程亞麗， 王致杰， 江秀臣

(1. 上海電機學院 電氣學院，上海 201306； 2. 上海交通大學 電氣工程學院，上海 200240)

目前，對功率爬坡事件的研究主要集中于爬坡預測上[1]，而爬坡事件對電網(wǎng)產(chǎn)生的風險的研究很少，且只是對爬坡單一特征量進行分析[2]，已經(jīng)很難滿足對于極端氣候變化特征和電網(wǎng)風險管理的需求。因此，有必要對爬坡要素間的相互關系和聯(lián)合概率分布特征進行研究。Sklar[3]在1959年提出的Archimedean Copula函數(shù)，是一類將變量聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)連接在一起的函數(shù)，很好地描述變量之間的相關性并計算其聯(lián)合概率分布。聯(lián)合分布里包含了所有風險要素的信息，可以全面評估事件的風險大小，被廣泛地用于水文事件、干旱、沙塵暴等方面的多變量研究中[4-10]。文獻[11-13]把Copula理論運用到了金融市場的風險分析中，分析風險因子之間的相關性；文獻[14-16]結合Copula理論對投資組合風險進行度量，能夠更準確地度量投資組合的風險值。但是將此函數(shù)運用在風電場功率爬坡風險評估方面較少，本文利用Archimedean Copula函數(shù)多維聯(lián)合的靈活性，構建風電功率爬坡事件的二維聯(lián)合分布，建立了萊州風電場發(fā)生功率爬坡的概率模型，定量分析風電場發(fā)生功率爬坡的風險，為風電場功率爬坡風險評估研究提供新的思路。

1 風電場功率爬坡特征量的選取

在短時間內(nèi)風電功率的劇烈波動使得風力發(fā)電具有不確定性、間斷性和隨機性，這種現(xiàn)象被稱為風電功率爬坡事件，描述一個爬坡事件的主要特征量是確定的，包括爬坡幅值、爬坡方向、爬坡率、爬坡起止時間和持續(xù)時間，如圖1所示。爬坡幅值通常是在爬坡持續(xù)時間內(nèi)最大和最小功率的差值，爬坡方向用爬坡幅值的正負表示，正代表上爬坡事件，負代表下爬坡事件。

圖1 爬坡事件特征圖

由圖1可見，爬坡幅值越大，爬坡持續(xù)時間越短，則爬坡事件越嚴重。因此，選取爬坡幅值和爬坡持續(xù)時間這兩個特征量作為風電功率爬坡事件的主要特征量，建立二維聯(lián)合分布。

2 Archimedean Copula函數(shù)

Archimedean Copula函數(shù)主要包括Frank Copula、Clayton Copula和Gumbel Copula函數(shù)，本文選用3種二維Archimedean Copula函數(shù)進行爬坡特征量二維聯(lián)合，具體的分布函數(shù)及參數(shù)范圍如表1所示。

對于Archimedean Copula函數(shù)擬合度的檢驗方法通常采用離差平方和(Oridinary Least Square,OLS)準則法，采用文獻[5]中的OLS準則法公式。該函數(shù)參數(shù)擬合度優(yōu)劣的判斷依據(jù)是OLS越小，表明該Archimedean Copula與其經(jīng)驗點距的誤差越小，函數(shù)擬合程度越好。

表1 二維Archimedean Copula分布函數(shù)及參數(shù)范圍

表1中，u1，u2為Archimedean Copula函數(shù)中的兩個隨機變量。

3 基于Archimedean Copula函數(shù)的爬坡特征量聯(lián)合分布

3.1 爬坡特征量邊緣分布函數(shù)

通過對目前國內(nèi)外概率分布函數(shù)的研究，本文假定爬坡持續(xù)時間服從對數(shù)正態(tài)分布，風電功率爬坡幅值服從廣義極值分布，則相應的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)設計如下：

設隨機變量x的樣本點為x1,x2,…,xn，隨機變量指的是風電功率爬坡持續(xù)時間的實際數(shù)據(jù)，對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為

(1)

風電功率爬坡持續(xù)時間t的累積分布函數(shù)為

(2)

式中：μ為隨機變量的均值，也稱為位置參數(shù)；σ2為標準差，也稱為形狀參數(shù)。

極值分布是指在概率論中極大值(或者極小值)的概率分布，概率密度函數(shù)為

(3)

爬坡幅值ΔP的累積分布函數(shù)為

(4)

式中，α為尺度參數(shù)。

利用極大似然函數(shù)進行邊緣分布參數(shù)估計，爬坡持續(xù)時間的參數(shù)估計計算公式如下：

(5)

對式(5)兩邊取對數(shù)，得

(6)

根據(jù)式(6)建立似然函數(shù)組為

(7)

可得

式中：L(μ，σ2)為似然函數(shù)；ti為爬坡持續(xù)時間變量。爬坡幅值分布函數(shù)的參數(shù)估計按照式(5)～式(7)類推。

4 實例研究

本章算例采用的數(shù)據(jù)是2015年一年萊州風電場的實測數(shù)據(jù)，風力發(fā)電機組的輸出功率每15 min采樣一次，分別采用對數(shù)正態(tài)分布、廣義極值分布對爬坡持續(xù)時間和爬坡幅值進行擬合，利用極大似然法對各邊緣分布函數(shù)進行參數(shù)估計，并通過K-S法對各邊緣分布函數(shù)進行檢驗。采用Archimedean Copula函數(shù)構建風電功率爬坡幅值和爬坡持續(xù)時間的聯(lián)合概率分布模型，并根據(jù)OLS準則法最小原則，選取最合適的Archimedean Copula函數(shù)構建爬坡幅值和爬坡持續(xù)時間的聯(lián)合概率分布函數(shù)。

4.1 爬坡特征量擬合分布

運用極大似然法分別對爬坡持續(xù)時間、幅值的邊緣分布函數(shù)參數(shù)進行估計，結果如表2所示。利用K-S法對各分布函數(shù)進行檢驗，取K-S檢驗的顯著性水平α=0.05，當n=44時，查詢檢驗分位數(shù)表得到對應的分位點D0=0.200 56，當邊緣分布的檢驗統(tǒng)計量D<0.200 56時，表明K-S檢驗通過且擬合情況較好。爬坡幅值、持續(xù)時間的K-S檢驗的計算結果如表3所示，對數(shù)正態(tài)分布和廣義極值分布對于爬坡特征量的擬合檢驗值都通過了0.05的顯著性檢驗，說明上述兩種概率分布函數(shù)對于爬坡特征量的擬合效果較好。因此，選取廣義極值分布進行爬坡幅值邊緣分布的擬合，選取對數(shù)正態(tài)分布進行爬坡持續(xù)時間邊緣分布的擬合。

表2 邊緣分布函數(shù)的參數(shù)值

表3 爬坡特征變量的K-S檢驗

4.2 爬坡特征量二維聯(lián)合分布

對爬坡特征量中的爬坡持續(xù)時間和爬坡幅值構建Archimedean Copula函數(shù)二維聯(lián)合分布，利用式(5) ～式(7) 進行參數(shù)估計，采用表1中的函數(shù)公式進行二維擬合，通過OLS準則法進行優(yōu)度檢驗，相關參數(shù)及檢驗值見表4。

表4 分布函數(shù)參數(shù)及檢驗值

從表4中可見，從K-S檢驗統(tǒng)計量D值分析，3種Archimedean Copula聯(lián)合函數(shù)的D值都小于臨界值0.200 56。因此，3種函數(shù)都可以構建萊州風電場爬坡持續(xù)時間與爬坡幅值的聯(lián)合分布模型；從擬合優(yōu)度的評價指標分析，Clayton Copula函數(shù)構建的聯(lián)合分布模型的OLS值最小，擬合效果最優(yōu)。因此，選取Clayton Copula函數(shù)模型為萊州風電場爬坡持續(xù)時間與爬坡幅值的聯(lián)合分布模型。

為了進一步驗證擬合效果的優(yōu)劣，利用Matlab軟件對萊州風電場爬坡持續(xù)時間與爬坡幅值的數(shù)據(jù)編程，F(xiàn)rank Copula函數(shù)可以很好地描述對稱的相關關系，以Frank Copula函數(shù)為例，運用Matlab求Frank Copula函數(shù)參數(shù)程序如下。

?

調(diào)用copulafit函數(shù)估計二元Frank Copula中的參數(shù)

rho_norm = copulafit('Frank',[U(:), V(:)])

[Udata,Vdata] = meshgrid(linspace(0,1,31));

Cpdf_norm = copulapdf('Frank',[Udata(:), Vdata(:)],rho_norm);

Ccdf_t = copulacdf('t',[Udata(:), Vdata(:)],rho_t,nuhat);

繪制二元Frank Copula的密度函數(shù)圖

figure;

surf(Udata,Vdata,reshape(Cpdf_norm,size(Udata)));

xlabel('爬坡持續(xù)時間');

ylabel('爬坡幅值');

zlabel('二元Frank Copula密度函數(shù))');

?

通過Matlab仿真，得到爬坡持續(xù)時間與爬坡幅值的概率密度分布圖如圖2～4所示。Frank Copula函數(shù)具有對稱性，尾部很厚，可用于描述具有對稱的相關關系(見圖2)。由于風電場發(fā)生嚴重爬坡事件和一般爬坡事件時不具有對稱性，因此該函數(shù)不能很好地描述風電場功率爬坡嚴重事件引起的風險。Gumbel Copula函數(shù)分布似“J”形，擁有較厚的上尾部特征，上尾部特征是描述變量間同時出現(xiàn)大的變化的概率(見圖3)。風電功率爬坡特征量的Gumbel Copula函數(shù)上尾部特征突出，不能很好地描述風電場中爬坡幅值較大且爬坡持續(xù)時間較短的極端爬坡事件。Clayton Copula不具有對稱性，分布似“L”形，具有較厚的下尾部特征(見圖4)。風電功率爬坡特征量的Clayton Copula函數(shù)具有很好的下尾部特征，能較好地描述極端爬坡事件小概率發(fā)生的現(xiàn)象，從而可以分析極端事件引起的損失。

圖2 Frank Copula函數(shù)的爬坡幅值和爬坡持續(xù)時間概率密度分布

圖3 Gumbel Copula函數(shù)的爬坡幅值和爬坡持續(xù)時間累計概率分布

圖4 Clayton Copula函數(shù)的爬坡幅值和爬坡持續(xù)時間概率密度分布

根據(jù)上述分析可知，可用Clayton Copula函數(shù)描述萊州風電場功率爬坡幅值和爬坡持續(xù)時間的聯(lián)合分布，表達式如下：

FΔP,t=Cu1,u2=

(8)

萊州風電場功率爬坡幅值和爬坡持續(xù)時間的聯(lián)合分布概率計算模型如下：

F(ΔP1? ΔP? ΔP2,t1?t?t2)=

F(ΔP2t2)-F(ΔP2,t1)-F(ΔP1,t2)+

F(ΔP1,t1)

(9)

該模型同時包含了爬坡幅值和爬坡持續(xù)時間信息，可準確地計算爬坡事件發(fā)生的概率，能定量分析風電功率爬坡事件的風險評估，方便調(diào)度人員更好地做出調(diào)度策略，減少風險引起的損失。

5 結 語

選取了風電功率爬坡事件的爬坡持續(xù)時間和爬坡幅值兩個特征量，對其采用對數(shù)正態(tài)分布和廣義極值分布進行邊緣分布擬合，并在建立風電功率爬坡幅值和爬坡持續(xù)時間邊緣分布模型中，推導了利用極大似然法進行參數(shù)估計的過程，最后采用K-S檢驗法對擬合優(yōu)度檢驗。在此基礎上，根據(jù)3種Archimedean Copula函數(shù)模型的表達式建立了爬坡幅值和爬坡持續(xù)時間的二維聯(lián)合分布函數(shù)，并采用OLS準則法作為擬合優(yōu)度的評價指標，確定了Clayton Copula模型作為萊州風電場爬坡事件概率計算模型，從而定量地分析風電場功率爬坡的風險。本文為風電場功率爬坡風險評估方面提供一定的理論依據(jù)和支撐，拓展了Copula理論的應用前景。