江文輝，李延來*,b

(西南交通大學(xué)a.交通運輸與物流學(xué)院；b.綜合交通運輸智能化國家地方聯(lián)合工程實驗室，成都610031)

0 引言

我國高鐵客運市場已培育了大量客流，且許多高速鐵路線逐漸趨于“公交化”的運營特點，如京滬高鐵全天共開行37對高速列車，平均每20 min就有1趟車次開行，這些平行車次之間存在很強的替代性，但現(xiàn)行高鐵票價固定，忽略了平行車次由于發(fā)車時刻、旅行時間等方面的差異所導(dǎo)致旅客對平行車次間效用感知的不同，如：同等票價下，旅客更愿意選擇上午08:00分出發(fā)12:34分到達(dá)的車次而非下午19:05分出發(fā)23:39分到達(dá)的車次；運行時間為4 h的車次比運行時間為6 h的車次更具吸引力.此外，現(xiàn)行票價又無法與實際客流狀況相適應(yīng)，不能有效引導(dǎo)和控制客流，最終導(dǎo)致了平行車次的上座率失衡與收益損失.因此，有必要對高速鐵路平行車次的定價問題進行相應(yīng)的理論和方法研究.

本文研究內(nèi)容屬于多產(chǎn)品定價范疇，研究背景主要集中在易逝品和民航業(yè).文獻(xiàn)[1]將GVR模型推廣到多產(chǎn)品的情形，并利用強度控制理論首次研究了多產(chǎn)品的動態(tài)定價問題.文獻(xiàn)[2]建立了多產(chǎn)品動態(tài)定價和庫存控制的統(tǒng)一模型.文獻(xiàn)[3]研究了存在縱向差異的多產(chǎn)品動態(tài)定價問題，采用線性效用函數(shù)來刻畫消費者對產(chǎn)品的選擇現(xiàn)象，在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[4]利用MNL模型來描述顧客的選擇行為，建立了多產(chǎn)品的動態(tài)定價和庫存決策聯(lián)合模型.文獻(xiàn)[5]研究了多個平行航班的動態(tài)定價問題，并設(shè)計啟發(fā)式算法，以解決模型“維數(shù)災(zāi)難”問題.文獻(xiàn)[6-7]均建立了兩平行航班的動態(tài)定價模型，文獻(xiàn)[6]考慮了乘客分類，文獻(xiàn)[7]重點放在求解算法的設(shè)計.

高鐵定價問題最近引起許多學(xué)者的關(guān)注，文獻(xiàn)[8]建立了考慮團體訂票情形下的高速鐵路動態(tài)定價模型，文獻(xiàn)[9]利用最大凹向包絡(luò)理論研究了高速鐵路的動態(tài)定價問題，文獻(xiàn)[10]在民航競爭環(huán)境下研究了高速鐵路的動態(tài)定價，文獻(xiàn)[8-10]的研究內(nèi)容均是單列車的定價問題，不涉及平行車次問題.針對上述不足，本文將借鑒多產(chǎn)品定價理論和民航業(yè)的成功實踐，并充分考慮旅客需求狀況和平行車次間的質(zhì)量差異屬性，以平行車次的整體收益最大化為目標(biāo)提出了差別動態(tài)定價、最優(yōu)固定價格和統(tǒng)一動態(tài)定價3種定價策略，并對比3種定價策略的優(yōu)劣.

1 問題描述

考慮特定時間段內(nèi)(如1天)運行在兩城市之間的n列平行高鐵，N={1,2,…,n}表示車次集合.由于平行車次間的發(fā)車時間間隔相對于整個車票預(yù)售期可忽略不計，可認(rèn)為n列平行高鐵的車票預(yù)售期相同，將整個預(yù)售期劃分為T個時段，保證每個時段至多只有1個乘客到達(dá)且至多只預(yù)定1張車票，設(shè)到達(dá)率為λ，t=1開始售票，t=T是車票預(yù)訂的最后一個時段.C=(C1,C2,…,Cn)為平行車次初始車票數(shù)量，pt=(p1t,p2t,…,pnt)為t時段各平行車次的票價，?為可選價格集合.若t時段車次i的席位已售完，則剩余預(yù)售時段將其票價設(shè)置為空價格(p∞)，不考慮退票和超訂等情形.

如前文所述，對于相同票價的平行車次，旅客通常對不同車次的效用感知是不同的，即平行車次間存在不同程度的質(zhì)量差異，最終導(dǎo)致旅客在不同車次間存在選擇行為.本文利用MNL模型[4-5,11]來描述旅客這種選擇行為.具體地，t時段到達(dá)的旅客以pit的票價預(yù)定i車次席位所獲得的效用Ui可表示為

式中：ai為常量，表示車次i的質(zhì)量水平，可用發(fā)車時間點、旅途時間等因素測量獲得；β表示價格彈性系數(shù)，反應(yīng)了旅客對票價的敏感程度；εi為隨機變量，服從Gumbel分布，均值為0和規(guī)模參數(shù)μ=1，若到達(dá)的旅客不選擇任何車次時獲得效用為U0=ε0.

用qit(pt)表示t時段到達(dá)的旅客選擇車次i∈N的概率，q0t(pt)表示到達(dá)旅客不選擇任何車次的概率，且滿足，則有

若t時段車次i∈N的票價設(shè)置為p∞，表示席位已售完不再接受訂票請求qit(pt)=0.

從城市個體來看,臨沂、連云港、濟寧、泰安和日照的城鎮(zhèn)化與旅游經(jīng)濟耦合度長期處于高水平,雖然10年間有所波動變化,但始終處于高水平階段,并未影響這些城市在淮海經(jīng)濟區(qū)的領(lǐng)先地位．徐州與淮安相似,大部分時間處于高水平,但2008～2011年受金融危機影響較大,出現(xiàn)了明顯下降,甚至跌入磨合的水平,2012開始回升,但在同類高水平城市中排名靠后．萊蕪、宿遷、菏澤、棗莊、蚌埠和商丘的城鎮(zhèn)化與旅游經(jīng)濟耦合度在淮海經(jīng)濟區(qū)處于低值,且在10年間波動起伏較多、較大．其余城市在2005～2015年,都在拮抗、磨合與高水平階段內(nèi)存在著較多波動．

2 高速鐵路平行車次定價策略研究

高速鐵路平行車次現(xiàn)行票價機制存在3點不足：①高速鐵路平行車次在發(fā)車時刻、運行時間等方面存在明顯區(qū)別，但現(xiàn)行票價機制模糊了這種差異；②現(xiàn)行票價機制實質(zhì)是單獨優(yōu)化某一列高速鐵路的收入，缺乏整體性；③票價固定，無法與實際客流狀況相適應(yīng).基于此，我們將提出3種定價策略.

2.1 差別動態(tài)定價策略

差別動態(tài)定價是在任意t時段同時為各個車次設(shè)定票價，即決策價格向量記表示t時段票額狀態(tài)為時，n列平行高鐵在剩余售票周期[t,T]內(nèi)可獲得的最大期望收益，建立差別動態(tài)定價模型為表示車次i的席位期望

式中：ei表示第i項為1，其余項均為0的n維向量；邊際收益，邊界條件為.

由式(4)可知，t時段的票價決策與t+1時段的狀態(tài)無關(guān)，由此可定義為

定義qt=(q1t,q2t,…,qnt,q0t)，將式(6)代入式(5)可得

定理1對于給定的車票預(yù)售時段t和車票狀態(tài)xt，車次i∈N的最優(yōu)票價為

證明先證是關(guān)于q的凹函數(shù)，t.由式(7)可求得函數(shù)的黑塞矩陣為

對于非零向量y=(y1,y2,…,yn+1)有

將式(13)帶入式(6)可得到等式(8)成立，聯(lián)立式(13)和消去可得到?t滿足的式(9)，最后說明?t是式(9)的唯一解，令g(?t)為

2.2 最優(yōu)固定價格策略

最優(yōu)固定價格策略是在售票開始前，根據(jù)預(yù)測的客流狀況為不同車次制定不同票價，在整個售票周期不再做票價調(diào)整.該定價策略有別于現(xiàn)行的票價機制，其充分考慮了各車次的旅客需求狀況和車次間的質(zhì)量差異屬性.可知任意t時段，車次i∈N售出1張席位的概率為λqit(pt)，則整個車票預(yù)售期，車次i的總需求可用泊松分布來描述，其到達(dá)強度為λqit(pt)T.記VF(C)為最優(yōu)固定價格策略下的最大期望收益，為該策略下的最優(yōu)票價向量，則建立最優(yōu)固定價格定價模型為

式中：Nρi表示車次i(i∈N)在剩余銷售周期內(nèi)的席位需求量，服從參數(shù)為ρi=λqi(pl)T的泊松分布.因此，可通過非線性優(yōu)化方法求解式(17)，得到該策略下最優(yōu)票價.

2.3 統(tǒng)一動態(tài)定價策略

統(tǒng)一動態(tài)定價僅對票價進行實時動態(tài)更新，而不考慮對平行車次的差異，即所有平行車次的票價相同.記為統(tǒng)一動態(tài)定價策略下的期望收益，為該策略下任意時段的票價，建立統(tǒng)一動態(tài)定價的模型為

3 案例分析

以京滬高鐵為案例背景，京滬線全長1 318 km，目前北京—上海全天共開行37列平行高鐵，發(fā)車時刻分布在06:43-19:05，全程運行時間最短為264 min，最長為372 min，現(xiàn)行票價二等座均為553元(僅考慮二等座).參考我國高鐵票價現(xiàn)狀，京滬高鐵單位里程運價率為0.420元/km；西武高鐵為0.432元/km；其中單位里程運價率最低的是京廣高鐵0.376元/km，最高的是廣深高鐵0.730元/km.因此將京滬鐵路的單位里程運價率的浮動范圍定為0.30～0.75元/km是合理的，折合成票價約為396～989元.為了便于標(biāo)定平行車次的質(zhì)量水平ai，進一步將目前京滬高鐵二等座票價553元標(biāo)準(zhǔn)化為“10”，即票價的浮動范圍轉(zhuǎn)化為7.16～17.88.

3.1 旅客購票過程的最優(yōu)票價路徑分析

不失一般性，考慮運行在京滬高速鐵路線上的2列平行車次1和2，目前剩余席位數(shù)量均為C1=C2=10，剩余售票時段T=100，旅客的票價敏感系數(shù)β=0.6.圖1為基于3種定價策略對不同情形下旅客購票過程的最優(yōu)票價路徑進行了仿真分析.

由圖1可知，當(dāng)潛在到達(dá)旅客數(shù)量較少時(圖1(a))，在整個售票過程中3種定價策略的最優(yōu)票價均低于當(dāng)前票價“10”，當(dāng)潛在到達(dá)旅客數(shù)量較大時(圖1(b)和圖1(c))，3種定價策略都相應(yīng)地提高票價(出現(xiàn)票價高于當(dāng)前票價“10”)，說明3種定價策略均以實際客流狀況為導(dǎo)向，而現(xiàn)行票價已與實際客流市場脫軌.此外，還可以看出：

(1)差別動態(tài)定價和最優(yōu)固定價格策略均證實平行車次最優(yōu)票價差異會使隨著平行車次質(zhì)量差異的增大而增大，因此適當(dāng)增加高質(zhì)量水平車次(運行時間短、早上發(fā)車中午到達(dá))的票價，對低質(zhì)量水平車次(運行時間較長、下午發(fā)車深夜到達(dá))提供一定的折扣，可以引導(dǎo)客流，平衡車次間上座率.

(2)當(dāng)潛在到達(dá)旅客數(shù)量較大時(圖1(b)和圖1(c))，高質(zhì)量水平的列車(車次1)會率先售空座位，所以鐵路部門在對平行車次進行票額分配時，應(yīng)考慮平行列車間的差異化，科學(xué)的分配給高質(zhì)量水平車次更多的票額，可以提高整體上座率并增加售票收入.

(3)圖1(b)和圖1(c)中統(tǒng)一動態(tài)定價策略下的最優(yōu)票價路徑出現(xiàn)向下跳躍現(xiàn)象，原因是，統(tǒng)一動態(tài)定價策略下，旅客偏好選擇高質(zhì)量屬性的車次(車次1)直到車票售完，而低質(zhì)量屬性的車次(車次2)尚有大量的席位未售出，為盡快在列車開行前售空車票，會大幅度降低票價來吸引旅客，提高低質(zhì)量屬性車次的上座率.

圖1 不同情形下旅客購票過程最優(yōu)票價路徑Fig.1 The optimal fare path for passengers to purchase tickets under different circumstances

3.2 不同情形下3種定價策略效率對比分析

仍采用上述基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，分析不同情形下3種定價策略的效率.表1，圖2，圖3和表2，圖4，圖5分別給出了不同旅客需求環(huán)境下或兩平行車次在不同質(zhì)量水平組合條件下3種定價策略的最大期望收益、售出席位數(shù)量和平均票價水平的對比結(jié)果.

表1 不同旅客需求環(huán)境下3種定價策略的最大期望收益對比(a1=6.25，a2=5.25)Table 1 The comparison of three pricing strategies in different passenger demand environment(a1=6.25,a2=5.25)

由表1可知，4種需求環(huán)境下，3種定價策略均能使收益增加，最多可增加20.96%的收益.其中D策略在所有情況下表現(xiàn)都是最優(yōu)的，其他兩種定價策略在旅客需求較少(λT=10)的環(huán)境下表現(xiàn)的相對較好，但隨著潛在到達(dá)旅客數(shù)量的增加，效率逐漸降低.易知，平行車次的最優(yōu)票價與兩個因素有關(guān)：①列車間的質(zhì)量差異水平；②實時需求信息和席位狀態(tài)信息.D策略能夠同時兼顧兩個因素所以具有最好的績效，而U策略和F策略只是單方面利用了某個因素，所以均不能取得最好的效率.此外，F(xiàn)策略表現(xiàn)要優(yōu)于U策略，說明當(dāng)平行車次間存在較高質(zhì)量差異時，有必要實施差別定價.

由圖2和圖3可知，同等旅客需求環(huán)境下，D策略在平衡車次間上座率和提高總體上座率上仍具有很好的優(yōu)勢，且能以相對較低的平均票價水平獲得最大的期望收益.F策略在平衡列車間上座率和總體上座率上也表現(xiàn)很好，但當(dāng)潛在到達(dá)旅客數(shù)量為40人時，采用D策略和F策略均能使兩列車售空所有席位，但是D策略可以使售票收入額外增加6.79%.U策略和現(xiàn)行票價機制獲得了較差的上座率，且平均票價較高，這種現(xiàn)象不利于高鐵客運 市場的可持續(xù)發(fā)展.

圖2 不同旅客需求環(huán)境下兩平行車次售出車票數(shù)量(a1=6.25,a2=5.25)Fig.2 Number of tickets sold by two parallel trains in different demand environment(a1=6.25,a2=5.25)

圖3 不同旅客需求環(huán)境下的平均票價水平(a1=6.25,a2=5.25)Fig.3 Average fare in different passenger demand environment(a1=6.25,a2=5.25)

表2 不同質(zhì)量水平差異條件下3種定價策略最大期望收益對比(λT=20)Table 2 The comparison of three pricing strategies under under different quality levels(λT=20)

圖4 不同質(zhì)量水平組合下兩平行車次售出車票數(shù)量Fig.4 Number of tickets sold by two parallel trains in different quality levels

同樣由表2可知，不同質(zhì)量水平差異組合下，D策略仍然表現(xiàn)最好，其他兩種定價策略也能使得售票收入得到不同程度的提高.隨著兩平行車次質(zhì)量水平差異的縮小，U策略逐漸凸顯優(yōu)勢，當(dāng)質(zhì)量水平組合為(6.25，6.00)時，U策略要優(yōu)于F策略，且與D策略相比收益差距逐漸縮小.因此，鐵路部門在為質(zhì)量水平差異較小(如發(fā)車時間間隔較短或全程運行時間相等)的平行車次制定票價時，可以適當(dāng)忽略車次間的質(zhì)量差異水平對票價的影響，采用U策略以降低分別優(yōu)化平行車次票價的難度.

圖5 不同質(zhì)量水平組合下的平均票價水平Fig.5 Average fare in different quality levels

從圖4可以看出，隨著平行車次質(zhì)量水平差異的縮小，車次間的上座率逐漸達(dá)到均衡，表明車次間質(zhì)量水平的差異是影響上座率不均衡的主要因素，鐵路部門應(yīng)充分關(guān)注這一因素來實施售票前期的票額分配工作.進一步由圖5可知，在不同質(zhì)量水平差異組合下，3種定價策略的平均票價水平并不穩(wěn)定，說明除旅客需求強度外，列車間的質(zhì)量差異水平也是影響票價變化的內(nèi)因.

4 結(jié)論

以高速鐵路平行車次由于發(fā)車時刻、旅行時間等因素所導(dǎo)致質(zhì)量差異為切入點，本文研究了平行車次的定價問題，并以平行列車的整體收入最大化為目標(biāo)提出了3種定價策略.通過算例分析表明：3種定價策略均能有效提高售票收入，其中差別動態(tài)定價策略表現(xiàn)最優(yōu)，而最優(yōu)固定價格策略和統(tǒng)一動態(tài)定價策略的相對優(yōu)劣與平行車次間質(zhì)量差異大小和潛在到達(dá)旅客數(shù)量有關(guān).本文的研究內(nèi)容進一步完善了高速鐵路平行車次定價理論.此外，民航作為高鐵的最大競爭者，進一步研究民航競爭環(huán)境下的高速鐵路定價問題具有重大現(xiàn)實意義.