劉護(hù)靈

概率與統(tǒng)計(jì)在高中數(shù)學(xué)中具有獨(dú)立性，由于和實(shí)際生活聯(lián)系緊密，同時又是大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用，現(xiàn)已成為高考持續(xù)的熱點(diǎn).2018 年高考數(shù)學(xué)全國I卷試題難度適中、穩(wěn)中求變、導(dǎo)向明確，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，其中概率統(tǒng)計(jì)題在理科試卷中仍是以一道小題（選擇題第3題）加一道大題（解答題第20題），所占分值仍然是5+12=17分，值得注意的是，和歷屆高考試題不同，今年概率統(tǒng)計(jì)大題放在了大題中的第四道（排在了解析幾何大題后面），意味著難度有了一定的增加.

一、原題呈現(xiàn)

例題.（12分）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點(diǎn)p0.

（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；

（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

二、第一問的分析與解

拿到試卷看到試題的第一印象是，題目文字很多，這是近幾年高考數(shù)學(xué)試題的特點(diǎn).需要同學(xué)們靜心閱讀文字材料，看懂每一個條件的意義和作用.

（1）第一句是大前提：“某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.”

（2）第二句指明了檢驗(yàn)的方法：“檢驗(yàn)時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0

前面兩句話正是統(tǒng)計(jì)在生活中的典型應(yīng)用——抽樣檢驗(yàn)，而不是全部每一件都檢驗(yàn).

第一問“記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點(diǎn)p0”.

問題1：什么叫“20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品”？

問題2：若改為“20件產(chǎn)品中恰有3件不合格品”，又怎么求？

問題3：還可以怎么問？如改為“20件產(chǎn)品中至多有2件不合格品”？或者“20件產(chǎn)品中至少有2件不合格品”？

綜合以上問題，這里考察的是：n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，恰好發(fā)生k次的概率.

基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)鏈接：

1. 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義：

指在同樣條件下進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)

2. 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式：

一般地，如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件恰好發(fā)生k次的概率Pn（k）=[Ck][n] P k（1-P）n-k.

它是[（1-P）+P]n展開式的第k+1項(xiàng).

三、第二問的分析與解

由（1）知，p=0.1.

第二問有兩個小問，第（i）個小問求：若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX.

這道題目的難點(diǎn)在于，賠償費(fèi)用的和X并不是一個直接的隨機(jī)變量！“賠償費(fèi)用”是和“余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)”密切相關(guān)的.

所以，必須設(shè)一個新元，例如設(shè)Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B（180，0.1），

而X=20×2+25Y，即X=40+25Y.

所以EX=E（40+25Y）=40+25EY=490.

（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.

由于EX>400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

反思3：在學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)時，要理解概念，掌握課本中關(guān)于以下方面的基礎(chǔ)知識：

①什么叫“一次試驗(yàn)”“一次試驗(yàn)結(jié)果具有什么特征”？

②依托具體情境領(lǐng)悟“等可能”“互斥（對立）”“獨(dú)立”關(guān)系.

③能將復(fù)雜事件分解為“互斥和”“獨(dú)立積”.

④分布列性質(zhì)（非負(fù)、和為1），期望公式，方差公式.

⑤二項(xiàng)分布、幾何分布及正態(tài)分布.

⑥頻率分布條形圖和直方圖及應(yīng)用.

⑦抽樣方法和線性回歸.

反思4：回顧本題的解決過程，實(shí)際上是考察學(xué)生對問題題意的正確理解，對基本概念的真正掌握（例如什么是“獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)”，等等）.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握， 對一些核心的概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終， 幫助學(xué)生逐步理解.由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)， 注意體現(xiàn)基本概念的來龍去脈.在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體實(shí)例抽象數(shù)學(xué)概念的過程， 在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)”. 數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵與外延的理解需要通過解題來完成， 解題之后留給學(xué)生的應(yīng)是概念而不是題.

反思5：要重視培養(yǎng)數(shù)學(xué)的閱讀能力.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系劉秀湘教授在評述2017 年全國卷試題時，認(rèn)為2017年數(shù)學(xué)卷加強(qiáng)了數(shù)學(xué)閱讀與表達(dá)能力， 學(xué)生的答卷反映出“ 哪里不會考哪里！”， 特別是2017年理科第 19 題的解答非常不理想. 實(shí)際上，2018年的理科概率題一樣對考生閱讀題意的能力要求很高.從實(shí)際教學(xué)來看， 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對數(shù)學(xué)語言的表達(dá)、數(shù)學(xué)符號書寫的規(guī)范性強(qiáng)調(diào)較多， 但對數(shù)學(xué)的閱讀強(qiáng)調(diào)不足.

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)