徐 凱(南京市第九中學(xué) 江蘇 南京 210000)

1 導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義

1．1導(dǎo)數(shù)的概念。導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)函數(shù)y=f(x)的自變量x在一點(diǎn)x0上出現(xiàn)一個(gè)增量Δx的時(shí)候，函數(shù)輸出值的增量Δy和自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在的話(huà)，那么a表示的就是在x0處的導(dǎo)數(shù)，可以將其記作f＇(x0)或者是df(x0)/dx［1］。

1．2導(dǎo)數(shù)的幾何意義。導(dǎo)數(shù)屬于函數(shù)中的一種局部性質(zhì)。一個(gè)函數(shù)在某一個(gè)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)描述的含義是該函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)附近的變化率。假如函數(shù)的自變量與函數(shù)的取值均是實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)所代表的含義就是該函數(shù)所代表的曲線(xiàn)在該點(diǎn)位置上的切線(xiàn)斜率［2］。

2 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問(wèn)題的可行性

導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中能夠得到很大的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用到實(shí)際生活中主要是為了解決下面的四個(gè)問(wèn)題，分別是:第一，和幾何問(wèn)題相關(guān)的一些最值問(wèn)題;第二，和物理學(xué)相關(guān)的一些最值問(wèn)題;第三，和利潤(rùn)與成本相關(guān)的一些最值問(wèn)題;第四，和效率相關(guān)的最值問(wèn)題。

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問(wèn)題的方法:首先需要仔細(xì)地分析各個(gè)變量之間存在的相關(guān)關(guān)系，然后在變量間建立起相關(guān)關(guān)系，并且進(jìn)一步確定函數(shù)的定義域，然后再創(chuàng)造在閉區(qū)間求函數(shù)數(shù)值的情境，也就是說(shuō)在求解優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程中，需要解決的重點(diǎn)問(wèn)題就是需要建立起與之相對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上再去研究函數(shù)的性質(zhì)，從而提出最為合理的解決方案，這樣一來(lái)問(wèn)題也就迎刃而解了。從這里也可以看出，導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)揮了極大的作用。

導(dǎo)數(shù)是在生產(chǎn)生活過(guò)程中伴隨著人們的生活需求而被研究出來(lái)的，導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)是為了滿(mǎn)足人們生產(chǎn)生活的需要。而導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)也在很大程度上推動(dòng)了社會(huì)生活以及生產(chǎn)的進(jìn)步。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解優(yōu)化問(wèn)題，能夠幫助人們解決在生活中遇到的一些實(shí)際問(wèn)題，為人們的生產(chǎn)生活也帶來(lái)了極大的便利。

3 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活當(dāng)中的應(yīng)用舉例

導(dǎo)數(shù)知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，導(dǎo)數(shù)在自然科學(xué)領(lǐng)域、工程技術(shù)領(lǐng)域和日常生活等多個(gè)領(lǐng)域內(nèi)都得到了十分廣泛的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)實(shí)際上是從生產(chǎn)技術(shù)領(lǐng)域和自然科學(xué)領(lǐng)域的需要中逐漸被研究出來(lái)的，與此同時(shí)，導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)又在很大程度上推動(dòng)了生產(chǎn)技術(shù)領(lǐng)域與自然科學(xué)領(lǐng)域的快速發(fā)展，導(dǎo)數(shù)不單單在天文領(lǐng)域、物理領(lǐng)域以及工程領(lǐng)域等多個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有著非常廣泛的應(yīng)用，并且在實(shí)際生活和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域內(nèi)也發(fā)揮了十分關(guān)鍵的作用。下面舉一個(gè)實(shí)際的應(yīng)用案例。

例如:煙囪向附近的地區(qū)散落的煙塵會(huì)嚴(yán)重地導(dǎo)致出現(xiàn)環(huán)境污染，目前已知落在地面某處的煙塵濃度和該處到煙囪的距離的平方之間呈現(xiàn)出反比關(guān)系，而且和該煙囪噴出的煙塵量之間呈現(xiàn)出正比關(guān)系。目前已經(jīng)有A、B兩座煙囪，兩座煙囪之間的距離是20km，其中B座煙囪噴出的煙塵量是A煙囪噴出煙塵數(shù)量的8倍，試求出兩座煙囪連線(xiàn)上的點(diǎn)C，使這個(gè)點(diǎn)的煙塵濃度最低。

使用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解C點(diǎn)位置的具體分析步驟:根據(jù)題意可以得知需要確定某點(diǎn)的煙塵濃度最低，煙塵濃度主要的來(lái)源就是A、B這兩座煙囪，而且和煙囪之間的距離存在著十分密切的關(guān)系，所以說(shuō)可以首先考慮設(shè)出與某個(gè)煙囪之間的距離，通過(guò)這種方式來(lái)表示出相應(yīng)的煙塵濃度，然后在此基礎(chǔ)上確定其最小值就可以了。

具體的解題步驟:我們可以設(shè)A煙囪噴出的煙塵量是1，B煙囪噴出的煙塵量是8，那么我們可以得知AC=x(其中0＜x＜20)，因此BC=20－x，根據(jù)題意能夠得知在點(diǎn)C位置的煙塵濃度是y=k×2+k*8/(20－x)2(其中k代表的是比例系數(shù)，并且k＞0)，

y"=2k(3x－20)(3x2+400)x2(20－x)2

令y"=0可以得到(3x－20)(3x2+400)=0

又因?yàn)?＜x＜20，所以x=20/3

因?yàn)楫?dāng) x∈(0，20/3)的時(shí)候，y"＜0;當(dāng) x∈(20/3，20)的時(shí)候，y"＞0，所以當(dāng)x=20/3的時(shí)候，y取得最小值，所以當(dāng)C位于距點(diǎn)A為20/3km的時(shí)候，該點(diǎn)的煙塵濃度達(dá)到了最低數(shù)值。

由此可見(jiàn)，導(dǎo)數(shù)在解決生活實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)揮著十分重要的作用，導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)為我們解決一些最優(yōu)問(wèn)題提供了極大的方便，為生產(chǎn)實(shí)踐提供了很多的便利，與日常生產(chǎn)與生活之間存在著十分密切的關(guān)系。

4 總結(jié)

導(dǎo)數(shù)是微積分中非常重要同時(shí)也是十分基礎(chǔ)的一個(gè)概念。物理學(xué)領(lǐng)域、幾何學(xué)領(lǐng)域以及工程科學(xué)等領(lǐng)域的一些重要概念也可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行表示，可以說(shuō)，導(dǎo)數(shù)在推動(dòng)學(xué)術(shù)研究以及實(shí)際應(yīng)用中都作出了很大的貢獻(xiàn)［3］。導(dǎo)數(shù)既可以表示運(yùn)動(dòng)的物體在某一點(diǎn)上的瞬時(shí)速度，也可以表示某一條曲線(xiàn)的斜率。通過(guò)研究可以發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)在解決具體的、實(shí)際的問(wèn)題方面具有很大的幫助。導(dǎo)數(shù)的世界依然存在著許多未解之謎，需要我們不斷地去探索、去實(shí)踐、去挖掘。