鄭倩 郜舒竹

【摘 要】學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)錯(cuò)誤是一種必然且普遍的現(xiàn)象，錯(cuò)誤的產(chǎn)生往往源于誤解，而誤解往往源于直覺(jué)。直覺(jué)現(xiàn)象十分普遍，會(huì)形成一種認(rèn)知規(guī)律。作為教師了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中這樣的規(guī)律，對(duì)于提高教學(xué)的針對(duì)性十分必要。

【關(guān)鍵詞】錯(cuò)誤；誤解；直覺(jué)規(guī)律

每個(gè)人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有必然性和普遍性。如果把學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤看作是一種現(xiàn)象，那么探尋錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因及其規(guī)律，并將其應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，就成為數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要課題。研究的基本邏輯是“錯(cuò)誤源于誤解，誤解源于直覺(jué)”。

以色列學(xué)者菲茨拜因（Efraim Fischbein）在其研究中指出：直覺(jué)是基于判斷信息種類或關(guān)系的思維模式和行為模式。在此思維模式的作用下會(huì)形成有規(guī)律的行動(dòng)。菲茨拜因?qū)⑷说睦斫夂驼J(rèn)知過(guò)程分為兩類，一類是直覺(jué)的，一類是邏輯的。學(xué)生受初學(xué)知識(shí)的影響，常因?yàn)橹庇X(jué)認(rèn)知導(dǎo)致最后結(jié)果的錯(cuò)誤。[1]

2006年，潘德麗莎、安尼塔和德梅特拉（Pandelitsa Papageorgiou， Annita Monoyiou， Demetra Pitta-Pantazi）針對(duì)“三角形越大，內(nèi)角和越大”這一判斷做出了量化研究。他們選取77名六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試。這一測(cè)試設(shè)計(jì)了三個(gè)任務(wù)。

任務(wù)一出示了三角形ABC和三角形DEF，其中AB[<]DE，BC[<]EF，AC[<]DF（如圖1所示）。判斷三角形ABC的內(nèi)角和小于三角形DEF的內(nèi)角和是否正確，并解釋判斷原因。

任務(wù)二出示了在三角形ABC中，所有的角都小于90°。在三角形DEF中，∠E大于90°（如圖2所示）。學(xué)生判斷三角形ABC的內(nèi)角和與三角形DEF的內(nèi)角和的大小關(guān)系，并進(jìn)行解釋。

任務(wù)三出示了四邊形ABCD和四邊形EFGH。AB[<]EF，BC[<]FG，AD[<]EH，DC[<]HG（如圖3所示）。學(xué)生判斷四邊形ABCD的內(nèi)角和小于四邊形EFGH的內(nèi)角和是否正確，并解釋原因。

任務(wù)一的測(cè)試結(jié)果顯示，多數(shù)學(xué)生（56.2%）錯(cuò)誤地認(rèn)為“三角形越大，內(nèi)角和越大”。幾乎所有出現(xiàn)錯(cuò)誤的學(xué)生都依據(jù)“因?yàn)槿切未?，所以?nèi)角和大”進(jìn)行解釋。

任務(wù)二的測(cè)試結(jié)果顯示，70.1%的學(xué)生沒(méi)有回答正確。他們認(rèn)為“銳角三角形的內(nèi)角和小于鈍角三角形的內(nèi)角之和”。一部分學(xué)生（48.1%）認(rèn)為“角度越大（[>]90°）內(nèi)角和越大”。

對(duì)于任務(wù)三，近三分之二的學(xué)生（62.3%）錯(cuò)誤地認(rèn)為“四邊形ABCD的內(nèi)角和小于四邊形EFGH的內(nèi)角和”。37.7%的學(xué)生認(rèn)為“圖形越大，內(nèi)角和就越大”“圖形的每條邊變長(zhǎng)了，內(nèi)角和就變大了”。

通過(guò)這一研究可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生面對(duì)兩個(gè)不同的三角形或四邊形時(shí)，會(huì)先關(guān)注這兩個(gè)圖形之間大小這樣的顯著特征。圖形大小的變化影響了學(xué)生對(duì)內(nèi)角和的判斷。類似于這種“圖形越大，內(nèi)角和越大”的直覺(jué)現(xiàn)象極其普遍，因此常被稱為“越—越（More-More）”直覺(jué)規(guī)律。

1984年，?？怂孤汪敹嗫耍‵oxman， Ruddock）對(duì)五年級(jí)學(xué)生進(jìn)行角大小比較的測(cè)試，任務(wù)中分別呈現(xiàn)了兩個(gè)邊長(zhǎng)不同的角，要求學(xué)生判斷角的大小。在已知角的大小與畫出的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)的情況下，仍有33%的學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤，認(rèn)為“邊長(zhǎng)越長(zhǎng)，角越大”。

1997年，阿扎哈里（Azhari）針對(duì)1、3、5、7、9年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行面積與周長(zhǎng)的測(cè)試。通過(guò)觀察圖片，比較左邊長(zhǎng)方形與右邊多邊形的周長(zhǎng)（[P1，P2]），如圖4所示。學(xué)生認(rèn)為[P1>P2]的比例分別為75%、73%、75%、70%、70%。在圖中，學(xué)生可以準(zhǔn)確地判斷出由于從長(zhǎng)方形中分割出了一個(gè)小矩形，所以左邊長(zhǎng)方形的面積大于右邊多邊形的面積。因?yàn)槊娣e變小了，因此周長(zhǎng)變小了。

這種極具普遍性的直覺(jué)規(guī)律具有自信（confidence）、頑固（perseverance）、整體（globality）、強(qiáng)制（coerciveness）和可預(yù)見(jiàn)（predictive power）的特征。這些特征深深地影響了學(xué)生的判斷，造成了學(xué)習(xí)中的誤解。盡管結(jié)果與常規(guī)學(xué)習(xí)的結(jié)果相反，學(xué)生仍會(huì)非常自信地使用直覺(jué)規(guī)律，并堅(jiān)定自己被直覺(jué)規(guī)律支配的錯(cuò)誤判斷。這也是誤解根植于學(xué)生心目中的重要原因之一。直覺(jué)規(guī)律的頑固性也直接影響著學(xué)生錯(cuò)誤的出現(xiàn)。學(xué)生會(huì)根據(jù)已有的生活、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)不斷認(rèn)可心中的直覺(jué)規(guī)律，在面對(duì)新的學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，習(xí)慣性地使用它。直覺(jué)與邏輯相反，是對(duì)整體的認(rèn)知，是循序的、分析的。[2]直覺(jué)規(guī)律的整體性體現(xiàn)在學(xué)生對(duì)任務(wù)的認(rèn)知方式上。學(xué)生關(guān)注任務(wù)本身的整體特征，通過(guò)感知與分析得出最后的結(jié)論。直覺(jué)規(guī)律對(duì)個(gè)體的推理策略以及對(duì)假設(shè)和解決方式的選擇施加強(qiáng)制作用。[3]這意味著學(xué)生傾向于拒絕接受那些會(huì)違背其直覺(jué)的解釋。例如，學(xué)生甚至成年人都相信“越乘越大”和“越除越小”，他們從小就習(xí)慣了這種信念。后來(lái)，即使在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的概念之后，仍然持有相同的信念。顯然，這不再是正確的。除此之外，直覺(jué)規(guī)律還具有很強(qiáng)的預(yù)測(cè)能力。教師在了解直覺(jué)規(guī)律的作用機(jī)制后，能夠從思維層面了解學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的誤解，預(yù)見(jiàn)學(xué)生的反應(yīng)。

因此，教師可以從誤解的角度改善教學(xué)活動(dòng)。在注重呈現(xiàn)三角形內(nèi)角和等于180°的同時(shí)，意識(shí)到學(xué)生心中存在“三角形越大，內(nèi)角和越大”的誤解。教師可以通過(guò)布置任務(wù)的方式，讓學(xué)生思考產(chǎn)生這樣誤解的原因。以小組合作的方式組織教學(xué)，首先出示上文中的三個(gè)任務(wù)，讓學(xué)生快速地通過(guò)直覺(jué)進(jìn)行判斷，呈現(xiàn)出錯(cuò)誤。接著，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考并討論出現(xiàn)這樣錯(cuò)誤的原因。通過(guò)小組探究，總結(jié)出直覺(jué)規(guī)律，在今后的學(xué)習(xí)中盡量避免此類錯(cuò)誤的產(chǎn)生。同時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生不僅依賴于任務(wù)的外部特征，更要觀察變中的不變，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，批判性地看待自己的答案，發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知評(píng)價(jià)能力。同時(shí)，針對(duì)“越—越”規(guī)律分析其適用性，揭示利用直覺(jué)規(guī)律解決問(wèn)題的局限性。

利用直覺(jué)規(guī)律能夠了解學(xué)生的思維規(guī)律，找出學(xué)生存在的誤解，預(yù)見(jiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤。從直覺(jué)的角度出發(fā)，可以幫助教師理解錯(cuò)誤的合理性，準(zhǔn)確地診斷學(xué)生的困難所在，更有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Efrain Fischbein. Educational Studies in Mathematics： Intuition and schema in mathematical reasoning [M]. The Netherland： Kluwer Academic Publishers，1999：14.

[2]Efrain Fischbein. Educational Studies in Mathematics： Intuition and schema in mathematical reasoning [M]. The Netherland： Kluwer Academic Publishers，1999：30.

[3]Efrain Fischbein. Educational Studies in Mathematics： Intuition and schema in mathematical reasoning [M]. The Netherland： Kluwer Academic Publishers，1999：29.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）