趙 寶 娟

(天津大學(xué) 理學(xué)院，天津 300072)

1 引 言

近年來(lái)，由于捕食模型的廣泛應(yīng)用，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了廣泛的研究.通過(guò)不斷的改進(jìn)模型，使其更加符合實(shí)際意義.在某些生態(tài)系統(tǒng)中，種群間的相互影響起著重要的作用.因此本文考慮了如下的捕食-食餌模型：

(1)

Ω是RN中的有界區(qū)域，且具有光滑的邊界?Ω，u(x,t)≥0,v(x,t)≥0分別表示捕食者和食餌的種群密度，其中t≥0，d為轉(zhuǎn)化系數(shù)a，b，c，m1，m2均為正常數(shù)，d1，d2，d3為擴(kuò)散系數(shù)，均為正常數(shù)，d3為非負(fù)常數(shù).a，b，c都有一定的生物意義.

式(1)對(duì)應(yīng)的平衡態(tài)問(wèn)題是：

(2)

2 正解的先驗(yàn)估計(jì)

為了得到正解的先驗(yàn)估計(jì)，我們首先令U=(1+d2v)u，則式(2)可以等價(jià)的寫成

(3)

定理1 存在正常數(shù)G,H,使得式(3)的任何正解(U,v)一定滿足：U(x)≤G,v(x)≤H.

證明對(duì)式(3)第一個(gè)等式左邊乘U,第二個(gè)等式左乘v，然后在Ω上積分得：

(4)

(5)

立即得到(U,v)均是有上界的.

定理2[2]令D為一個(gè)正常數(shù)，當(dāng)d1,d3≥D時(shí)，存在正常數(shù)C*，使得式(3)的任何正解(U,v)滿足U(x),v(x)≥C*.

證明：假設(shè)U(x),v(x)沒(méi)有下界，則存在(d1,i,d2,i,d3,i)=(d1,d2,d3)，其中:d1,i,d3,i≥D,d2,i≥0使得式(3)對(duì)應(yīng)的正解列(Ui,vi)滿足minUi→0或者minvi→0,i→∞.由于(Ui,vi)滿足式(3)，將其帶入，并在Ω上積分得，

綜合以上三種情況完成了定理證明[3].

3 非常數(shù)正解的不存在性

設(shè)0=λ0<λ1≤λ2≤…≤λn≤…→∞是-Δ算子在Neumann邊界條件下的特征值，令

定理3 設(shè)D為一個(gè)正常數(shù)，ε為任意整數(shù)，如果d2>D，使得當(dāng)

時(shí)，式(3)沒(méi)有非常數(shù)正解.

其中:ζ∈(0,a),C0,C1,C為正常數(shù)，ε,γ為任意的正常數(shù)，

4 非常數(shù)正解的存在性

我們利用上面得到的先驗(yàn)估計(jì)和Leray-Schauder度理論來(lái)討論非常數(shù)正解的存在性.

定義算子F=[F1(W)F2(W)]T，其中W=[Uv]T

(6)

由Leray-Schauder度理論可知，若0不是式(6)的特征值,則

(7)

其中nμ是大于0的特征值μ的代數(shù)重?cái)?shù).

A=μ+

B=

C=

則式(3)的正解等價(jià)于F(U;1)的正解.由定理1和推論1可知，存在正常數(shù)M，使得

F(U;t)=0在上?Θ對(duì)所有的t∈[0,1]沒(méi)有正解，其中

deg(I-F(·，0),Θ,0)=deg(I-F(·，1),Θ,0)

由上述引理可知deg(I-F(·，t),Θ,0)=index(F(·，0),U*)=1

deg(I-G(·;1),Θ,0)=-1，矛盾.則(3)至少有一個(gè)非常數(shù)正解.

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