劉晨曦

【摘要】文章以平面幾何的學(xué)習(xí)為例，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法進(jìn)行探析，主要從平面幾何知識(shí)概述、平面幾何的難點(diǎn)以及學(xué)習(xí)過(guò)程中的問(wèn)題點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的建議等方面進(jìn)行分析和闡述。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；平面幾何；學(xué)習(xí)難點(diǎn)；現(xiàn)存問(wèn)題點(diǎn)；對(duì)策方案

一、引言

平面幾何主要考查的是學(xué)生的空間幾何想象能力，在試卷中出現(xiàn)的一般都是證明類問(wèn)題，一般設(shè)置難度不大，但對(duì)學(xué)生的想象能力與空間思維能力要求較高。在考試過(guò)程中如果學(xué)生找不準(zhǔn)解題的核心或思維能力過(guò)差而需要解題的時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，會(huì)造成平面幾何分?jǐn)?shù)過(guò)低，影響后面做題的情況。尤其相較于函數(shù)等內(nèi)容，平面幾何更偏重想象與證明邏輯，想象好了就容易得分，缺乏思維的創(chuàng)造能力就會(huì)得分困難。

二、平面幾何知識(shí)概述

（一）平面幾何概念

從概念上來(lái)講，平面幾何是指歐幾里得的著作《幾何原本》中構(gòu)建的幾何學(xué)，也稱為“歐幾里得幾何”，涵蓋了平面上圓錐曲線以及直線的各種性質(zhì)，包括幾何結(jié)構(gòu)與度量性質(zhì)（包括面積、長(zhǎng)度、角度）。雖然在學(xué)習(xí)過(guò)程中各性質(zhì)都有具體的公式，但這些公式往往是由解析幾何構(gòu)造出來(lái)，而非公理化形式。

（二）平面幾何常用知識(shí)點(diǎn)

一般來(lái)說(shuō)，初中學(xué)習(xí)過(guò)程中包括點(diǎn)、線、面的關(guān)系與內(nèi)容。具體來(lái)說(shuō)有以下內(nèi)容。

相交線與平行線：對(duì)頂角的性質(zhì)；垂線的性質(zhì)；平行公理；平行線的三條性質(zhì)與三項(xiàng)判定。

三角形：中線、高線；三邊關(guān)系；穩(wěn)定性；內(nèi)角和180度；外角性質(zhì)；多邊形的性質(zhì)（外角和360度、內(nèi)角和公式、對(duì)角線條數(shù)公式）。

全等三角形：判定方法（SSS、ASA、SAS、HL）、角平分線與判定、軸對(duì)稱（軸對(duì)稱圖形、線段的垂直平分線、軸對(duì)稱變換、等腰三角形、等邊三角形等）。

勾股定理： ，其中 、 分別為直角邊， 為斜邊；逆定理（三角形三邊滿足 的話，三角形是直角三角形）。

四邊形：內(nèi)角和與外角和、性質(zhì)與判定（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）、中位線（三角形與梯形）、輔助線。

圓：弦、直徑、?。▋?yōu)弧、劣弧）、半圓、圓心角性質(zhì)、垂徑定理（垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。┘巴普?、點(diǎn)線與圓的位置關(guān)系的判斷、切線等。

高中部分：射影定理、中線定理、垂線定理、角平分線定理等，主要作為解析幾何題出現(xiàn)在高中試卷上，尤其圓錐曲線，以幾何知識(shí)為出發(fā)點(diǎn)，考查計(jì)算能力。

三、平面幾何的難點(diǎn)以及學(xué)習(xí)過(guò)程中容易出現(xiàn)的問(wèn)題點(diǎn)

（一）學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)的難點(diǎn)

學(xué)生推導(dǎo)能力薄弱。早在小學(xué)，學(xué)生就已經(jīng)對(duì)平面幾何的相關(guān)定理有所了解，但小學(xué)的幾何學(xué)習(xí)都停留在借助直觀觀察以及定理背誦來(lái)加以學(xué)習(xí)，而不是通過(guò)推導(dǎo)。所以學(xué)生在初中進(jìn)一步系統(tǒng)學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)往往會(huì)在推導(dǎo)過(guò)程中產(chǎn)生較大難點(diǎn)，很容易出現(xiàn)學(xué)習(xí)平面幾何只為了做題但一到問(wèn)推導(dǎo)的環(huán)節(jié)卻一問(wèn)三不知的情況。尤其初中階段的推導(dǎo)思維沒(méi)有打好基礎(chǔ)，很難在高中的深入學(xué)習(xí)中得到更好發(fā)揮。

平面幾何中的知識(shí)點(diǎn)較為繁雜，尤其是幾何題目中將三角形與圓結(jié)合到一起時(shí)，難度大幅提高。這類題目尤其考查學(xué)生在各定理之間的思維轉(zhuǎn)換，并需要有連貫的思維方式。而高中階段的平面幾何比起初中來(lái)說(shuō)引入了更多的平面幾何知識(shí)，同時(shí)還需要學(xué)生具有較強(qiáng)的計(jì)算能力，比如學(xué)生需要基于向量進(jìn)行更多轉(zhuǎn)換，并進(jìn)行各圓錐曲線的公式計(jì)算，難度驟增。

（二）學(xué)習(xí)過(guò)程中的問(wèn)題點(diǎn)

學(xué)生缺乏興趣與信心。興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的最好老師，只有具備了興趣才有探索知識(shí)的動(dòng)力。平面幾何題目具有其特性，學(xué)生一旦沒(méi)有思路就會(huì)卡在開(kāi)頭，無(wú)從下手；而在解析幾何中即使有了思路，計(jì)算能力不好也無(wú)法得高分。平面幾何題目的難度之大，極容易讓學(xué)生喪失學(xué)習(xí)的興趣，更嚴(yán)重的還會(huì)影響到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

教師不能較好地利用課堂。學(xué)生很大程度上對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知是來(lái)源于課堂的，尤其是教師的教學(xué)水平、人格魅力與思維方式會(huì)直接或間接影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與思維方式，進(jìn)而影響學(xué)習(xí)效果。現(xiàn)在許多教師傾向于以完成教學(xué)目標(biāo)為基準(zhǔn)開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，忽略了需要花費(fèi)時(shí)間營(yíng)造課堂氛圍與課外知識(shí)拓展，導(dǎo)致教學(xué)效果不佳。

四、針對(duì)上述難點(diǎn)與問(wèn)題點(diǎn)本文提出的對(duì)應(yīng)建議

針對(duì)上述難點(diǎn)與問(wèn)題點(diǎn)，本文提出下列對(duì)策，希望能夠幫助學(xué)生更好學(xué)習(xí)。

（一）借助工具來(lái)培養(yǎng)想象思維能力

所謂“工具”，可以是趣味性的折紙、拼搭圖形等方式，也可以是多媒體技術(shù)方式。最好的學(xué)習(xí)效果應(yīng)該建立在“課堂上教師利用多媒體對(duì)學(xué)生進(jìn)行展示，還可以利用軟件對(duì)幾何圖形進(jìn)行建模；課堂下學(xué)生自己通過(guò)動(dòng)手來(lái)模擬圖形加強(qiáng)對(duì)空間狀態(tài)的感知與想象”這一創(chuàng)造性的模式之上。這樣一來(lái)，學(xué)生可以最大化利用到協(xié)助性工具幫助培養(yǎng)自己的思維。比如幫助學(xué)生認(rèn)知角的平分線時(shí)，可以利用多媒體的flash動(dòng)畫，課下讓學(xué)生動(dòng)手折紙練習(xí)（拿一矩形狀紙張，在一個(gè)角處進(jìn)行對(duì)折）。這樣的模式可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與積極性，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)習(xí)平面幾何的興趣。這一優(yōu)勢(shì)在學(xué)習(xí)向量時(shí)尤為明顯，利用flash動(dòng)畫，將向量的走向以最明顯的動(dòng)態(tài)展示出來(lái)，讓學(xué)生的思考方式更為直觀。

（二）高效利用網(wǎng)絡(luò)資源

相較于高中時(shí)間緊張，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間較多，為學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)充足的資源進(jìn)行學(xué)習(xí)提供可行性。現(xiàn)階段網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)資源較多，學(xué)生可以在條件允許的情況下，多聽(tīng)一些具有啟發(fā)性的網(wǎng)絡(luò)課程，借鑒老師的思考方式來(lái)豐富自己的思考方法，幫助自己更好地解題。尤其如果是碰到老師教學(xué)方式忽略學(xué)生的主體地位的情況時(shí)，更需要學(xué)生自行學(xué)習(xí)，以自身勤奮彌補(bǔ)課堂效果不足。

（三）用獨(dú)特的思維方式學(xué)習(xí)幾何

幾何不同于函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)，它使得解決問(wèn)題的策略能夠從計(jì)算為主演變成從概念、定理與條件出發(fā)并利用一定邏輯思考能力加以解決。那么學(xué)習(xí)幾何也需要著重鍛煉它所考查的能力。學(xué)生可以通過(guò)練習(xí)競(jìng)賽題來(lái)培養(yǎng)自己的思維，尤其需要注意輔助線的強(qiáng)大作用。雖說(shuō)平面幾何考查的是學(xué)生的創(chuàng)造力與想象力，但這些創(chuàng)造性能力也是需要長(zhǎng)久練習(xí)和經(jīng)驗(yàn)積累得來(lái)的。

（四）探尋知識(shí)本源，拓寬知識(shí)面

解題的目的在于進(jìn)一步掌握所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，而不是只得出答案。日常的學(xué)習(xí)也是如此，從概念與公式一直要深入到其本質(zhì)中去，確保自己掌握的不只是公式，而是自己所學(xué)內(nèi)容構(gòu)建起來(lái)的體系以及自己利用這個(gè)體系解決問(wèn)題的能力。此外，學(xué)習(xí)過(guò)程中還應(yīng)根據(jù)好奇心再自行拓展，比如平面幾何中，就可以以定理為出發(fā)點(diǎn)，探究一些數(shù)學(xué)中的奇妙現(xiàn)象，梅氏線、賽瓦點(diǎn)等就是很好的例子。學(xué)生自己在課外多掌握一些知識(shí)點(diǎn)和定理，有時(shí)可以直接節(jié)省做選擇題時(shí)間，幫助學(xué)生投入更多時(shí)間在更多題目上。

（五）自行思考，勤問(wèn)勤學(xué)

數(shù)學(xué)是一門經(jīng)常容易碰到難題的科目，尤其碰到不懂的題目時(shí)，學(xué)生務(wù)必要多思考，在自己用盡方法后再選擇詢問(wèn)他人指導(dǎo)，如果自己不去思考，那么數(shù)學(xué)能力永遠(yuǎn)也得不到本質(zhì)上的提高。以平面幾何題目為例，如果碰到證明題，思考完怎樣解題后還需要多問(wèn)問(wèn)自己幾個(gè)問(wèn)題，比如“這道題還有沒(méi)有更便捷的方法？這道題考查的內(nèi)容是什么？涉及的知識(shí)點(diǎn)我有沒(méi)有不熟悉的？如果換用別的方法出現(xiàn)障礙怎么解決？ 這道題得到的結(jié)論是否能夠?qū)ξ乙院蟮慕忸}有所幫助？”等等。此外，學(xué)生要在課下與教師多溝通，多聊一聊關(guān)于科目的竅門等，從經(jīng)驗(yàn)豐富的教師處學(xué)習(xí)總結(jié)能夠?yàn)榧核玫募记墒呛苡行Ч摹?/p>

（六）利用思維游戲鍛煉自己的思維能力

不論是書籍還是網(wǎng)絡(luò)，學(xué)生都能從中查到很多思維游戲的相關(guān)資料，其中有各種關(guān)于推理或者視覺(jué)的思維游戲，反應(yīng)速度慢、推理過(guò)程長(zhǎng)的學(xué)生在平時(shí)就可以通過(guò)玩思維游戲的方式進(jìn)一步提高自己的推理能力與想象能力，利用趣味性和益處并存的方式間接鍛煉到自己的平面幾何能力。

五、結(jié)束語(yǔ)

綜上，本文對(duì)初高中數(shù)學(xué)平面幾何的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了總結(jié)，并對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程中存在的難點(diǎn)與問(wèn)題點(diǎn)加以分析，針對(duì)前述問(wèn)題，提出高效利用工具等措施來(lái)跨越學(xué)習(xí)障礙，讓學(xué)生以平面幾何的學(xué)習(xí)過(guò)程為參考進(jìn)一步優(yōu)化自己對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解，切實(shí)提高自己的數(shù)學(xué)成績(jī)。平面幾何雖難，但學(xué)生只要有有正確的學(xué)習(xí)方法與長(zhǎng)久堅(jiān)持的練習(xí)，所有的問(wèn)題都將迎刃而解。

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