廣東省佛山市莘村中學(xué)(528300)陳萬壽

在文[1]中，李凱老師結(jié)合二次函數(shù)的特點(diǎn)獲得了如下結(jié)論：分別取f(x) = ax2+bx+c (a0) 在有界閉區(qū)間[m,n](m ＜n)上的三個(gè)函數(shù)值計(jì)算可得：

對(duì)上式取絕對(duì)值，進(jìn)行放縮可得：|a|(n-m)2≤8|f|max.該表達(dá)式揭示了區(qū)間長度與函數(shù)最值的一個(gè)不等關(guān)系，即函數(shù)在有界閉區(qū)間上的最值與區(qū)間長度可相互進(jìn)行估計(jì)[1].

筆者思考如果將二次函數(shù)轉(zhuǎn)換成一般函數(shù)，又該如何估計(jì)呢?

題目已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax+b，x ∈[0,1]，對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b，求|f(x)|最大值的最小值.

分析本題有兩大難點(diǎn)，一是變量較多，有三個(gè)變量，且均為獨(dú)立變量，利用分類討論進(jìn)行求解的難度太大.二是求最大值的最小值，涉及到多次的判斷與比較.

檢驗(yàn)該答案：將上式帶入原函數(shù)可得：f(x) = ln(x+求導(dǎo)得：易知f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.其最大值為與取到最大值矛盾.所以上述答案有誤，先修正如下：

設(shè)λ ∈(0,1)，f(λ)=ln(1+λ)+a·λ+b.結(jié)合f(0)，f(1)的值可得：同上文取絕對(duì)值放縮可得：可得：即|f(x)|最大值的最小值為其中當(dāng)f(0) = f(1) = -f(λ) 即時(shí)，“=”成立.帶入原函數(shù)可得：f(x) = ln(x+1)-ln 2x+求導(dǎo)得：易知f(x)在[0,λ)上單調(diào)遞增，在(λ,1]上單調(diào)遞減.其最大值為f(λ)，由此可知結(jié)論成立.

總結(jié)與二次函數(shù)相比，本題所選的特征點(diǎn)需通過導(dǎo)數(shù)求解.

變式1已知函數(shù)f(x)=ex+1+ax+b，x ∈[0,1]，對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b，求|f(x)|最大值的最小值.

解析選擇特征點(diǎn)f(0),f(1),f(λ)， 令f(0) = f(1)，得a = e - e2， 函數(shù)f(x) 求導(dǎo)得：f′(x) = ex+1+ a， 令f′(x) = 0， 解 得：x = -1 + ln(-a) = ln(e2-e)- 1.取λ = ln(e2-e)- 1 = ln(e - 1) ∈[0,1].驗(yàn)證可得：(1-λ)f(0)+λf(1)-f(λ)=λe2+(1-λ)e-eλ+1.對(duì)上式取絕對(duì)值并放縮可得：由此可得|f(x)|最大值的最小值為其中λ=ln(e-1).

變式2已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax+b，x ∈[0,2]，對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b，求|f(x)|最大值的最小值.

解析仿照上面的例題， 取特征點(diǎn)f(0),f(2),f(λ)， 令f(0) = f(1)， 得函數(shù)f(x) 求導(dǎo)得：f′(x) =令f′(x) = 0， 解得：取驗(yàn)證可得：對(duì)上式取絕對(duì)值并放縮可得：由此可得|f(x)|最大值的最小值為其中

本文提供了一種確定特征點(diǎn)的方法，但并不是所有的函數(shù)都有類似的特征點(diǎn)，什么性質(zhì)的函數(shù)會(huì)具備這樣的特征點(diǎn)呢? 供讀者繼續(xù)探究.