仝 博，李永清，朱 錫，張焱冰

(海軍工程大學(xué) 艦船工程系，湖北 武漢 430033)

0 引 言

圓柱殼結(jié)構(gòu)是船舶領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用的一種工程結(jié)構(gòu)形式，許多研究者對(duì)其水下振動(dòng)已做了大量研究。線性范圍內(nèi)，圓柱殼在外力作用下的振動(dòng)響應(yīng)可看作是其振動(dòng)模態(tài)的疊加[1]，大多數(shù)值方法均是基于這一思想，比如瑞利-里茲法[2]、傳遞矩陣法[3]、基于模態(tài)疊加的有限元法等。數(shù)值計(jì)算追求最小的計(jì)算成本達(dá)到較高的計(jì)算精度。在運(yùn)用模態(tài)疊加法研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，模態(tài)階數(shù)的選取決定計(jì)算的經(jīng)濟(jì)性和準(zhǔn)確性。選取的模態(tài)階數(shù)越高，計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確，但消耗的計(jì)算時(shí)長(zhǎng)卻越高。當(dāng)模態(tài)數(shù)量大于一定值時(shí)計(jì)算結(jié)果變化不大，趨于穩(wěn)定，把該值定義為截?cái)嗄B(tài)數(shù)。對(duì)截

斷模態(tài)數(shù)的研究通常是在理論方法基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)值計(jì)算的相關(guān)參數(shù)的研究。比如王宇等[4]采用Love殼體理論分析了薄壁短圓柱殼在3種邊界條件下的振動(dòng)位移響應(yīng)，指出截取前八階模態(tài)就可達(dá)到相當(dāng)精度。王獻(xiàn)忠等[5]結(jié)合精細(xì)積分法和傳遞矩陣法，提出精細(xì)傳遞矩陣法法，在對(duì)方法有效性驗(yàn)證的同時(shí)開(kāi)展了模態(tài)收斂性分析。李榆銀等[6]基于NASTRAN軟件對(duì)薄壁圓柱殼進(jìn)行強(qiáng)迫振動(dòng)分析時(shí)對(duì)截?cái)嗄B(tài)數(shù)進(jìn)行了靈敏度研究，得到了有效的截?cái)嗖〝?shù)。

也有學(xué)者專(zhuān)門(mén)研究了結(jié)構(gòu)的模態(tài)截?cái)鄬?duì)結(jié)果的影響。李興泉等[7]基于有限元法對(duì)頻率截?cái)嗪陀行B(tài)質(zhì)量截?cái)噙@2種截?cái)喾椒ㄟM(jìn)行對(duì)比研究。張淼等[8]針對(duì)重頻阻尼系統(tǒng)提出了高精度截模態(tài)算法，并對(duì)該算法進(jìn)行了模態(tài)靈敏度和誤差分析。金國(guó)光等[9]對(duì)高速凸輪結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析的同時(shí)進(jìn)行了模態(tài)截?cái)嘌芯浚谟邢拊ㄑ芯苛瞬煌厝‰A數(shù)對(duì)計(jì)算精度和計(jì)算速度的影響。也有學(xué)者未采用截?cái)嗄B(tài)數(shù)確定結(jié)構(gòu)濕表面有限元網(wǎng)格尺度，而是以主模態(tài)分量波長(zhǎng)作為參考尺度確定的網(wǎng)格尺度劃分原則[10]。但對(duì)于寬頻的振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算，主模態(tài)變化較大，仍要以最高頻率確定網(wǎng)格尺度。以上對(duì)截?cái)嗄B(tài)的研究評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)大多為單個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)或聲壓響應(yīng)，不具有代表性，且研究對(duì)象為單一圓柱殼，不具有普適性。

本文基于瑞利-里茲法求解圓柱殼振動(dòng)方程，研究了35個(gè)不同尺度的圓柱殼在環(huán)頻率以下的水下振動(dòng)響應(yīng)，研究分析了截?cái)嗄B(tài)數(shù)隨長(zhǎng)徑比和環(huán)頻率的變化關(guān)系，并且對(duì)其規(guī)律性進(jìn)行總結(jié)，通過(guò)有限元仿真驗(yàn)證了其正確性，結(jié)論對(duì)于圓柱殼水下振動(dòng)問(wèn)題的研究具有重要的參考意義。

1 圓柱殼水下振動(dòng)方程推導(dǎo)

研究對(duì)象為水下有限長(zhǎng)薄壁圓柱殼，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，半徑R，厚度為h，h/R≤0.01，材料密度為 ρs，泊松比為μ，模量為E(1+η)， η為損耗因子，本文取0.01。殼體完全浸沒(méi)于水中，兩端簡(jiǎn)支在無(wú)限長(zhǎng)剛性圓柱障板上，如圖1所示。本文基于Donnell殼體理論研究圓柱殼徑向激勵(lì)下的振動(dòng)問(wèn)題，其運(yùn)動(dòng)方程為：

其中：位移系數(shù)矩陣各項(xiàng)表達(dá)式具體形式可查詢(xún)文獻(xiàn)[12]；u，v，w分別為軸向，環(huán)向和徑向位移；Fr為徑向載荷力，作用點(diǎn)位于殼體中部；pr為流體載荷。

圖1 有限長(zhǎng)圓柱殼模型Fig.1 Finite cylindrical shell model

為了分離圓柱殼的軸向和環(huán)向振型，采用分離變量法對(duì)軸向和環(huán)向位移進(jìn)行分解，且基于里茲法的思想，位移可假定為一系列模態(tài)振型的線性疊加，其公式如下（忽略時(shí)間項(xiàng)eiωt）：

其中：m，n分別為軸向模態(tài)半波數(shù)和環(huán)向模態(tài)波數(shù)，km與邊界條件有關(guān)，對(duì)于本文的對(duì)稱(chēng)激勵(lì)情況，圓柱殼的振動(dòng)響應(yīng)僅僅是對(duì)稱(chēng)模態(tài)的疊加，即軸向半波數(shù)m為奇數(shù)的情況，因此將k取為 (2m+1)，m=0，1，m2……。

由模態(tài)展開(kāi)法可對(duì)激勵(lì)力和圓柱殼周?chē)牧黧w載荷進(jìn)行分解：

將式（2）和式（3）代入式（1）中，可得

式中， 為機(jī)械阻抗，表達(dá)式為

ZMmn

求解表面振速，還需要事先求得聲輻射阻抗，求解聲輻射阻抗的方法主要有流固耦合方法和聲固耦合法[13]2種。本文基于聲固耦合法計(jì)算Helmholtz方程[14]求解圓柱殼表面聲壓載荷，表達(dá)式為：

將式（3）代入上述方程，依據(jù)貝塞爾方程形式求解得聲輻射阻抗為：

此時(shí)將式（5）和式（7）代入式（4）便可求得圓柱殼表面振速表達(dá)式。

圓柱殼表面均方振速公式為：

其中：

將式（9）代入式（8），依據(jù)余弦函數(shù)的正交性推導(dǎo)可得均方振速為：

表面均方振速級(jí)公式：

2 圓柱殼的模態(tài)截?cái)?/h2>

在基于模態(tài)疊加法對(duì)圓柱殼進(jìn)行水下振動(dòng)特性問(wèn)題研究時(shí)發(fā)現(xiàn)，不同尺度的圓柱殼，其截?cái)嗄B(tài)數(shù)量不同。因此針對(duì)不同尺寸的圓柱殼，根據(jù)上述圓柱殼振動(dòng)理論方程，基于Mathematica軟件進(jìn)行編程計(jì)算，得到圓柱殼表面均方振速。以表面均方振速級(jí)為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行軸向半波數(shù)m和環(huán)向波數(shù)n的無(wú)關(guān)性研究。

2.1 圓柱殼模型

本文以35個(gè)不同尺度的圓柱殼為對(duì)象，計(jì)算它們?cè)诃h(huán)頻率以下的水下振動(dòng)響應(yīng)，研究軸向截?cái)嗄B(tài)數(shù)m、環(huán)向截?cái)嗄B(tài)數(shù)n隨長(zhǎng)徑比L/R和環(huán)頻率fr的變化關(guān)系。圓柱殼模型參數(shù)見(jiàn)表1。其中，環(huán)頻率公式為：

表1 圓柱殼參數(shù)Tab.1 Geometric parameters of cylindrical shells

2.2 截?cái)嗄B(tài)研究

在結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性計(jì)算中，為提高計(jì)算效率，在不影響計(jì)算精度的情況下，往往選取有限個(gè)模態(tài)數(shù)目作為主模態(tài)截?cái)?，進(jìn)而通過(guò)模態(tài)疊加得到結(jié)構(gòu)表面的振動(dòng)響應(yīng)。本文目標(biāo)是研究不同尺度的圓柱殼截?cái)嗄B(tài)數(shù)的選取規(guī)律，由于計(jì)算樣本較多，為提高計(jì)算效率，將環(huán)頻率以下的1/3倍頻程中心頻率作為計(jì)算頻率點(diǎn)，1/3倍頻程中心頻率計(jì)算式為：

以均方振速級(jí)為精度判斷指標(biāo)，具體要求是在環(huán)頻率以下，模態(tài)截?cái)鄷r(shí)的計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確解誤差小于1%。理論上，m和n取無(wú)窮大時(shí)可得到準(zhǔn)確解，但在實(shí)際計(jì)算中難以實(shí)現(xiàn)，因此可取一個(gè)相對(duì)較大的值進(jìn)行計(jì)算作為準(zhǔn)確解。以L=1 m，R=1 m圓柱殼為例，經(jīng)計(jì)算分析，當(dāng)軸向和環(huán)向截?cái)嗄B(tài)數(shù)達(dá)到100時(shí)，就能得到準(zhǔn)確解。圖2和圖3分別反映了該圓柱殼軸向和環(huán)向截?cái)嗄B(tài)數(shù)取不同值時(shí)均方振速曲線對(duì)比。圖中可看出，隨著截?cái)嗄B(tài)數(shù)的增加，均方振速級(jí)曲線與準(zhǔn)確解的吻合頻率區(qū)間不斷擴(kuò)大，當(dāng)軸向截?cái)嗄B(tài)數(shù)m達(dá)到8時(shí)，當(dāng)環(huán)向截?cái)嗄B(tài)數(shù)n達(dá)到56時(shí)，就與m=n=100時(shí)的均方振速級(jí)曲線完全吻合，最大誤差低于1%，因此可將m=8，n=56作為該圓柱殼的截?cái)嗄B(tài)數(shù)。

圖2 不同軸向截?cái)嗄B(tài)數(shù)時(shí)均方振速曲線對(duì)比（L=R=1 m）Fig.2 Comparison of mean square vibration velocity curves at different axial truncated modes (L=R=1 m)

圖3 不同軸向截?cái)嗄B(tài)數(shù)時(shí)均方振速曲線對(duì)比（L=R=1 m）Fig.3 Comparison of mean square vibration velocity curves at different circumferential truncated modes (L=R=1 m)

對(duì)于表1中每個(gè)尺寸的圓柱殼都采用上述方法選取截?cái)嗄B(tài)，進(jìn)行大量計(jì)算后將結(jié)果進(jìn)行整理分析，其中專(zhuān)門(mén)研究了截?cái)嗄B(tài)數(shù)隨環(huán)頻率的變化關(guān)系，如圖4和圖5所示。圖中可看出，長(zhǎng)徑比相同的情況下，隨著環(huán)頻率的增大，軸向和環(huán)向截?cái)嗄B(tài)數(shù)均呈下降趨勢(shì)，且下降趨勢(shì)逐漸平緩。對(duì)于軸向截?cái)嗄B(tài)m，長(zhǎng)徑比越大，截?cái)嗄B(tài)數(shù)越高；但對(duì)于環(huán)向截?cái)嗄B(tài)n，不同長(zhǎng)徑比圓柱殼其截?cái)嗄B(tài)數(shù)隨環(huán)頻率變化曲線趨于重合，說(shuō)明環(huán)向截?cái)嗄B(tài)數(shù)對(duì)長(zhǎng)徑比變化不敏感，它僅與環(huán)頻率有關(guān)，也就是與圓柱殼的半徑相關(guān)。

圖4 不同長(zhǎng)徑比時(shí)圓柱殼軸向截?cái)嗄B(tài)數(shù)m隨環(huán)頻率變化趨勢(shì)對(duì)比Fig.4 Change trend of the axial truncated modal number with the ring frequency at different ratios of length to diameter

圖5 不同長(zhǎng)徑比圓柱殼環(huán)向截?cái)嗄B(tài)數(shù)n隨環(huán)頻率變化趨勢(shì)對(duì)比Fig.5 Change trend of the circumferential truncated modal number with the ring frequency at different ratios of length to diameter

為研究圓柱殼振動(dòng)截?cái)嗄B(tài)在軸向和環(huán)向的相對(duì)關(guān)系，建立關(guān)系式研究 ζ與環(huán)頻率的關(guān)系。簡(jiǎn)單推導(dǎo)可得： ，即 ζ代表了軸向波長(zhǎng)和r環(huán)向波長(zhǎng)的比值。圖6反映了不同尺度的圓柱殼軸向和環(huán)向截?cái)嗄B(tài)波長(zhǎng)之比。由圖可知，每個(gè)圓柱殼截?cái)嗄B(tài)對(duì)應(yīng)的軸向波長(zhǎng)與環(huán)向波長(zhǎng)之比大體相同，均在2～2.5之間，平均值為2.14，即在保證圓柱殼環(huán)頻率以下的表面均方振速級(jí)最大誤差不超過(guò)1%的情況下，截?cái)嗄B(tài)滿足軸向波長(zhǎng)大約為環(huán)向的2倍。

圖6 軸向和環(huán)向截?cái)嗄B(tài)波長(zhǎng)比值Fig.6 Wavelength ratios of axial and circumferential truncated modes

3 有限元仿真對(duì)比分析

上述對(duì)截?cái)嗄B(tài)的研究是基于瑞利-里茲法求解圓柱殼振動(dòng)方程，為驗(yàn)證理論模型的可靠性和截?cái)嗄B(tài)選取規(guī)律的正確性，基于有限元方法進(jìn)行圓柱殼水下振動(dòng)特性計(jì)算，與理論算法進(jìn)行對(duì)比。

算例對(duì)象：圓柱殼材料為鋁，長(zhǎng)L為2 m，半徑R為0.8 m，厚度為2 mm，則長(zhǎng)徑比L/R為2.5，環(huán)頻率為1 000 Hz。有限元計(jì)算采用結(jié)構(gòu)有限元和流體有限元相結(jié)合的方法，基于直接穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)法，對(duì)模型的原始方程直接積分計(jì)算。其中，圓柱殼周?chē)鲌?chǎng)域截?cái)喾桨敢言谖墨I(xiàn)[15]進(jìn)行了探討，此處直接取柱形流場(chǎng)域半徑為5R，如圖7所示。

與理論模型不同的是，采用流體有限元法計(jì)算圓柱殼水下振動(dòng)，殼體兩端必須進(jìn)行封閉處理，為了消除兩端面對(duì)殼體振動(dòng)的影響，端面除了邊緣一圈節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)支，其余所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行固支約束，如圖8所示。

圖8 圓柱殼表面網(wǎng)格及邊界條件Fig.8 Surface meshes and boundary conditions of cylindrical shells

首先基于Mathematica軟件編程計(jì)算圓柱殼水下振動(dòng)固有頻率，并與有限元仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果如表2所示。表中可看出，低階模態(tài)計(jì)算誤差相比高階模態(tài)低，但最大誤差在6%左右，一致性較好。驗(yàn)證了理論算法和有限元仿真的準(zhǔn)確性。

其次基于Mathematica軟件編程計(jì)算圓柱殼水下振動(dòng)響應(yīng)，依據(jù)圖4和圖5插值可得截?cái)嗄B(tài)數(shù)m取20，n取50。求取環(huán)頻率以下的表面均方振速級(jí)，與有限元仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖9所示。由圖可知，在環(huán)頻率以下，理論方法和有限元仿真計(jì)算求得的均方振速曲線吻合較好，驗(yàn)證了截?cái)嗄B(tài)選取的正確性。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文基于瑞利-里茲法求解圓柱殼振動(dòng)方程，研究了35個(gè)不同尺度的圓柱殼在環(huán)頻率以下的水下振動(dòng)響應(yīng)，以表面均方振速為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，研究分析了軸向截?cái)嗄B(tài)數(shù)m、環(huán)向截?cái)嗄B(tài)數(shù)n隨長(zhǎng)徑比和環(huán)頻率的變化關(guān)系，得到了同等精度下的截?cái)嗄B(tài)數(shù)，并且對(duì)其規(guī)律性進(jìn)行總結(jié)，得出以下結(jié)論：

1）對(duì)于軸向截?cái)嗄B(tài)m，其大小與長(zhǎng)徑比和環(huán)頻率均相關(guān)。長(zhǎng)徑比相同，隨著環(huán)頻率的增大，截?cái)嗄B(tài)m逐漸降低，且下降趨勢(shì)逐漸平緩；環(huán)頻率相同，長(zhǎng)徑比越大，截?cái)嗄B(tài)m值越高。

2）對(duì)于環(huán)向截?cái)嗄B(tài)n，其大小僅與環(huán)頻率相關(guān)。隨著環(huán)頻率的增大，n值逐漸減小。

3）在保證圓柱殼環(huán)頻率以下的表面均方振速級(jí)最大誤差不超過(guò)1%的情況下，截?cái)嗄B(tài)對(duì)應(yīng)的軸向波長(zhǎng)與環(huán)向波長(zhǎng)之比大概滿足2倍的關(guān)系。

表2 圓柱殼固有頻率對(duì)比Tab.2 Comparison of natural frequencies of cylindrical shell

圖9 有限元法和理論方法計(jì)算均方振速對(duì)比Fig.9 Comparison of the mean quadratic velocity calculated by the finite element method and the theoretical method

4）采用理論方法和有限元法計(jì)算了圓柱殼的固有頻率和均方振速，通過(guò)對(duì)比，驗(yàn)證了理論計(jì)算的正確性和截?cái)嗄B(tài)選取的合理性。