耿云芬

（云南省昆明市呈貢區(qū)第二小學(xué) 云南昆明 650500）

數(shù)學(xué)是講求邏輯的，是思維性的科學(xué)。但從各種事實(shí)證明，數(shù)學(xué)的許多新發(fā)現(xiàn)、新發(fā)明是在猜想、證明之后產(chǎn)生的。而合情推理是猜想、證明的先導(dǎo)。我要與大家一起探討的就是基于直覺(jué)思維基礎(chǔ)上的合情推理。

一、合情推理及其相關(guān)內(nèi)容

合情推理按字面理解就是合乎人的情理的推理，是直覺(jué)的反映。其主要特點(diǎn)是：推理依據(jù)的條件和結(jié)論之間的關(guān)系不一定具有邏輯性而僅僅依靠直覺(jué)。

數(shù)學(xué)中的合情推理是多種多樣的，其中不完全歸納推理和類比推理是兩種用途最廣的特殊合情推理。①不完全歸納推理是根據(jù)考察一類事物的部分對(duì)象具有某一屬性，而作出該類事物都具有這一屬性的一般結(jié)論的推理。②類比推理是通過(guò)對(duì)兩個(gè)或兩類不同的對(duì)象進(jìn)行比較，找出它們的相似點(diǎn)，近似程度，然后，以此為根據(jù)，把其中某一對(duì)象的有關(guān)知識(shí)或結(jié)論推移到另一對(duì)象中去，這就是類比推理。

二、合情推理在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義

首先，是實(shí)施新課標(biāo)的需要。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確：歸納和類比是合情推理的主要形式，并指出：第一學(xué)段“初步學(xué)會(huì)選擇有用的信息進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納和類比”，第二學(xué)段“進(jìn)行歸納、類比與猜測(cè)，發(fā)展初步的合情推理能力”，第三學(xué)段“體會(huì)證明的必要性，發(fā)展初步的演繹推理能力”。其目的是有序地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，但小學(xué)階段以發(fā)展學(xué)生初步的合情推理能力為主要目標(biāo)。其次，是由小學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知特點(diǎn)決定的。鑒于小學(xué)生的年齡與認(rèn)知特點(diǎn)，他們不可能通過(guò)嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)的邏輯推理來(lái)發(fā)現(xiàn)和掌握數(shù)學(xué)規(guī)律和知識(shí)。因此，在教學(xué)中大量地采用合情推理的方法。

再次，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程要求。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，應(yīng)給學(xué)生提供具有充分再創(chuàng)造的通道，以激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造的活動(dòng)。把數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程展開(kāi)、還原，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、類比……即合情推理提出猜想，再驗(yàn)證出猜想正確或錯(cuò)誤。

三、合情推理的兩種基本形式及小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用

1.不完全歸納法

從特殊到一般，從個(gè)別事物中概括出一般規(guī)律，一般使用不完全歸納法。

（1）歸納定律

兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，等于把這兩個(gè)加數(shù)分別同這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)積加起來(lái)，結(jié)果不變。這就是乘法分配律。

（2）發(fā)現(xiàn)規(guī)律

歸納出：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外）商不變。

（3）抽象數(shù)量關(guān)系

如：一本書(shū)15元，3本書(shū)多少元？列式：15×3=45（元）

一個(gè)杯子8元，9個(gè)杯子多少元？列式：8×9=72（元）

……

歸納出：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量

（4）找到解題技巧，提高解決問(wèn)題的能力

例如 計(jì)算小于1000的所有自然數(shù)的和

本題實(shí)際上是求 1+3+5+7+9+……+997+999的和

在自然數(shù)1～1000中奇偶數(shù)的個(gè)數(shù)各占一半，所以上面的算式共有500個(gè)奇數(shù)相加。

我們歸納發(fā)現(xiàn)：從1開(kāi)始連續(xù)n個(gè)奇數(shù)的和恰好等于n2。

因此得到：1+3+5+7+9+……+997+999=5002

不完全歸納法可以幫助人們?nèi)グl(fā)現(xiàn)真理，啟發(fā)人們猜想，但結(jié)論具有或然性，這是不完全歸納法的兩重性：可以得到偉大的發(fā)現(xiàn)。

不可否認(rèn)的是：雖然不完全歸納法的結(jié)論具有或然性，但它是探究數(shù)學(xué)規(guī)律的重要方法。在教學(xué)中，尤其是在低年級(jí)教學(xué)中不完全歸納法有廣泛的應(yīng)用。要教給學(xué)生一些知識(shí)而又不想進(jìn)行嚴(yán)格邏輯證明時(shí)，一般都采用不完全歸納法。

2.類比推理法

因?yàn)轭惐韧评硎窃试S在不知它們之間是否有必然聯(lián)系的前提下進(jìn)行的。因此，同樣是運(yùn)用類比推理得出的結(jié)論，有的可能是正確的，有的則可能是錯(cuò)誤的。在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)經(jīng)過(guò)類比的結(jié)論必須由實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，或用其它論證方法予以證明。

例如：在推到圓錐的體積公式時(shí)，由于學(xué)生已經(jīng)具有圓柱的體積知識(shí)，教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察等底等高的圓柱和圓錐。再讓學(xué)生猜想等底等高的圓柱和圓錐的體積有什么關(guān)系？學(xué)生通過(guò)觀察、比較、歸納、類比……即合情推理提出猜想。于是老師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證自己的猜想，最后得出結(jié)論：圓錐的體積等于等底等高的圓柱體積的三分之一。我們通過(guò)合情推理提出猜想，再通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得到結(jié)論，推到出圓錐的體積公式。掌握知識(shí)的過(guò)程符合小學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律。

新課程改革要求學(xué)生全面發(fā)展，不僅要掌握知識(shí)，還要會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力。使學(xué)生能夠根據(jù)數(shù)學(xué)的直覺(jué)得到一些數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)，從而讓學(xué)生品嘗到一些成功的喜悅，提高他們對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)熱情和信心。這可以提高課堂教學(xué)質(zhì)量，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。