彭 勇，劉世潔，DENNIS Z Yu

(1.重慶交通大學交通運輸學院，重慶400074；2.克拉克森大學商學院，波茨坦NY 13699，美國)

0 引言

車輛跟馳模型對于研究交通流特性、解決道路擁堵方面具有重要意義.隨著跟馳模型的提出和發(fā)展[1-2]，越來越多的學者從不同研究角度建立跟馳模型來展現(xiàn)交通流中諸如交通失穩(wěn)、時走時停、相變等非線性特性，為解決道路交通問題提供思路和方法.袁娜等[3]提出了一種多前車速度差的跟馳模型，在線性穩(wěn)定性分析中發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)多前車信息，交通流穩(wěn)定區(qū)域得到了明顯擴大.楊達[4]建立了一種考慮后車的車輛跟馳模型，并在模型的基礎(chǔ)上分析考慮后車的車輛跟馳行為特點.葛紅霞等[5]引入了反饋控制信息，建立了考慮當前車與前后方車輛之間的速度差的跟馳模型，并通過線性分析得到了小擾動不致堵的條件.孫棣華等[6]考慮非相鄰前車的速度差來提高道路交通流的穩(wěn)定性.Yu S.等[7]提出一種前車速度差跟馳模型，通過數(shù)值模擬證實了前車的速度差異對后車的運動效果顯著.以上學者在提高道路交通流穩(wěn)定性方面做出了許多智慧貢獻，有考慮跟馳車輛多前車影響，也有考慮跟馳車輛后車影響的跟馳模型，但是根據(jù)跟馳理論的傳遞特性，以及實際道路行駛經(jīng)驗，駕駛員會通過視野觀察前后車輛的行駛狀態(tài)調(diào)整自己的駕駛動作，保證跟馳車輛的甚至跟馳系統(tǒng)的穩(wěn)定性.基于此，本文建立了一種考慮駕駛員視野內(nèi)的前后多車影響的跟馳模型，對其穩(wěn)定條件進行了推導和驗證，并通過和經(jīng)典FVD模型的對比說明了改進模型對于穩(wěn)定道路交通流的優(yōu)越性.

1 模型建立

1.1 跟馳模型描述

FVD(Full Velocity Difference)跟馳模型，即全速度差跟馳模型，是文獻[2]提出的一種同時考慮正負速度差信息對跟馳車輛的影響，表達式為

式中：a是駕駛員反應(yīng)靈敏度系數(shù)；λ是相對速度的影響因子；vn(t)是跟馳車輛n在時刻t的速度；Δvn=vn+1-vn是跟馳車輛n同前n+1車在時刻t的速度差；V(?)是最優(yōu)速度函數(shù)，即根據(jù)車頭間距優(yōu)化出駕駛員期望的速度.

OVD(Optimal Velocity Difference)跟馳模型，即非鄰近速度差模型，是文獻[6]提出的一種采用非鄰近車輛的優(yōu)化速度差來優(yōu)化交通流的跟馳模型，表達式為

式中：r是跟馳駕駛員對非鄰近車輛的關(guān)注程度，并且0≤r＜0.5，當r=0時，退化為FVD 模型 ；VF(Δxn+2(t))-VF(Δxn(t))表示非鄰近車輛速度差.

前車速度差跟馳模型，是文獻[7]提出來的一種改進的跟馳模型，即通過考慮前導車的速度突變對道路交通流進行優(yōu)化，表達式為

式中：κ、λ和k是敏感度系數(shù)；vn+1(t)-vn+1(t-1)是前導車的速度變化.

雖然OVD和前車速度差模型都在一定程度上對FVD模型進行改進和創(chuàng)新，能夠較好地模擬真實交通環(huán)境中的車輛跟馳行為.但是它們無一例外地都接受了跟馳車輛只受位于它行駛方向前方的車輛影響的事實，即前導車的行駛狀態(tài)影響跟馳車輛的行駛.可是在實際道路行駛中，有經(jīng)驗的駕駛員往往會通過視野去觀察判斷位于跟馳車輛前后多輛車的狀態(tài)，而不是僅參考前車行駛狀態(tài).因此本文結(jié)合以上跟馳模型建立了考慮駕駛員前后多車影響的改進的跟馳模型.

1.2 考慮駕駛員前后多車影響的跟馳模型

設(shè)定車輛跟馳行駛的場景如圖1所示，假定駕駛員在行駛過程中，會根據(jù)視野內(nèi)的雙前車及后車的狀態(tài)采取加、減速的跟馳行為，來保證車輛的最優(yōu)行駛狀態(tài).因為隨著與跟馳車距離的變大，前方第3輛前導車對跟馳車的影響就已經(jīng)很小了[8]，因此本文研究僅考慮雙前車和后車對跟馳行為的影響.設(shè)在某一時刻t，位于單車道上的4輛車跟馳行駛，沿車輛行駛方向的車輛編號從前到后分別是n+2、n+1、n、n-1，t時刻各車輛的位置分別為xn+2(t)、xn+1(t)、xn(t)、xn-1(t)，行駛速度分別為vn+2(t)、vn+1(t)、vn(t)和vn-1(t).

圖1 跟馳場景圖Fig.1 Scene graph of car-following

綜合運用FVD、OVD和前車速度差模型建立的思想后，提出了新的考慮跟馳車輛雙前車和后車跟馳狀態(tài)對跟馳行為影響的跟馳模型為

式中：α、β、φ、σ、μ1、μ2分別為靈敏度系數(shù)；V(Δxn-1)為后視野后車的最優(yōu)車速；V(Δxn+1)-V(Δxn)為前視野雙前車的最優(yōu)速度差；Δan+1和Δan+2分別為第n+1和第n+2車在時刻t的加速度變化.當β=1，φ、μ1、μ2=0時，改進跟馳模型回歸為FVD模型.

模型中采用Bando[1]提出的最優(yōu)速度函數(shù)，即

式中：δ為常數(shù)項系數(shù)，取δ=1；hc為安全距離，取hc=5.

2 穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在受到瞬時擾動后，當干擾消除后能夠自行恢復到原來狀態(tài)的能力.在利用穩(wěn)定理論分析改進模型前，首先定義道路上車輛的初始穩(wěn)定狀態(tài)為：所有車輛均以車頭間距h0和速度V(h0)保持穩(wěn)定的勻速運動.此時關(guān)于第n輛車的位置就可以表示為

如果此時給整個系統(tǒng)施加一個小擾動yn(t)=eikn+θt，關(guān)于第n輛車的位置就會變化為

將式(6)代入式(7)中，得到

再將式(7)代入式(8)中，就得到了關(guān)于擾動yn(t)的改進模型表達式，即

式中：V′(h0)為V(x)在x=h0處的導數(shù).

將yn(t)=eikn+θt代入式(9)中，整理后得到關(guān)于θ的二元一次方程為

將θ展開為，代入式(10)中，得到

對式(11)進行整理并得到關(guān)于k的全部項為

整理化簡式(12)后，得到關(guān)于θ1的表達式為

再對式(11)進行整理得到關(guān)于k2的全部項為

整理化簡式(14)后，得到關(guān)于θ2的表達式為

將式(13)代入式(15)中，化簡得到

根據(jù)穩(wěn)定性原理，當θ2＞0時，交通系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，可以抵抗干擾；反之系統(tǒng)將變得不穩(wěn)定，任何小的干擾都可以擾亂交通系統(tǒng)的運行，即系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)為

所以模型中的穩(wěn)定條件為

當μ1=μ2=0.5，φ=0時

由此得到的穩(wěn)定性條件式(19)滿足文獻[4]提出的考慮后車跟馳模型的穩(wěn)定性通式，從而也驗證了文本提出的跟馳交通模型的準確性.

當β=1時，得到σ不同取值下的中位穩(wěn)定線，如圖2所示.由圖2可以看出，中位穩(wěn)定線呈現(xiàn)對稱分布，且隨著σ的不斷增大，中位穩(wěn)定線下方的不穩(wěn)定區(qū)域越來越小，上方的穩(wěn)定性區(qū)域也就越來越大.同時靈敏度α的增大也隨著σ增大，對于相同的跟馳間距，加速度越大越有利提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，能夠反映出車輛的加速性能對抑制交通擁堵的有利作用，是符合實際的.說明考慮前后車輛跟馳狀態(tài)對整個跟馳系統(tǒng)來說是有意義的，能在一定程度上維持道路交通系統(tǒng)的穩(wěn)定.

圖2 不同靈敏度σ的中位穩(wěn)定線圖Fig.2 Medium stable line with different sensitivity

根據(jù)FVD穩(wěn)定性條件：α=2V′(h0)-2ε，分別在σ=0.5和ε=0.2處得到改進模型同F(xiàn)VD模型的穩(wěn)定性對比圖，如圖3所示.不難看出，改進模型較FVD模型具有更大的穩(wěn)定性區(qū)間，但是在x軸兩端的位置，改進模型的穩(wěn)定性弱于FVD模型，這是因為FVD模型只考慮了前車跟馳狀態(tài)對跟馳行為的影響，因此無論跟馳距離如何變化，跟馳系統(tǒng)的穩(wěn)定性受車頭間距的影響都是一定的.而改進模型由于考慮前后多輛車的跟馳狀態(tài)，會過多地改變自身車輛的跟馳狀態(tài)，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性.因此，改進模型在跟馳間距處于7～18 m時，采用改進跟馳模型要比經(jīng)典FVD模型更具有穩(wěn)定性.

圖3 中位穩(wěn)定線對比圖Fig.3 Comparison diagram of median stability line

3 數(shù)值仿真

通過對道路交通中的交通波現(xiàn)象進行模擬，觀察波動的產(chǎn)生和消散，能夠從現(xiàn)實角度來驗證以上理論推導結(jié)論.為了更直觀地探討本文提出模型的穩(wěn)定性，本文假設(shè)交通流均為同質(zhì)均衡狀態(tài)，即道路上的車輛全部遵循一種跟馳行駛方式，且無換道、信號燈等其他交通因素的干擾，研究在這種平衡狀態(tài)下采用兩種不同跟馳策略的交通流系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

3.1 擾動在兩種模型中的傳播分析

設(shè)置的模擬場景為：在一段長度L=5 000m的道路上，在道路前端L1=200m處放置N=100輛車，在初始狀態(tài)，所有車輛等距離、等速度跟馳前車行駛，跟馳距離為L1/N，跟馳速度為5 m/s，采取周期邊界.在仿真時間的第1 s對頭車施加一個小的擾動，擾動大小為其初始跟馳間距和初始速度的1/2.

圖4(a)和圖4(b)分別為α=0.520；β=0.246；φ=0.013；σ=0.040；μ1=0.259；μ2=0.032時改進模型中擾動在仿真時間第200 s和第5 000 s時的傳播情況.系統(tǒng)的平均速度穩(wěn)定在0.054 m/s左右，但是由于頭車的擾動打破了整個交通系統(tǒng)的平衡，使得系統(tǒng)中產(chǎn)生交通波動并隨行駛時間向后傳播，傳播方向同車隊行駛方向相反.且隨著行駛時間的增加，擾動產(chǎn)生的速度波動峰值0.063 m/s變化到0.055 m/s，擾動整體有減小并消散的趨勢.因為改進模型考慮了前后多車跟馳狀態(tài)并提供給駕駛員做參考，使其可以更全面的對跟馳行為進行調(diào)整，以適應(yīng)整個跟馳系統(tǒng)，能夠及時調(diào)整跟馳行為應(yīng)對車流中的小擾動，從而也有利于及時消散跟馳系統(tǒng)中的擾動，避免形成局部擁堵影響道路交通.

圖4(c)和圖4(d)為兩種模型在仿真時間分別為T=200s和T=5 000 s時的擾動傳播的對比圖，F(xiàn)VD模型的參數(shù)選擇為a=0.132，λ=0.036.可以明顯看到改進模型中交通流平均速度穩(wěn)定在0.05 m/s左右，而FVD模型中的跟馳系統(tǒng)則受擾動影響較大，系統(tǒng)中車輛速度一直在0～2 m/s震蕩，出現(xiàn)了時走時停的停滯現(xiàn)象，且隨著仿真時間的增加，擾動并沒有出現(xiàn)消散的跡象，說明FVD模型中系統(tǒng)受車輛隨機擾動的影響嚴重，因此改進模型較FVD模型在消散擾動方面具有一定優(yōu)越性.

圖4 擾動傳播過程中系統(tǒng)平均速度Fig.4 Average velocity in disturbance propagation process

圖5(a)和圖5(b)分別為改進模型中擾動在仿真時間第200 s和第5 000 s時的跟馳距離變化情況.整個跟馳系統(tǒng)的跟馳間距穩(wěn)定在2 m左右，由于初始小擾動產(chǎn)生的沖擊波在三維面上有明顯的起伏波動(圖5(a))，后沖擊波慢慢消散(圖5(b))，三維面又重新漸漸恢復平整，說明改進模型模擬的交通流具有穩(wěn)定性，擁有自行消散系統(tǒng)中沖擊波的能力.反觀FVD模型在擾動下的跟馳間距，如圖5(c)和圖5(d)所示，擾動在系統(tǒng)中產(chǎn)生的交通波并沒有隨時間消散，反而愈演愈烈，到了T=5 000s時已經(jīng)形成了嚴重的交通擁堵，使得系統(tǒng)中的車輛不得不時走時停.因此，應(yīng)用改進模型的交通系統(tǒng)比應(yīng)用FVD模型的交通系統(tǒng)更具有穩(wěn)定性.

圖6(a)和圖6(b)分別為改進模型中擾動在仿真時間第200 s和第5 000 s時的道路上所有跟馳車輛的軌跡運行圖.從局部產(chǎn)生擁堵(圖6(a))，到軌跡面又基本保持平整(圖6(b))，同樣說明改進模型的穩(wěn)定性.而FVD模型中的交通系統(tǒng)在擾動的作用下，車輛軌跡圖出現(xiàn)了多處褶皺帶(圖6(c))，說明系統(tǒng)中的車輛在運動過程中出現(xiàn)了多次速度為零的長時間停車現(xiàn)象，并向行駛方向的反方向傳遞，最后隨著時間演化為大的擁堵節(jié)點(圖6(d)).因此也就說明了FVD模型下的跟馳系統(tǒng)較改進模型相比缺乏自身穩(wěn)定性，對系統(tǒng)中出現(xiàn)的小干擾的消散能力不足.

圖5 擾動傳播過程中系統(tǒng)跟馳間距Fig.5 Headway in disturbance propagation process

圖6 擾動傳播過程中的跟馳位移Fig.6 Position in disturbance propagation process

3.2 靈敏度仿真驗證

為了驗證第2節(jié)穩(wěn)定性條件理論推導的敏感度分析結(jié)果，調(diào)整靈敏度σ的取值，并分別在仿真時間為T=50s和T=1 000s時固定觀察擾動在不同靈敏度σ值下的傳播情況，為了更直觀地觀察穩(wěn)定性效果，靈敏度σ的取值同第2節(jié)保持一致，分別為σ=0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，如圖7所示.不難看出，靈敏度σ的取值越大，擾動在跟馳系統(tǒng)中的傳播越穩(wěn)定，這同3.2節(jié)中得到的理論分析結(jié)果是一致的.同時隨著仿真時間的增加，只有靈敏度σ=0.2的系統(tǒng)中存在擾動，其他敏感度取值下的系統(tǒng)擾動已經(jīng)完全消散，跟馳系統(tǒng)中的速度不再波動，而是保持穩(wěn)定的一致.

圖7 不同靈敏度σ下的擾動傳播速度圖Fig.7 Average velocity in disturbance propagation process with different sensitivities

4 結(jié)論

本文在參考現(xiàn)有跟馳模型的基礎(chǔ)上，建立了一種考慮跟馳駕駛員雙前車及后車跟馳狀態(tài)影響的改進跟馳模型.并從理論分析、數(shù)值仿真、對比分析等角度，對本文提出的改進模型進行分析.主要有以下結(jié)論：

(1)根據(jù)穩(wěn)定性理論分析、推導了改進模型的穩(wěn)定性條件，并對其進行了靈敏度驗證，驗證結(jié)果顯示，靈敏度α越大越有利于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

(2)模擬擾動在交通系統(tǒng)中傳播的仿真結(jié)果顯示，無論從系統(tǒng)跟馳速度、跟馳間距還是跟馳軌跡都能說明，改進模型都具有消散干擾抑制擁堵的作用.

(3)對比觀察了經(jīng)典FVD模型下的跟馳系統(tǒng)對抗干擾能力，對比結(jié)果顯示，應(yīng)用改進模型進行道路交通仿真會獲得更佳的穩(wěn)定性.