福建省福州高級(jí)中學(xué)高三六班 梁含之

波利亞說過：掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題。解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的一環(huán)，它既是培養(yǎng)知識(shí)運(yùn)用能力的必要途徑，也是鞏固所學(xué)知識(shí)的重要手段。作為高中生，我們一方面要善于接受老師的指導(dǎo)，充分借力，另一方面也應(yīng)在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中積極探索和勤于思考，以期切實(shí)掌握一題多解能力并從中獲益。以下，筆者針對(duì)高中數(shù)學(xué)的一題多解問題談一些個(gè)人體會(huì)，希望對(duì)高中同學(xué)有所助益。

一、一題多解的內(nèi)涵及作用

顧名思義，一題多解即指在同一道題的基礎(chǔ)上，從多種角度思考，采用多種解題思路，運(yùn)用不同的方法解答。這要求解題者能夠逐層分析題目，對(duì)于關(guān)鍵的研究對(duì)象進(jìn)行多角度的觀察和分析，進(jìn)而找到每種角度的切入點(diǎn)和突破點(diǎn)。它能有效地拓寬解題者的解題思路，促進(jìn)發(fā)散性思維水平和靈活解題能力的提高。而由于一題多解中的不同解法往往涉及多個(gè)方面的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)方法，因此它對(duì)于解題者綜合運(yùn)用知識(shí)以及靈活解題能力的提高有莫大助力。相信很多同學(xué)都有這樣的體會(huì)：經(jīng)常進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，往往會(huì)在解題過程中找到更為簡便的解法，這正是一題多解能力得到提升的現(xiàn)實(shí)表現(xiàn)。下面我們以高中數(shù)學(xué)中較為典型的多解問題為例對(duì)其具體應(yīng)用進(jìn)行詳細(xì)探討，以期能從中獲得若干有益而深刻的啟示。

二、例談一題多解的具體應(yīng)用

例1：已知（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，試證明x、y、z成等差數(shù)列。

思路1：要想證明x、y、z為等差數(shù)列，必須求得x-y=y-z，而這一結(jié)論只能由已知條件推導(dǎo)得出，所以看到此題時(shí)，最直觀的想法便是展開已知條件去尋求轉(zhuǎn)換。將（z-x）2-4（x-y）（y-z）展開并整理，不難得到x-y=y-z，即證得x、y、z成等差數(shù)列。

思路2：觀察已知條件（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，其中，x-y、y-z、z-x三項(xiàng)具有“對(duì)稱輪換”的特點(diǎn)，那么我們就可以利用此特點(diǎn)采用換元法減少代數(shù)式中的字母數(shù)量，從而大大簡化轉(zhuǎn)換運(yùn)算。具體可設(shè)x-y=a，y-z=b，則易得x-z=a+b，這時(shí)已知代數(shù)式可轉(zhuǎn)換為(a+b)2-4ab=0，通過推導(dǎo)可得出a=b，即x-y=y-z，故x、y、z成等差數(shù)列。

思路3：仔細(xì)觀察代數(shù)式（z-x）2-4（x-y）（y-z），如果設(shè)z-x=b，x-y=a，y-z=c，則其便呈現(xiàn)出二次方程判別式的形式特點(diǎn)，即b2-4ac，這就提供了利用二次方程判別式相關(guān)知識(shí)求解的可能。此時(shí)，我們進(jìn)行分類討論：當(dāng)x-y=0時(shí)，對(duì)已知條件推導(dǎo)易得z-x=0，所以有x=y=z，三者成等差數(shù)列；當(dāng)x-y不等于0時(shí)，關(guān)于t的一元二次方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0的判別式（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，所以方程有等根，而t=1為方程的一個(gè)根，所以方程的兩個(gè)根均為1，然后利用韋達(dá)定理即可順利求解。

評(píng)析：思路1是最容易想到的、常見的思路，雖然穩(wěn)妥可靠，但不免略顯呆板；思路2簡潔流暢，換元法的運(yùn)用十分巧妙，是最優(yōu)解法；思路3則需要仔細(xì)觀察和善于遷移才容易想到，其引入二次方程判別式的方法技巧性較強(qiáng)，帶來的啟示值得重視并細(xì)細(xì)體會(huì)。

例2：已知a2+b2=1，x2+y2=1，求證ax+by≤1。

思路1：綜合運(yùn)用不等式的相關(guān)性質(zhì)即公式、定理，通過推理和運(yùn)算最終證明命題成立。就此題而言，平均值不等式的運(yùn)用十分關(guān)鍵，其簡證過程如下：因?yàn)閍x≤所以ax+by≤

思路2：利用三角換元法證明。觀察已知條件的形式，兩數(shù)平方和等于 1，所以可設(shè)a=sinα，b=cosα，x=sinβ，y=cosβ，得到ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos（α-β）≤ 1。

思路3：此題還可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法來證明。在一個(gè)坐標(biāo)系中，x2+y2=1可看作是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的單位圓，而ax+by=聯(lián)系到點(diǎn)到直線距離公式，圓上任意一點(diǎn)M(x,y)到直線ax+by=0的距離均小于或等于圓的半徑1，即d==|ax+by|≤1，所以ax+by≤1。

評(píng)析：以上三種證明方法均屬于較為典型的基本方法。需要注意的是，思路3的應(yīng)用有其適用條件，帶有一定的局限性，在實(shí)際應(yīng)用過程中，我們要根據(jù)題目具體情況靈活使用。

綜上，筆者結(jié)合自身學(xué)習(xí)實(shí)踐，就高中數(shù)學(xué)一題多解提出了一些個(gè)人看法。總之，一題多解是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須具備的重要能力，我們應(yīng)在平時(shí)學(xué)習(xí)中勤于思考并善于總結(jié)反思。本文拋磚引玉，尚盼有識(shí)者指教。