劉 峰，劉宣會

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

投資組合選擇模型研究的方法主要有2種: 一種是均值-方差分析，最終期望的收益最大而風(fēng)險(xiǎn)最小, 另一種是研究最優(yōu)投資組合消費(fèi)問題.進(jìn)行投資組合研究的主要目的是分散非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，而套期保值問題的研究是在投資組合研究的基礎(chǔ)上使對沖其系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)成為可能.未定權(quán)益的套期保值問題，是解決或有權(quán)益的出售者選擇什么樣的策略才能避免或盡可能降低因出售或有權(quán)益而在未來可能遭受的損失.

目前，最常用的選擇最優(yōu)套期保值策略的準(zhǔn)則有2種，一種是由Bouleau和Lamberton提出的風(fēng)險(xiǎn)最小準(zhǔn)則，另一種是由Folmer和Sondermann首次提出的均值一方差最優(yōu)準(zhǔn)則. 他們首先引入成本過程差的平方的條件期望作為風(fēng)險(xiǎn)度量，解決了折現(xiàn)價(jià)格為局部鞅的市場模型中的套期保值問題；Lars Schiefner[1]在不考慮交易費(fèi)用的情況下，把期末未定權(quán)益折現(xiàn)成現(xiàn)金流的形式，運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)最小化方法得到最優(yōu)套期保值策略；劉海龍等[2]在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從帶有隨機(jī)方差幾何布朗運(yùn)動的非完全市場的假設(shè)條件下, 應(yīng)用隨機(jī)微分對策方法, 研究與標(biāo)的資產(chǎn)有關(guān)的歐式期權(quán)的動態(tài)保值策略問題, 并證明該方法下得出的最優(yōu)動態(tài)保值策略與用Black-Scholes套期比表示的delta 套期保值策略是一致的.Lin[3]進(jìn)一步運(yùn)用LQ方法研究了隨機(jī)參數(shù)的連續(xù)時(shí)間均值-方差問題, 但其僅限于運(yùn)用LQ方法求解了投資組合的有效邊界, 并沒有考慮投資組合的套期保值問題.劉宣會等[4]將隨機(jī)LQ控制模型推廣到系統(tǒng)狀態(tài)為跳躍擴(kuò)散過程的隨機(jī)LQ控制問題, 然后運(yùn)用該框架對金融中未定權(quán)益的套期保值問題和均值-方差模型進(jìn)行了研究.王波等[5]研究了在一個(gè)時(shí)間連續(xù)的有交易的市場模型下, 美式未定權(quán)益的上、下套期保值的表達(dá)式, 并證明了上、下套期保值區(qū)間使所有無套利價(jià)格的集合.袁軍和楊成[6]在連續(xù)時(shí)間情形、不考慮交易費(fèi)用、市場無摩擦假設(shè), 以及套期保值準(zhǔn)則等條件下, 考察了參數(shù)隨機(jī)的證券投資組合中加入未定權(quán)益類衍生品形成的最優(yōu)動態(tài)投資策略, 并給出了該投資組合的最優(yōu)模型所對應(yīng)的黎卡提(Riccati)方程的解的存在性證明.

本文在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上研究了現(xiàn)實(shí)中當(dāng)出現(xiàn)重大信息時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從一跳躍擴(kuò)散過程時(shí)，運(yùn)用均值-方差準(zhǔn)則及倒向隨機(jī)微分方程研究套期保值問題，并得到最優(yōu)套期保值策略.

1 模 型

設(shè)金融市場中有2種證券，一種為風(fēng)險(xiǎn)證券(設(shè)為股票)，另一種為無風(fēng)險(xiǎn)證券(設(shè)為債券)；股票價(jià)格為P(t)，P(t)服從下列隨機(jī)微分方程：

(1)

債券價(jià)格為P0(t)，P0(t)服從下列方程：

(2)

其中：r(t)>0為無風(fēng)險(xiǎn)利率，μ(t)為股票收益率，σ(t)為波動率，W(t)為(Ω,F,P)上的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動，N(t)為(Ω,F,P)上具有強(qiáng)度λ(t)的Poisson過程，且W(t)與N(t)獨(dú)立.

為了討論問題方便只考慮金融市場只有一個(gè)股票和一個(gè)債券，對于多個(gè)股票的處理與上述情況無本質(zhì)性差異.

假設(shè)存在(A1)：

其中σ(t)可逆.

設(shè)投資者初始財(cái)富為X(0)=X0，π(t)表示t時(shí)刻投資者在股票上投資財(cái)富的市場價(jià)值，此時(shí)的財(cái)富過程為X(t)，那么

dX(t)=[r(t)X(t)+b(t)π(t)]dt+σ(t)π(t)dW(t)+π(t)φ(t)dN(t),

(3)

其中：b(t)=μ(t)-r(t).

設(shè)ζ為未定權(quán)益，我們尋找套期保值策略π(t)，使得J(X0:π(t))最小

(4)

2 模型求解

考慮下列BSDEs：

(5)

(6)

其中

命題2.1 假定存在(A1)，若BSDEs有惟一解(P(·),Λ(·)),(h(·),η(·))那么

(7)

是可容許策略.

設(shè)dN(t)=dM(t)+λ(t)dt，M(t)是鞅.

由伊藤公式，有

π(t)′φ(t)′π(t)]dM(t)

是鞅.對上述取期望得

另一方面，

合并前面方程，得

最后，由于σ(t)σ(t)′≥δI,λ(t)>0，得

把式(7)帶入財(cái)富公式(3)得

(8)

命題2.2 在命題2.1假設(shè)的條件下，SDE有惟一解x(·)，且

證明：我們構(gòu)造方程

由伊藤公式得，

p(t)(h(t)-x(t))2=p(0)(h(0)-x(0))2+

≤p(0)(h(0)-x(0))2+

因?yàn)閜(t)>δ,τi↑T,i→∞，由Fatou引理得

δE(h(t)-x(t))2≤Ep(t)(h(t)-x(t))2≤p(0)(h(0)-x(0))2+

因此，

下面證明命題2.1

命題2.3 假設(shè)(A1)存在，若DSDEs(5)、(6)有惟一解，(p(·)，Λ1(·)，Λ2(·))，(h(·),η1(·),η2(·)),則式(7)是惟一最優(yōu)控制策略，且

J*=p(0)(h(0)-x(0))2+

(9)

是隨機(jī)控制問題式(4)的最優(yōu)均值-方差套期保值策略.其中：

由伊藤公式得

dp(t)(h(t)-x(t))2=p(t)d(h(t)-x(t))2+(h(t)-x(t))2dp(t)+dp(t)d(h(t)-x(t))2

(10)

對上式在[0,T]積分并取期望，得

E(ζ-x(T))2=p(0)(h(0)-x(0))2+

上述結(jié)果與命題2.1一樣，由假設(shè)p(t)>0,σ(t)是非退化的.

3 結(jié) 語

本文考慮現(xiàn)實(shí)中有重大信息出現(xiàn)時(shí)，股票價(jià)格服從跳躍-擴(kuò)散過程時(shí)，研究了套期保值問題，應(yīng)用倒向隨機(jī)微分方程得到均值-方差準(zhǔn)則下套期保值問題的最優(yōu)套期保值策略.本文考慮了股票價(jià)格服從一般的跳躍-擴(kuò)散過程.對股票價(jià)格服從帶有馬爾科夫調(diào)制參數(shù)的跳躍-擴(kuò)散過程的情況，也可以建立模型，并推導(dǎo)出該模型下的最優(yōu)套期保值策略，結(jié)果類似，但推導(dǎo)過程更加繁瑣.

參考文獻(xiàn)：

[1] LAMBERTON D, PHAM H, SCHWEIZER M. Local risk-minimization under transaction costs[J].Mathematics of Operations Research, 1998, 23(3): 585-612.

[2] 劉海龍, 吳沖鋒. 基于魯棒控制的期權(quán)套期保值策略[J].控制與決策, 2001, 16(6): 974-976.

[3] LIM A E B, ZHOU X Y. Mean-variance portfolio selection with random parameters inacomplete emarket[J].Mathematics of Operations Research, 2002, 27(1): 101-120.

[4] 劉宣會, 胡思建, 侯建榮. 證券組合優(yōu)化模型的隨機(jī)LQ控制框架[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2004, 31(2): 304-309.

[5] 王 波, 孟慶欣. 有交易費(fèi)的美式未定權(quán)益的套期保值[J].復(fù)旦學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2005, 44(3): 403-410.

[6] 袁 軍, 楊 成. LQ理論在參數(shù)隨機(jī)的證券投資組合套期保值中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識, 2008, 38(16): 33-37.

[7] LIM A E B. Quadratic hedging and mean-variance portfolio selection with random parameters in an incomplete market[J].Mathematics of Operations Research, 2004, 29(1): 132-161.