杜曉彬，黃開勝，譚耿銳，黃 信

(廣東工業(yè)大學(xué)，廣州510006)

0 引言

外轉(zhuǎn)子永磁同步電機與傳統(tǒng)的內(nèi)轉(zhuǎn)子電機在結(jié)構(gòu)上相反，該結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)子在外圍，而定子與轉(zhuǎn)軸在內(nèi)，有利于風(fēng)機的輪轂、風(fēng)葉等部件方便地安裝在轉(zhuǎn)子上，每極能產(chǎn)生較大的磁通，轉(zhuǎn)矩密度較高，且定子的槽口向外，電樞繞組的繞制也較內(nèi)轉(zhuǎn)子電機要簡單，適用于機械繞制。由于外轉(zhuǎn)子永磁電機擁有質(zhì)量和體積較小、效率高、結(jié)構(gòu)簡單、安裝維護方便的特點，被廣泛應(yīng)用于管道通風(fēng)，壓縮制冷、凈化空調(diào)等方面［1－3］。

然而，在外轉(zhuǎn)子永磁同步電機中，由于定子槽與磁鋼的相互作用，導(dǎo)致電機內(nèi)磁場儲能的變化，不可避免會產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩，影響了空載氣隙磁場波形的正弦性，導(dǎo)致電機的輸出轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生波動，引起電機振動和噪聲［4－5］。故在電機設(shè)計過程中，削弱齒槽轉(zhuǎn)矩是很有必要的，一直以來也是國內(nèi)外專家學(xué)者研究的熱點之一。

通過在電機定子上開輔助槽的方式來抑制齒槽轉(zhuǎn)矩是一種簡單可行的方法，其效果相當于增加了定子槽數(shù)，從而改變了極槽配合，選擇合適的輔助槽個數(shù)、槽口寬度、深度以及輔助槽位置可以有效地抑制齒槽轉(zhuǎn)矩［6－10］。傳統(tǒng)的研究方法是通過單變量實驗的方法來研究，即在輔助槽個數(shù)、槽口寬度、深度以及輔助槽位置四個影響輔助槽的變量中，固定三個變量，選取其中一個變量，采用不同的步長進行實驗，研究單一變量與齒槽轉(zhuǎn)矩的關(guān)系，從而確定最優(yōu)的單一變量取值，并用同樣的方法逐步確定其他變量。由于該種方法實驗次數(shù)比較多，且實驗時不能考慮各個變量之間的交互作用，本文采用響應(yīng)面法(以下簡稱RSM)與粒子群(以下簡稱PSO)算法相結(jié)合的方式進行研究。通過Box－Behnken設(shè)計安排不同因素變量水平的實驗組合，利用有限元軟件仿真得到不同組合下的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值，采用多維二次模型進行擬合，得到響應(yīng)函數(shù)，并分析了變量之間的交互作用。將響應(yīng)函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)，通過PSO模型求取最優(yōu)組合，結(jié)果表明，通過RSM－PSO模型的方法，能有效抑制確定最優(yōu)輔助槽參數(shù)，從而達到抑制齒槽轉(zhuǎn)矩的目的。

1 基于輔助槽的永磁電機齒槽轉(zhuǎn)矩分析

1．1 外轉(zhuǎn)子永磁同步電機齒槽轉(zhuǎn)矩表達式

根據(jù)表貼式外轉(zhuǎn)子永磁同步電機運行原理，在電機中，假設(shè)定子鐵心磁導(dǎo)率無窮大，永磁材料的磁導(dǎo)率等于空氣磁導(dǎo)率，不考慮飽和情況，則當不斜槽時，齒槽轉(zhuǎn)矩的傅里葉表達式:

式中:z為電樞槽數(shù);La為鐵心長度;R1，R2分別為定子外徑、轉(zhuǎn)子內(nèi)徑的半徑，n為使nz/2p為整數(shù)的整數(shù)。其中，的傅里葉展開式系數(shù)表達式:

式中:θs0為用弧度表示的槽口寬;hm為磁鋼充磁方向長度;δ為有效氣隙長度。

1．2 定子齒冠開輔助槽削弱齒槽轉(zhuǎn)矩分析

當在定子齒冠上開輔助槽時，對于齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，相當于改變了電機的極槽配合，如果選擇合適的極槽配合，則可以有效地抑制齒槽轉(zhuǎn)矩。當定子齒冠開輔助槽時，假設(shè)電機的輔助槽槽口寬度與定子槽槽口寬度一樣，且均勻開槽，每個定子齒上開輔助槽個數(shù)為k，若k為偶數(shù)，則:

若每個定子齒上開輔助槽數(shù)k為奇數(shù)，則:

由式(3)、式(4)可以看出，當定子齒冠上開k個槽時，由于當n為k+1的倍數(shù)時，式(3)、式(4)中Gn都不為零，且Gn的值為不開槽時候的k+1倍;而當n不為k+1的倍數(shù)時，Gn為零。故極數(shù)和槽數(shù)的最大公約數(shù)Np=1時，放大的Gn總是對齒槽轉(zhuǎn)矩有影響。當Np≠1時，k的取值為k+1≠mNp時，m為整數(shù)，則被放大的Gk+1對齒槽轉(zhuǎn)矩沒有影響。對于本文的12槽10極外轉(zhuǎn)子電機，Np=2，則k的取值為0，2，4，6等值，當k為0時，為不開輔助槽的情況。

對于外轉(zhuǎn)子永磁同步電機，在定子齒冠表面開槽，涉及輔助槽的參數(shù)包括:輔助槽槽型、槽深、槽口寬度和輔助槽偏移齒冠中心線的角度。文獻［8－9］給出了單一輔助槽參數(shù)與永磁同步電機的齒槽轉(zhuǎn)矩之間的關(guān)系:對于輔助槽的槽型，矩形槽相較于半圓形槽和角形槽抑制齒槽轉(zhuǎn)矩的效果更好，故本文選取的槽型為矩形輔助槽。對于輔助槽的槽深，隨著槽深的增大，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值先下降，然后上升;對于輔助槽寬度，隨著輔助槽的槽寬增加，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值亦為先下降后上升;對于輔助槽偏移齒冠中心線的角度，在輔助槽位置關(guān)于齒冠中心線對稱的情況下，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值隨著偏移角度的增大而先下降后上升。由以上分析可以看出，與齒冠上開輔助槽時，單一參數(shù)的變化總是對齒槽轉(zhuǎn)矩抑制效果有影響，故應(yīng)選取合適的參數(shù)值，以達到抑制齒槽轉(zhuǎn)矩的效果最為明顯。

2 電機模型建立及響應(yīng)面分析

2．1 電機模型建立與齒槽轉(zhuǎn)矩仿真分析

本文采用12槽10極外轉(zhuǎn)子電機模型，其基本參數(shù)如表1所示。利用ANSYS Maxwell 2D建立有限元模型，模型如圖1所示。

表1 電機模型基本參數(shù)

圖1 優(yōu)化前電機有限元模型

利用有限元軟件對該模型齒槽轉(zhuǎn)矩進行仿真分析，為了提高仿真精確度，采用氣隙分層的方法，仿真得到的齒槽轉(zhuǎn)矩波形如圖2所示，可以看出齒槽轉(zhuǎn)矩幅值達到41．054 2 mN·m。本文將采用開輔助槽的方法來削弱齒槽轉(zhuǎn)矩，根據(jù)前面分析，12槽10極外轉(zhuǎn)子電機可以開槽的最低個數(shù)為k=2，即在每個定子齒冠上開兩個輔助槽，開槽方式如圖3所示，其中，b代表輔助槽槽口寬，h代表輔助槽槽深，θ代表輔助槽偏移齒冠中心線角度。為了不引進新的諧波，同一個齒冠上相鄰的兩個輔助槽保持關(guān)于齒冠中心線對稱。

圖2 優(yōu)化前電機齒槽轉(zhuǎn)矩波形圖

圖3 輔助槽深度、寬度和偏移角度

2．2 響應(yīng)面模型建立及回歸分析

響應(yīng)面法是根據(jù)合理的實驗設(shè)計方法，采用不同水平下各個因素的組合方式來進行實驗，并利用多維二次模型對響應(yīng)以及因素之間的函數(shù)關(guān)系進行擬合，以求得最優(yōu)解［11］。其中，三因素 Box－Behnken設(shè)計(以下簡稱BBD)將實驗點安排在立方體的中點上，如圖4所示，每個點代表著不同的因素組合。

圖4 BBD布點示意圖

本文采用的因素取值范圍:槽深 h=0．1～1．1mm;槽口寬度 b=1°～4°;偏移中心線角度 θ=3°～9°。由于偏移角度過小而槽口寬過大時會造成兩個相鄰的輔助槽重疊，故槽口寬宜采用角度來表示，以明顯區(qū)分兩個輔助槽不會重疊。其中，槽口寬b=1°為 2πD1/360°=0．767 5 mm ，D1為定子外徑。則不同因素的水平取值表如表2所示。采用有限元軟件進行分析各種水平組合下的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值Tcogm結(jié)果如表3所示。由于在有限元軟件ANSYS Maxwell 2D計算過程中采用自適應(yīng)剖分，即在計算過程中不斷根據(jù)計算結(jié)果進一步自動剖分，導(dǎo)致同樣參數(shù)下的電機模型的剖分與計算結(jié)果細微的差別，所以，實驗組13～17雖然因素水平一樣，但是結(jié)果會有細微不同。

表2 實驗因素水平表

表3 BBD實驗安排及有限元仿真結(jié)果

利用Design－Expert軟件對仿真結(jié)果數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析計算，采用多維二次模型對因素變量與響應(yīng)之間函數(shù)關(guān)系進行擬合，擬合響應(yīng)函數(shù):

式(5)中:b，h，θ為編碼變換后的數(shù)值，即其取值區(qū)間為［－1，1］。編碼變換后數(shù)值與實際數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系:

式中:xi為因素實際數(shù)值，為編碼變換后的數(shù)值。

為了對擬合的響應(yīng)函數(shù)進行評價，采用方差分析對模型進行評價，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?。方差分析表如?所示。由表4可知，模型的P檢驗值小于0.05，模型擬合程度較好，具有明顯的統(tǒng)計學(xué)意義。模型失擬值的P值大于0．1，表明實驗誤差較小，失擬項不顯著。由Design－Expert軟件分析計算得到的決定系數(shù) R2為 0．999 8，大于 0．9，說明因素變量與響應(yīng)之間的關(guān)系顯著，數(shù)據(jù)規(guī)律被模型較好地反映。

表4 Tcog擬合模型方差分析

2．3 響應(yīng)面模型交互作用分析

為了考察各個因素之間的交互作用，利用Design－Expert繪制3D圖如圖5～圖7所示。對于輔助槽槽寬b與槽深h兩個因素，其方差分析P值小于0.001，交互作用顯著。由圖5可知，當偏移角度為7．5°時，相較于槽寬，隨著槽深增加，響應(yīng)面變化的幅度更大，說明槽深對響應(yīng)值的影響更為顯著。隨著槽深增大，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值先下降后上升，在0．2～0．5 mm 之間取得最小值;隨著槽寬增大，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值同樣先下降后上升，在 1．2°～2．2°之間取得最小值。

圖5 輔助槽槽寬和槽深對齒槽轉(zhuǎn)矩影響

圖6 輔助槽偏移角度和槽深對齒槽轉(zhuǎn)矩影響

圖7 輔助槽偏移角度和槽寬對齒槽轉(zhuǎn)矩影響

對于偏移角度θ跟槽深h兩個因素，其方差分析P 值為0．019 3，小于0．05，交互作用顯著。由圖6可知，當槽寬b為2．82°時，相較于槽深，隨著偏移角度增加，響應(yīng)面變化的幅度更大，說明偏移角度對于響應(yīng)值的影響更為顯著。隨著偏移角度的增大，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值先是下降后上升，在5°～7°之間取得最小值。

對于偏移角度θ與槽寬b兩個因素，其方差分析P 值為0．017 8，小于0．05，交互作用顯著。由圖7可知，當槽深h為0．6 mm時，相較于槽寬，隨著偏移角度增加，響應(yīng)面變化的幅度更大，說明偏移角度對于響應(yīng)值的影響更為顯著。綜上所述，最優(yōu)的輔助槽參數(shù)取值范圍:槽深 h=0．2～0．5 mm;槽寬 b=1．2°～2．2°，偏移角度 θ=5°～7°。

3 PSO算法尋優(yōu)及有限元軟件仿真分析

為了得到最優(yōu)的輔助槽參數(shù)具體數(shù)值，本文采用PSO算法對模型進行尋優(yōu)，并采用式(5)響應(yīng)面函數(shù)作為算法的適應(yīng)度函數(shù)，最后利用有限元軟件對對求取的參數(shù)數(shù)值進行仿真驗算。

3．1 PSO算法尋優(yōu)過程

PSO算法是一種全局算法，其目標是以最大概率依據(jù)收斂條件收斂到全局最優(yōu)解［12］。

在算法運行過程中，每個粒子代表著數(shù)值解，有決定自身運動方向的位置和速度，并被適應(yīng)度函數(shù)所評價。其過程根據(jù)社會認知和個體認知，即個體極值點Pbest和全局極值點Gbest進行迭代，并最終收斂于多次迭代后的全局最優(yōu)極值點。粒子i在第k次的速度和位置的迭代公式如下:

式中:ω為慣性權(quán)重;c1，c2為加速度因子;r1，r2為［0，1］之間隨機數(shù)。

PSO算法流程如圖8所示。設(shè)置進化代數(shù)為50 代，種群規(guī)模為 80，加速度因子 c1，c2為 1．5，利用MATLAB計算分析，結(jié)果如圖9所示?？梢钥闯觯顑?yōu)的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值穩(wěn)定在6．510 7 mN·m，對應(yīng)的輔助槽參數(shù)組合:槽深 h=0．538 8;槽寬 b=0．495 3;偏移角度θ=0．022 4。將上面參數(shù)組合按照式(6)轉(zhuǎn)換為實際數(shù)值，槽深、槽寬以及偏移角度依次為0．330 6 mm，1．757 1°，6．067 1°。

圖8 PSO算法流程

圖9 PSO算法尋優(yōu)結(jié)果

3．2 有限元軟件仿真分析

利用有限元軟件ANSYS－Maxwell 2D建立模型，模型參數(shù)按照尋優(yōu)結(jié)果設(shè)置，輔助槽槽深度取值為 0．330 6 mm，槽寬取值為 1．757 1°，偏移角度取值為6．067 1°。仿真結(jié)果如圖10所示，可以看出，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值為6．962 4 mN·m，齒槽轉(zhuǎn)矩有明顯的下降，與PSO算法得出的結(jié)果基本一致。

圖10 優(yōu)化前與優(yōu)化后電機齒槽轉(zhuǎn)矩對比

4 結(jié)語

為削弱一款外轉(zhuǎn)子永磁同步電機的齒槽轉(zhuǎn)矩，提出通過定子齒冠開輔助槽并利用RSM－PSO模型對輔助槽進行設(shè)計的方法?；贐BD對輔助槽槽深、槽寬以及偏移角度3個因素進行實驗設(shè)計，通過有限元軟件對電機模型進行仿真分析，采用多維二次模型對實驗數(shù)據(jù)進行擬合，并通過方差分析對模型進行評價。采用PSO算法對擬合結(jié)果進行尋優(yōu)，并通過有限元軟件對結(jié)果分析驗證，結(jié)果表明，采用本文的方法能有效抑制齒槽轉(zhuǎn)矩。