一、從六個(gè)方面看所謂連續(xù)復(fù)利的錯(cuò)誤

各種教材中關(guān)于連續(xù)復(fù)利的基本思路和敘述是[1-16]：

設(shè)本金為A0，年利率為r，則t年的本利和為

A(t)=A0(1+r)t

(1)

如果每年結(jié)算m次，每次計(jì)算利率為r/m，則有復(fù)利分期計(jì)算公式

Am(t)=A0(1+r/m)mt

(2)

令m→+∞，則得所謂連續(xù)復(fù)利計(jì)算公式

A(t)=A0ert

(3)

而把公式A=A0(1+r)t看作離散的、不連續(xù)的計(jì)算公式，一些書(shū)中還把這種方法用到了細(xì)胞分裂、樹(shù)木生長(zhǎng)、鐳的衰變、化學(xué)反應(yīng)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)等事物的計(jì)算上。

1988年北京科學(xué)出版社出版的遠(yuǎn)山啟的中文翻譯本《通俗數(shù)學(xué)》中對(duì)由(2)推導(dǎo)(3)說(shuō)，“當(dāng)還息的次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，其結(jié)果就是要在瞬間還利息。即連續(xù)的還利息的復(fù)利法。由此，數(shù)學(xué)家雅科布·伯努利(1654—1705)把它稱為“連續(xù)復(fù)利法””[2]，就是說(shuō)，這種所謂的連續(xù)復(fù)利計(jì)算存在有300多年了。

我們批駁連續(xù)復(fù)利的文章《關(guān)于所謂增長(zhǎng)率的連續(xù)計(jì)算問(wèn)題》1988年發(fā)表在《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)》上[13]，30年過(guò)去了，這種所謂連續(xù)復(fù)利計(jì)算仍廣泛存在于經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)[1,4,9]、工程經(jīng)濟(jì)學(xué)[6]、金融學(xué)[7,10]、財(cái)務(wù)管理[8]、衍生工具[11]等課程教材中，存在于b-s期權(quán)定價(jià)模型、資金流現(xiàn)值等公式的計(jì)算中，1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予了b-s期權(quán)定價(jià)模型的創(chuàng)立和發(fā)展者，b-s期權(quán)定價(jià)模型中關(guān)于連續(xù)復(fù)利的應(yīng)用自然就推進(jìn)了這種錯(cuò)誤的流傳，所以就更有必要對(duì)這種方法進(jìn)行一次全面的剖析。

(一)所謂的連續(xù)復(fù)利公式推導(dǎo)在數(shù)學(xué)上不成立

連續(xù)復(fù)利公式的推導(dǎo)在數(shù)學(xué)上是不存在的。

根據(jù)A(t)=A0(1+r)t，利用任何數(shù)學(xué)知識(shí)都不能推導(dǎo)出A(t)=A0ert。根據(jù)A(t)=A0(1+r)t推導(dǎo)出A(t)=A0ert，就是根據(jù)A=A0(1+r)t推導(dǎo)出A(t)=A0ert=A0[1+(er-1)]t，當(dāng)r=100%時(shí)，就是根據(jù)A(t)=A0(1+100%)t推導(dǎo)出A(t)=A0et100%=A0[1+(e-1)]t=A0(1+171.828%)t，這當(dāng)然是錯(cuò)誤的。

公式(2)中的r為名義年利率，一年計(jì)算兩次的半年期的名義年利率與一年計(jì)算四次的三個(gè)月期的名義年利率的含義是不同的，就是說(shuō)，一年內(nèi)計(jì)息次數(shù)變化，相應(yīng)的名義年利率的含義也在變化，所以，對(duì)(2)求極限的過(guò)程就是不斷改變r(jià)含義的過(guò)程，無(wú)論在社會(huì)科學(xué)還是自然科學(xué)中，在推導(dǎo)問(wèn)題的過(guò)程中變換概念含義都是不允許的。

總之，所謂的連續(xù)復(fù)利公式的推導(dǎo)在數(shù)學(xué)上不成立。

(二)所謂連續(xù)復(fù)利在計(jì)算復(fù)利上的構(gòu)成上是錯(cuò)誤的

從公式(1)到所謂復(fù)利分期計(jì)算公式(2)的推導(dǎo)表面上是一步，而人的思維過(guò)程實(shí)際上有四步，而且這四步都是含糊不清的、甚至是錯(cuò)誤的。

第一步：沒(méi)有說(shuō)公式(1)中的年利率r與資金連續(xù)增值規(guī)律有沒(méi)有關(guān)系，沒(méi)有說(shuō)公式(1)能長(zhǎng)期廣泛應(yīng)用是否有合理性。明確的含義反而是，公式(1)用于利息計(jì)算不是連續(xù)的、是離散的；在不到一年的時(shí)間內(nèi)是不產(chǎn)生利息的或說(shuō)是不知道按什么規(guī)律產(chǎn)生利息，特別明確的含義是，公式(1)中的時(shí)間變量t不能取連續(xù)實(shí)數(shù)，公式(1)中的年利率r不是資金隨時(shí)間連續(xù)“利生利”的結(jié)果。

第二步：將一年分成m次計(jì)算，每經(jīng)過(guò)1個(gè)1/m年資金總額都有一個(gè)增加了的值，m是任意整數(shù)，當(dāng)m=365時(shí)，就說(shuō)明了資金總額每天都在增長(zhǎng)，當(dāng)m=365×24×60×60時(shí)，就說(shuō)明資金總額分分秒秒都在增長(zhǎng)，實(shí)際上這就已經(jīng)把利息隨時(shí)間增長(zhǎng)的計(jì)算連續(xù)化了，也只有在資金連續(xù)增值時(shí)，這種分期計(jì)算才可以進(jìn)行，這就是毫無(wú)根據(jù)地、不知不覺(jué)中將離散的、不連續(xù)的公式(1)變成了資金總額或利息是連續(xù)增長(zhǎng)的了。

第三步：每次計(jì)算的利率取為r/m，這是按利率與時(shí)間成正比計(jì)算，是一種單利思維，這就是在將一年內(nèi)利息的離散計(jì)算變成連續(xù)計(jì)算的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步改變成了按單利方式連續(xù)增長(zhǎng)，這無(wú)疑又是一步錯(cuò)誤思維。

第四步：將離散的、不連續(xù)的(1)式無(wú)根據(jù)地改變成按單利方法增長(zhǎng)后，實(shí)際是在1/m年按單利計(jì)算一次得出Am(1/m)=A0(1+r/m)后就又想起來(lái)了“利生利”，按復(fù)利計(jì)算，一年計(jì)算m次，一年后的資金總量就是Am(1)=A0(1+r/m)m，t年計(jì)算mt次，這就構(gòu)成了所謂的復(fù)利分期計(jì)算公式Am(t)=A0(1+r/m)mt，這是又一步的混亂思維。

在構(gòu)成(2)式四步思維中，每一步的思維都是混亂甚至錯(cuò)誤的，連續(xù)復(fù)利公式(3)就是在這樣混亂、錯(cuò)誤的基礎(chǔ)上構(gòu)成的，所以，連續(xù)復(fù)利公式(3)是不可能正確的。

(三)所謂的連續(xù)復(fù)利公式的推導(dǎo)在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中不存在

例如，2017年秋中國(guó)銀行儲(chǔ)蓄，一年期儲(chǔ)蓄的年利率是0.0175，半年期的(名義)年利率是0.0155，三個(gè)月期的(名義)年利率是0.0135，名義年利率rm隨一年中的計(jì)息次數(shù)m增加而減小，符合銀行儲(chǔ)蓄實(shí)際應(yīng)用的這一公式不是(2)式，而是

Am=A0(1+rm/m)mt

(4)

在其它資金借貸涉及利息計(jì)算的工作中，借用期長(zhǎng)短，利率的多少，計(jì)息方法都是出借方和借入方事先同意的，改變利率、改變資金的借用期、改變利率的計(jì)算方法必須經(jīng)雙方同意。在資金使用權(quán)轉(zhuǎn)讓期間即時(shí)雙方同意調(diào)整一下利率，由(1)到(2)式這種推導(dǎo)也不存在特別的用處，(2)式表達(dá)的數(shù)值隨m增大而增大，由(1)推到(2)式的計(jì)算為資金的出借方提高了收入，一般來(lái)講，借入方是不會(huì)同意的，這種從(1)式到(2)式的計(jì)算在銀行儲(chǔ)蓄外的其它基本的生活實(shí)際中是不存在的。

在銀行儲(chǔ)蓄中，在基本的借貸關(guān)系中，由(1)式到(2)式這種計(jì)算都是不存在的，由(2)式推導(dǎo)連續(xù)復(fù)利公式(3)的含義也就必定不存在。

(四)普通利率本身就是資金連續(xù)地復(fù)利的結(jié)果

時(shí)間變量t以年為單位，復(fù)利公式A(t)=A0(1+r)t中的r本身就是資金隨時(shí)間連續(xù)不斷地“利生利”的結(jié)果。張家開(kāi)了一個(gè)商店，共用資金500000元，其中有李家出的資金100000元，年末算賬，除去管理、勞務(wù)、稅收等各項(xiàng)開(kāi)支外折合資金結(jié)余550000元，就是說(shuō)資金增值是50000元，張家說(shuō)給李家10%的利息，也就是一次還李家本息共110000元，這當(dāng)然是可以的。如果張家1月末還李家本息，總額很難說(shuō)超過(guò)101000元；如6個(gè)月末還你本息，總額未必能到105000元，李家在年末得到利息率10%就是資金在一年內(nèi)不斷被反復(fù)使用、不斷增值、不斷連續(xù)地“利生利”的結(jié)果，是每秒都在以比率0.00000030225%增值，不斷連續(xù)地“利生利”(1+0.0000003022%)365×24×60×60=1+10%的結(jié)果。如果沒(méi)有資金每分每秒的連續(xù)增值，也就不會(huì)有最終的年增值率10%，如再用所謂連續(xù)復(fù)利公式A(t)=A0ert將本利和計(jì)算成100000e0.1×1=110517元，將年利率10%改變?yōu)?0.517%，這當(dāng)然是錯(cuò)誤的。

(五)是否能進(jìn)行連續(xù)計(jì)算取決于事物本身特性而非數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式

設(shè)某林場(chǎng)有10000立方米的林材，樹(shù)木呈指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)，每年林材增加10%，根據(jù)A(t)=10000(1+10%)t=10000etln(1+10%)計(jì)算得這林場(chǎng)1年末的林材是11000立方米，3年末的林材是13310立方米。而用所謂連續(xù)計(jì)算公式A(t)=10000e0.1t計(jì)算得1年末是A(1)=10000e0.1×1=11051.7立方米，3年末是A(3)=10000e0.1×3=13498.6立方米，這當(dāng)然是錯(cuò)誤的；設(shè)某校今年招生10000人，今后每年招生人數(shù)增加10%，隨后第一年的招生數(shù)就是A(1)=10000(1+10%)1=10000e1×ln(1+10%)=11000人，第三年的招生數(shù)就是A(3)=10000(1+10%)3=10000et×ln(1+10%)=13310人，和前面樹(shù)木增長(zhǎng)問(wèn)題計(jì)算方法和結(jié)果完全一樣。樹(shù)木是連續(xù)增長(zhǎng)的，學(xué)校招生數(shù)不是隨時(shí)間連續(xù)增長(zhǎng)的，學(xué)校招生數(shù)只能是按年計(jì)算。這里計(jì)算樹(shù)木生長(zhǎng)問(wèn)題和學(xué)校招生數(shù)的問(wèn)題根本不需要分連續(xù)計(jì)算和不連續(xù)計(jì)算。

是否能進(jìn)行連續(xù)計(jì)算是由事物本身特性決定的。對(duì)如上的林材生長(zhǎng)問(wèn)題，根據(jù)需要我們可計(jì)算0.7年時(shí)的林材量為A(0.7)=10000(1+10%)0.7=10000e0.7×ln(1+10%)=10689.9立方米，但我們不需要，也不能計(jì)算今后0.7年時(shí)那所學(xué)校的招生人數(shù)。

在利息類問(wèn)題的計(jì)算中，是否能進(jìn)行連續(xù)計(jì)算取決于具體不同情況下的約定或不同情況下的需要，應(yīng)用公式A(t)=A0(1+r)t=A0etln(1+r)可選擇時(shí)間變量t取連續(xù)實(shí)數(shù)或整數(shù)。一般資金總額是隨時(shí)間呈指數(shù)函數(shù)A(t)=A0(1+r)t=A0etln(1+r)增值的，當(dāng)知道年利率r后，可用A(t)=A0(1+r)t計(jì)算1年、2年后的資金總額。在期權(quán)定價(jià)問(wèn)題中，給出年利率r后，還要考慮到如6個(gè)月、8個(gè)月時(shí)資金的價(jià)值，這就當(dāng)是利用A(t)=A0(1+r)t進(jìn)行連續(xù)計(jì)算的問(wèn)題了，時(shí)間變量t就需要取連續(xù)實(shí)數(shù)；在銀行存款采用一年定期的儲(chǔ)蓄方式時(shí)，應(yīng)用A(t)=A0(1+r)t計(jì)算t年后的本利和，t就只能取自然數(shù)。

(六)所謂的連續(xù)復(fù)利的推導(dǎo)并未實(shí)現(xiàn)連續(xù)計(jì)算復(fù)利

我們注意，(1)式A(t)=A0(1+r)t是不連續(xù)計(jì)算公式，是所謂離散的計(jì)算公式，(1)式中的t只取整數(shù)，但從(1)式到(2)Am(t)=A0(1+r/m)mt式，再到(3)A(t)=A0ert的推導(dǎo)中，只是把一年中的計(jì)息次數(shù)m看作變量，其余的量都沒(méi)有變，就是說(shuō)，其余字母A0、r、t都是作常數(shù)考慮的，從(1)式到(2)式，再到(3)的推導(dǎo)中，一點(diǎn)也沒(méi)有改變時(shí)間變量t的屬性，也就是說(shuō)，在(1)式、(2)式和(3)中t都只取整數(shù)，在(3)式中中A(t)=A0ert，時(shí)間變量t只取整數(shù)，即這種推導(dǎo)并未證明出t可取任意實(shí)數(shù)，沒(méi)有達(dá)到所謂連續(xù)計(jì)算復(fù)利的目標(biāo)。

二、錯(cuò)誤的連續(xù)復(fù)利能長(zhǎng)期存在的原因

(一)思維脫離實(shí)際當(dāng)是錯(cuò)誤的連續(xù)復(fù)利能長(zhǎng)期存在的一個(gè)原因。在此僅舉一例：

在講述由公式(1)到公式(3)的推導(dǎo)過(guò)程中，極少有教材講其應(yīng)用背景，2007年清華大學(xué)出版社出版的一本《金融學(xué)》中以APR表示分期計(jì)算的名義年利率，以EFF表示有效年利率，給出二者有如下關(guān)系：

1+EFF=(1+APR/m)m

然后以銀行提供A、B、C三個(gè)貸款產(chǎn)品的例子接著的敘述是：

表5-1 年度百分率(APR)與有效年利率(EFF)

“運(yùn)用上述公式，我們計(jì)算A、B、C三個(gè)貸款產(chǎn)品的有效年利率。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表5-1。從表5-1中我們看到，C產(chǎn)品的有效年利率最低，即該種貸款對(duì)借款人而言成本最低，所以應(yīng)當(dāng)選擇C產(chǎn)品。

當(dāng)每年計(jì)息次數(shù)m趨向于無(wú)窮大時(shí)，即連續(xù)不斷地進(jìn)行復(fù)利時(shí)(連續(xù)金融概念)，有：

(5-6)”[7]。

這里存在的問(wèn)題，一是1+EFF=(1+APR/m)m中分期計(jì)算的名義年利率APR的是不是隨一年中的計(jì)算次數(shù)m變化？如果不變，則表5-1的應(yīng)用舉例與這個(gè)公式不符；如果變化，則這個(gè)公式與推導(dǎo)連續(xù)復(fù)利公式(3)的(2)式Am(t)=A0(1+r/m)m不符。所謂復(fù)利分期計(jì)算公式(2)與表5-1 的應(yīng)用是脫離的：二是，銀行給出A、B、C三個(gè)貸款產(chǎn)品是針對(duì)了不同用款人的需要，人們?cè)谶x擇某種產(chǎn)品時(shí)，并不是把一年時(shí)間的有效年利率的大小作為唯一標(biāo)準(zhǔn)，還要考慮自己用款的時(shí)間。比如說(shuō)，張某需用6個(gè)月的貸款，就應(yīng)當(dāng)選擇B產(chǎn)品了。該書(shū)不分情況地認(rèn)為“應(yīng)當(dāng)選擇C產(chǎn)品”，也是一種脫離實(shí)際生活的思維。

(二)盲目崇信權(quán)威當(dāng)是錯(cuò)誤的連續(xù)復(fù)利能長(zhǎng)期存在的又一重要原因。

這種所謂連續(xù)復(fù)利計(jì)算由數(shù)學(xué)大家提出，在多門(mén)課程中流傳，也就產(chǎn)生了對(duì)這種連續(xù)復(fù)利的牽強(qiáng)的解釋和矛盾的應(yīng)用。

2009年化學(xué)工業(yè)出版社出版的《應(yīng)用數(shù)學(xué)》在推導(dǎo)出(3)時(shí)說(shuō)：

“采取連續(xù)復(fù)利，則t年后本息合計(jì)A(t)=A0ert

等式兩邊微分，得到dA(t)/dt=rA0ert=rA(t)

這表明利率連續(xù)復(fù)合時(shí)，總金額增長(zhǎng)速度和本金數(shù)額成正比”[9]。

實(shí)際上，只根據(jù)t取自然數(shù)的約定，從(1)式我們即可求得資金A(t)任何一年的增長(zhǎng)量為：

A(n+1)-A(n)=A0(1+r)n+1-A0(1+r)n=A0(1+r)n·(1+r)-A0(1+r)n=A0(1+r)n·(1+r-1)=A(n)·r

這就同樣有結(jié)論“總金額增長(zhǎng)速度和本金數(shù)額成正比”。 由于盲信連續(xù)復(fù)利的正確性，于是就產(chǎn)生了對(duì)這種連續(xù)復(fù)利意義特別牽強(qiáng)的解釋。

2011年中國(guó)人民大學(xué)出版社出版的《微積分教程》中有例題：

“設(shè)今年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值為A0，又設(shè)年平均增長(zhǎng)率為10%，求10年后的國(guó)民生產(chǎn)總值A(chǔ)。

解 由于國(guó)民生產(chǎn)總值不是到年底才增長(zhǎng)，而是每日每時(shí)增長(zhǎng)的，因此有A=A0ert，

本例中，r=0.1，t=10，故

A=A0e0.1×10=A0e=2.7183A0

即10年后的國(guó)民生產(chǎn)總值為今年的2.7183倍，若按公式A=A0(1+r)t，計(jì)算，則A=2.593A0，這個(gè)結(jié)果不如上面的結(jié)果精確?！盵12]

這實(shí)際上是一道中小學(xué)的數(shù)學(xué)題，答案只能有A0(1+10%)10=2.5937A0，得出任何與此不同的答案都是錯(cuò)誤的。這里的例題給的答案與極限的應(yīng)用矛盾，與中小學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)矛盾，產(chǎn)生這錯(cuò)誤的原因也當(dāng)是盲信權(quán)威、盲信所謂連續(xù)復(fù)利法的結(jié)果。

三、結(jié)論

(一)不論是對(duì)連續(xù)計(jì)算問(wèn)題還是不連續(xù)計(jì)算問(wèn)題，對(duì)于呈指數(shù)函數(shù)變化的量都可用A(t)=A0(1+r)t=A0etln(1+r)計(jì)算。A(t)=A0(1+r)t與A(t)=A0eat=A0etln(1+r)等價(jià)。

由(1)推導(dǎo)(2)再到(3)這種連續(xù)復(fù)利計(jì)算是錯(cuò)誤的，國(guó)內(nèi)外教材中關(guān)于它的解釋都是錯(cuò)誤的。A(t)=A0(1+r)t與A(t)=A0ert是不等的指數(shù)函數(shù)，用任何知識(shí)都不能從一個(gè)推出另一個(gè)。

(二) 對(duì)于國(guó)民經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)問(wèn)題，有時(shí)需要計(jì)算例如0.5年、0.8年的國(guó)民經(jīng)濟(jì)量，這時(shí)的時(shí)間變量取非整數(shù)值；計(jì)算隨時(shí)間連續(xù)產(chǎn)生的資金流的現(xiàn)值或終值，需要計(jì)算資金連續(xù)的復(fù)利，這時(shí)時(shí)間變量要取連續(xù)實(shí)數(shù)；期權(quán)定價(jià)類問(wèn)題中，也常常要計(jì)算資金在幾個(gè)月內(nèi)增值的情況，這時(shí)，時(shí)間變量要取非整數(shù)值。這些計(jì)算中，當(dāng)給出年利率或年增長(zhǎng)率后，不論是單獨(dú)計(jì)算，還是作為構(gòu)成其它公式、模型的基礎(chǔ)，都只能用公式A(t)=A0(1+r)t計(jì)算，用另外的所謂連續(xù)復(fù)利公式A(t)=A0ert計(jì)算都是錯(cuò)誤的。在b-s期權(quán)定價(jià)模型中也用到這種連續(xù)復(fù)利[15]，因創(chuàng)立和發(fā)展了b-s期權(quán)定價(jià)模型，1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予了羅伯特·莫頓和邁倫·斯科爾斯，這說(shuō)明，1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)評(píng)委會(huì)沒(méi)有看到這種連續(xù)復(fù)利構(gòu)成的錯(cuò)誤，這種連續(xù)復(fù)利的錯(cuò)誤也就隨著b-s期權(quán)定價(jià)模型的廣泛使用而更廣泛的流傳了。

總之，根據(jù)(1)得到(2)式，再推導(dǎo)出(3)式這種連續(xù)復(fù)利的講法和用法都是錯(cuò)誤的，這一錯(cuò)誤流傳時(shí)間很久了。

(河北廣播電視大學(xué)，河北 石家莊 050071)