巢青，鐘易成，汪元林，陳進

(1. 中航工業(yè)系統(tǒng)有限公司，北京 100000； 2. 南京航空航天大學，江蘇 南京 210016；3. 南京普國科技有限公司，江蘇 南京 210016)

0 引言

對于航空發(fā)動機，滑油系統(tǒng)的合理、穩(wěn)定、可靠是保證其傳動系統(tǒng)乃至整機穩(wěn)定、可靠的重要條件[1]。而滑油系統(tǒng)的設計、評估、優(yōu)化等又必須基于傳動系統(tǒng)各部件的受力和發(fā)熱量[2]?？梢?，傳動系統(tǒng)部件的受力和發(fā)熱量計算對滑油系統(tǒng)乃至發(fā)動機整機的穩(wěn)定、可靠都不可或缺[3]。

基于上述背景，為了計算某型航空發(fā)動機的某齒輪傳動腔室內(nèi)軸承的受力和發(fā)熱量，為其滑油系統(tǒng)的評估和優(yōu)化改進提供依據(jù)，本文在相關已有研究成果[4-6]的基礎上，綜合運用運動學、動力學以及熱力學等有關理論，分析了軸承的負荷來源，總結、推導了各類軸承的受力和發(fā)熱量計算式，在此基礎上，利用C++語言開發(fā)了航空發(fā)動機齒輪傳動系統(tǒng)軸承受力發(fā)熱量一體化計算程序并進行了計算分析。

1 齒輪和軸承的受力計算

航空發(fā)動機齒輪傳動系統(tǒng)主要由傳動軸、軸承和齒輪組成。軸承在高速轉(zhuǎn)動過程中支承傳動軸工作，傳動軸上齒輪在嚙合傳動過程中產(chǎn)生的各向分力經(jīng)軸傳遞到軸承處，由軸承支反力抵消。也就是說，軸承的負荷來自齒輪的嚙合傳動，因此，進行軸承受力計算就必須要輸入齒輪的受力。

1.1 齒輪受力計算

直齒圓柱齒輪嚙合時的受力示意如圖1所示，嚙合點法向力在切向和徑向兩個方向存在分力，即法向力是二維力。斜齒圓柱齒輪嚙合時的受力示意如圖2所示，嚙合點法向力在切向、徑向和軸向3個方向存在分力，即法向力是三維力。錐齒輪(包括直齒錐齒輪和弧齒錐齒輪)嚙合時的受力示意如圖3和圖4所示，由于結構特殊，嚙合點法向力也是三維力。

圖1 直齒圓柱齒輪嚙合點受力示意圖

圖2 斜齒圓柱齒輪嚙合點受力示意圖

圖4 弧齒錐齒輪嚙合點受力示意圖

在轉(zhuǎn)速和功率已知的條件下，齒輪的轉(zhuǎn)矩可由下式計算：

T=9.55×106P/n

式中：T為齒輪轉(zhuǎn)矩，單位N·m；P為齒輪功率，單位W；n為齒輪轉(zhuǎn)速，單位r/min。

對于直齒圓柱齒輪，徑向力Fr、切向力Ft和法向力Fn由式(1)計算。

(1)

對于斜齒圓柱齒輪，軸向力Fa、徑向力Fr、切向力Ft和法向力Fn由式(2)計算。

(2)

對于直齒錐齒輪，軸向力Fa、徑向力Fr、切向力Ft和法向力Fn由式(3)計算[7]。

(3)

對于弧齒錐齒輪，軸向力Fa、徑向力Fr、切向力Ft和法向力Fn由式(4)計算[8]。

(4)

式(1)-式(4)各參數(shù)名稱匯總見表1。

表1 齒輪受力計算式參數(shù)名稱匯總表

1.2 軸承徑向力計算

在齒輪所受各向分力已知的條件下，本文分兩軸承軸系和三軸承軸系兩種情況進行軸承徑向力的計算。

1) 兩軸承軸系

兩軸承軸系中，兩軸承構成簡支梁結構，軸承徑向力計算模型如圖5所示。

圖5 兩軸承軸系軸承徑向力計算模型

此時，對支點B建立力矩方程式(5)即可求出軸承A的徑向力RA。

RAl-Fr2(l1+l2)+Fr1l1+Fa2r2+Fa1r1=0

(5)

由于整個軸系y方向合力為0，因此，利用式(6)求出軸承B的徑向力RB。

RB+RA-Fr2+Fr1=0

(6)

2) 三軸承軸系

對于三軸承軸系的情況，建立軸承徑向力計算模型如圖6所示。

圖6 三軸承軸系軸承徑向力計算模型

齒輪位于位置1時，假想將軸承C去掉，以支反力R3代替其作用，便可建立如圖7所示的齒輪徑向F單獨作用下的靜定梁模型和載荷R3單獨作用下的靜定梁模型。根據(jù)C處撓度為0，可建立撓度平衡方程。

圖7 靜定簡支梁與靜定懸臂梁模型

如果齒輪在嚙合點處存在軸向力，力作用線平行于軸中心線，但與軸線間存在偏心距，此時，軸向力會產(chǎn)生一個偏心力矩，從而會引起C截面產(chǎn)生附加撓度。偏心力矩作用下懸臂梁彎曲示意圖如圖8所示。

圖8 偏心力矩作用下懸臂梁彎曲示意圖

將軸向力引起的附加撓度帶入之前建立的撓度平衡方程，即可求得軸承C的徑向力：

求得R3后，其余兩個軸承的徑向力便可由兩軸承簡支梁模型進行求解。

齒輪位于位置2時，計算方法同上，可求得軸承C徑向力:

求得R3后，其余兩個軸承的徑向力同樣根據(jù)兩軸承簡支梁模型進行求解。

1.3 軸承軸向力計算

在齒輪所受各向分力已知的條件下，軸承軸向力由軸承類型、支承形式和安裝方式等因素決定，根據(jù)已有文獻，總結計算方法[7],[11-13]簡述如下：

a) 圓柱滾子軸承不承受軸向力。

b) 對于角接觸球軸承，計算步驟為：

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1) 根據(jù)結構圖判斷軸承的安裝方式；

2) 畫出軸承受力簡圖；

3) 確定軸承內(nèi)部軸向力的大小和方向；

4) 確定作用于傳動軸上的軸向外負荷的合力大小和方向；

5) 判明軸上全部軸向負荷(包括軸向外負荷和軸承內(nèi)部軸向力)的合力指向，確定“壓緊”軸承和“放松”軸承；

6) “壓緊”軸承所受軸向力等于除本身內(nèi)部軸向力以外的其他所有軸向負荷的代數(shù)和(即另一個軸承的內(nèi)部軸向力與外負荷的代數(shù)和)；

7) “放松”軸承所受軸向力等于軸承自身的內(nèi)部軸向力。

c) 止推軸承承受軸上所有軸向載荷。

在后續(xù)的程序開發(fā)過程中，將直接引用文獻中的有關計算式。

2 軸承發(fā)熱量計算

2.1 中低速軸承發(fā)熱量計算

中低速軸承的發(fā)熱量采用功率損失模型進行計算[9]，功率H由力矩M和角速度ω決定，其關系式為：

H=0.001 M·ω=1.047×10-4M·n

式中：n為轉(zhuǎn)速，單位r/min。

Palmgren通過試驗總結得到中低速球軸承摩擦力矩計算式[12]如下：

式中：Ml為由載荷引起的摩擦力矩；Mv為由潤滑劑粘性引起的摩擦力矩；f1是一個與軸承結構和載荷有關的系數(shù)，P1取決于軸承載荷的大小和方向，它們的計算方法可以從文獻[9] 中的表格查得；dm為軸承節(jié)圓直徑；v為潤滑油運動粘度；f0是一個與軸承類型和潤滑方式有關的系數(shù)，其值也可以從文獻[9] 中的表格查得。

相較于球軸承，圓柱滾子軸承的摩擦力矩多出一項滾子端面和擋邊之間的摩擦力矩Mf。

Mf=ffFadm

式中：ff為端面和擋邊之間的摩擦系數(shù)；Fa為軸承軸向力。

2.2 高速軸承發(fā)熱量計算

對于高速球軸承，其發(fā)熱量用下式計算[10]：

對于高速圓柱滾子軸承，其發(fā)熱量用下式計算[10]：

式中各參數(shù)名稱匯總見表2。

表2 發(fā)熱量計算參數(shù)名稱匯總表

2.3 高速軸承判定

高速軸承的判定依據(jù)是軸承的DN值，如：

DN=di×n>0.6×106mm·r/min

或：

DN=dm×n>1.0×106mm·r/min

則該軸承為高速軸承。

式中：di為軸承內(nèi)徑，dm為軸承節(jié)圓直徑。

3 軸承受力發(fā)熱量一體化計算程序

程序開發(fā)總體思路如圖9所示。程序的輸入?yún)?shù)有傳動軸上齒輪軸承部件的幾何參數(shù)、位置參數(shù)、傳動軸-齒輪-軸承之間的拓撲關系以及齒輪的轉(zhuǎn)速和功率。程序根據(jù)部件類型標志識別各個部件，讀入?yún)?shù)后自動進行計算。

圖9 程序開發(fā)總體思路簡圖

程序分為3個功能模塊，如圖10所示。3個功能模塊之間相互不獨立，齒輪與軸承的受力計算存在邏輯先后關系，齒輪受力計算完成后，其結果是軸承受力計算的輸入，軸承受力計算結果是軸承發(fā)熱量計算的輸入，各功能模塊輸入輸出關系如圖11所示。

圖10 程序功能模塊示意圖

圖11 功能模塊輸入輸出示意圖

程序編譯并鏈接成功后生成控制臺程序即運行軟件。使用時，導入齒輪、軸承參數(shù)輸入文件，程序自動進行軸承受力與發(fā)熱量計算，計算完成后輸出結果文件。

4 軸承受力發(fā)熱量一體化計算

某型航空發(fā)動機的某齒輪傳動腔室的傳動系統(tǒng)簡圖如圖12所示，現(xiàn)計算額定轉(zhuǎn)速工況下各軸承的受力和發(fā)熱量。

圖12 腔室傳動系統(tǒng)簡圖

該傳動系統(tǒng)總共5個軸承，3個齒輪，形成2個齒輪副，拓撲關系如圖13所示。

圖13 傳動系統(tǒng)拓撲關系簡圖

4.1 齒輪輸入?yún)?shù)

齒輪輸入?yún)?shù)匯總見表3。

表3 齒輪輸入?yún)?shù)匯總表

4.2 軸承輸入?yún)?shù)

軸承輸入?yún)?shù)匯總見表4。

表4 軸承輸入?yún)?shù)匯總表

4.3 計算結果

軸承所受徑向力和軸向力計算結果分別匯總見表5和表6。

表5 軸承徑向力計算結果匯總表 N

表6 軸承軸向力計算結果匯總表 N

由表可見：1) 整體來看，No3軸承受力最大，No5軸承受力最小；2) 軟件計算結果與實測值相差很小，最大誤差僅3.2%，表明程序采用的力學計算模型合理，計算結果可靠。

軸承發(fā)熱量計算結果如圖14所示。

圖14 軸承發(fā)熱量計算結果(單位：W)

從計算結果看：No1軸承發(fā)熱量最大，達到315.6W，No5軸承發(fā)熱量最小，為71.9W；No2、No3和No4軸承的發(fā)熱量接近。

對于其他工況條件，僅需更改齒輪輸入文件中的轉(zhuǎn)速和功率值即可快速計算得到各軸承的受力和發(fā)熱量。

5 結語

利用開發(fā)的航空發(fā)動機齒輪傳動系統(tǒng)軸承受力發(fā)熱一體化計算程序計算了某型航空發(fā)動機的某齒輪傳動腔室中的軸承受力和發(fā)熱量，所得主要結論如下：

1) 關于軸承受力，程序計算結果與實測值基本一致，表明程序采用的力學計算模型合理，計算結果可靠。

2) 額定轉(zhuǎn)速工況下，該傳動腔室中的No1軸承發(fā)熱量最大，達到315.6W，工作中需要特別注意對它的潤滑冷卻。