章節(jié)時(shí)，與此內(nèi)容相關(guān)的原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有“有理數(shù)”、“整式”等內(nèi)容，“一元一次方程”的學(xué)習(xí)可以在相關(guān)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)接觸上，擴(kuò)充舊知，豐富原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

總的來說，“同化”與“順應(yīng)”二者是同時(shí)存在于相互作用的階段，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中兩種不同的認(rèn)知方式，各自的側(cè)重點(diǎn)存在著一定的差別。

3.3 操作運(yùn)用階段

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最終是要提高學(xué)生的問題解決能力，在這一階段，即是指通過數(shù)學(xué)練習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于新知的掌握，恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)練習(xí)可以完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。這一階段的目的是一方面使學(xué)生牢固掌握新知識(shí)完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生掌握相應(yīng)的問題解決方法，提高問題解決能力。

良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開心理活動(dòng)的探索，以認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基石，從數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)來探究學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路徑，有利于改善學(xué)生的認(rèn)知圖式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量，另一方面也能夠給教師以教學(xué)方面的啟發(fā)，優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂，提高教學(xué)效率，完成教學(xué)目標(biāo)。因此，有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善。