■張舜耕

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

(一)理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義,并了解如下可作為推理依據(jù)的公理和定理

公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)。

公理2:過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。

公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。

公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

定理:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

(二)以上述公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理

1.理解以下判定定理。

(1)如果平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行。

(2)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行,那么這兩個(gè)平面平行。

(3)如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么該直線與此平面垂直。

(4)如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面垂直。

2.理解以下性質(zhì)定理,并能夠證明。

(1)如果一條直線與一個(gè)平面平行,那么經(jīng)過(guò)該直線的任一平面與此平面的交線和該直線平行。

(2)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。

(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

(4)如果兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

二、知識(shí)講解

(一)空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系

空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系主要體現(xiàn)在立體幾何的四個(gè)公理,其中兩條異面直線所成的角是重點(diǎn),同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意把握以下兩點(diǎn):

1.平面是基礎(chǔ)的幾何概念之一,刻畫平面的三個(gè)公理是立體幾何公理體系的基石,是研究空間圖形問(wèn)題及進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)。公理1是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù);公理2給出了確定一個(gè)平面的依據(jù);公理3是判定兩個(gè)平面交線位置的依據(jù);公理4表明了平行線的傳遞性(三條直線可以不在同一平面內(nèi)),可以作為判斷空間兩條直線平行的依據(jù),同時(shí)它還給出了空間兩條直線平行的一種證法,其重要作用是證明等角定理。

2.與異面直線相關(guān)的概念是異面直線所成的角及兩條異面直線互相垂直,要注意的是異面直線所成的角的范圍是(0°,90°]。

例1 設(shè)a,b是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,則下列命題錯(cuò)誤的是( )。

A.若a⊥α,b⊥a,則b∥α

B.若α∥β,α⊥γ,則β⊥γ

C.若a∥b,a⊥α,則b⊥α

D.若α∥γ,β∥γ,則α∥β

解：A項(xiàng)有可能b?α,此項(xiàng)錯(cuò)誤;B項(xiàng)命題可敘述為“若兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面垂直于第三個(gè)平面,那么另一個(gè)平面也垂直于第三個(gè)平面”,此項(xiàng)正確;C項(xiàng)命題可敘述為“若兩條平行線中有一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面”,此項(xiàng)正確;D項(xiàng)命題可敘述為“平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行”,此項(xiàng)正確。故選A。

評(píng)注:本題考查了對(duì)空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系的理論推導(dǎo),同時(shí)也考查了對(duì)文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化與利用能力,以及靈活選擇不同的信息條件進(jìn)行信息處理與分析的能力。依據(jù)問(wèn)題特點(diǎn),采用取特殊幾何體、間接排除等方法,是快速解答立體幾何選擇題和填空題的首選方法。

例2 已知一個(gè)正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為,則這個(gè)正六棱柱的側(cè)面對(duì)角線E1D與BC1所成的角是____。

解：(圖略)連接E1F,則E1F∥BC1,所以此正六棱柱的側(cè)面對(duì)角線E1D與BC1所成的角即為∠DE1F。在△EDF中,過(guò)E作EH⊥DF,垂足為H,則EH=所以。又因?yàn)镋1D=E1F=EF2+E1E2=,所以△E1DF為正三角形,所以此正六棱柱的側(cè)面對(duì)角線E1D與BC1所成的角是60°。

評(píng)注:求兩條異面直線所成的角的解題思路是把空間兩條異面直線通過(guò)平移,轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條相交直線所成的角來(lái)解答,其中平移是求角的關(guān)鍵。

(二)空間線、面平行的判斷與證明

空間線、面平行的判定和性質(zhì)定理共有四個(gè),同學(xué)們一定要牢記,并在訓(xùn)練中逐步加深對(duì)它們的理解,做到應(yīng)用準(zhǔn)確、轉(zhuǎn)化靈活?？臻g直線和直線平行、直線和平面平行、平面和平面平行,三者之間有著互為因果、密不可分的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系,因此,在判定空間線、面平行時(shí),不可孤立地對(duì)待,要將三者聯(lián)系起來(lái),由其中的任何一種位置關(guān)系都要能自然地聯(lián)想到另外兩種位置關(guān)系。

例3 設(shè)m,n是平面α內(nèi)的兩條不同直線,l1,l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線,則α∥β的一個(gè)條件是( )。

A.m∥β且l1∥α

B.m∥l1且n∥l2

C.m∥β且n∥β

D.m∥β且n∥l2

解：當(dāng)α∩β=l且m∥l,l1∥l時(shí),滿足m∥β且l1∥α,排除A項(xiàng);由m∥l1且n∥l2,得l1∥α,l2∥α,再由平面和平面平行的判定定理可知B項(xiàng)正確;當(dāng)m∥n時(shí),不一定推出α∥β,C項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)m∥n∥l2時(shí),m∥β,但推不出α∥β,D項(xiàng)錯(cuò)誤。故選B。

評(píng)注:本題考查了對(duì)空間線、面平行的判斷及理論推導(dǎo)。通過(guò)判斷命題的正誤考查空間線、面平行關(guān)系是一種常見的題型,判斷時(shí)主要依據(jù)平行關(guān)系的定義、判定定理等,列舉正反例來(lái)判斷也是一種十分有效的方法。

例4 如圖1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn)。

圖1

(1)求證:B,C,H,G四點(diǎn)共面。

(2)求證:平面EFA1∥平面BCHG。

證明：(1)因?yàn)镚H是△A1B1C1的中位線,所以GH∥B1C1。又因?yàn)锽1C1∥BC,所以GH∥BC。所以B,C,H,G四點(diǎn)共面。

(2)因?yàn)镋,F分別為AB,AC的中點(diǎn),所以EF∥BC。因?yàn)镋F?平面BCHG,BC?平面BCHG,所以EF∥平面BCHG。因?yàn)锳1G∥EB,所以四邊形A1EBG是平行四邊形,所以A1E∥GB。因?yàn)锳1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG。又因?yàn)锳1E∩EF=E,所以平面EFA1∥平面BCHG。

評(píng)注:空間線、面平行的證明是高考的熱點(diǎn)題型,往往是以多面體(棱柱、棱錐等)為載體進(jìn)行考查的。解決這類問(wèn)題時(shí),應(yīng)熟練掌握空間線、面平行的判定定理與性質(zhì)定理,掌握常見題型的證明方法,善于作出恰當(dāng)?shù)妮o助線。同時(shí)要樹立一種數(shù)學(xué)思想,即轉(zhuǎn)化思想。

(三)空間線、面垂直的判斷與證明

空間線、面垂直的判定和性質(zhì)定理也有四個(gè),大家要注意它們和空間線、面平行的四個(gè)定理的區(qū)別與聯(lián)系。解答空間線、面垂直的問(wèn)題時(shí),常?？梢岳蒙磉叺奈矬w列舉正反例來(lái)判斷,如教室是六面體,紙是平面,筆是直線,將紙對(duì)折是二面角等。

例5 下列命題中為真命題的是( )。

①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行,那么這兩個(gè)平面平行;②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面垂直;③垂直于同一條直線的兩條直線平行;④若兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直。

A.①和② B.②和③

C.③和④ D.②和④

解：對(duì)于①,只有這兩條直線相交時(shí)才滿足條件,①錯(cuò)誤;由面面垂直的判定定理可知②正確;垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交,也可能異面,③錯(cuò)誤;對(duì)于④,若這條直線與另一個(gè)平面垂直,則它垂直于平面內(nèi)的所有直線,也就與交線垂直,這與題設(shè)矛盾,④正確。故選D。

評(píng)注:通過(guò)判定命題的正誤考查空間線、面之間的位置關(guān)系是一種常見的題型,直線和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理是判定直線、平面垂直的主要依據(jù)。本題考查了對(duì)空間線、面垂直(平行)的空間想象能力及理論推導(dǎo),準(zhǔn)確掌握定理所滿足的條件是判斷的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。同時(shí),取特殊幾何體、反例排除、反證推斷等,也是解答這類判斷題的有效方法。

例6 如圖2,△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,CE=CA=2BD,M是EA的中點(diǎn)。

圖2

(1)求證:DE=DA。

(2)求證:平面BDM⊥平面ECA。

解：(1)如圖2,取EC的中點(diǎn)F,連接DF。因?yàn)镋C⊥平面ABC,BD∥CE,得DB⊥平面ABC,所以DB⊥AB,EC⊥BC。因?yàn)锽D∥CF,BD=CE=CF,所以四邊形FCBD是矩形,DF⊥EC。又因?yàn)锽A=BC=DF,所以Rt△DEFRt△ADB,所以DE=DA。

(2)取AC的中點(diǎn)N,連接MN、NB。因?yàn)镸是EA的中點(diǎn),所以MNEC。由BDEC,BD⊥平面ABC,可得四邊形MNBD是矩形,于是DM⊥MN。因?yàn)镈E=DA,M是EA的中點(diǎn),所以DM⊥EA。又因?yàn)镋A∩MN=M,所以DM⊥平面ECA。而DM?平面BDM,故平面BDM⊥平面ECA。

評(píng)注:空間線、面垂直的證明也是高考的熱點(diǎn)題型,往往是以多面體(棱柱、棱錐等)為載體進(jìn)行考查的。解決這類問(wèn)題時(shí),應(yīng)熟練掌握垂直的判定定理與性質(zhì)定理,掌握常見題型的證明方法,善于作出恰當(dāng)?shù)妮o助線。同時(shí)要樹立和強(qiáng)化一種數(shù)學(xué)思想,即轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化思想是解答立體幾何問(wèn)題時(shí)運(yùn)用最多的數(shù)學(xué)思想,證明垂直就是線線、線面、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化,由低維垂直證明高維垂直往往用判定定理,反之用性質(zhì)定理。

(四)空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系中開放性、存在性命題

一般地,我們把雖給出明確條件但結(jié)論不確定,或雖給出了明確結(jié)論但條件不足或未知,或條件和結(jié)論均不明確的一類問(wèn)題稱為探索性問(wèn)題。這類問(wèn)題形式新穎、解法別致,能很好地考查同學(xué)們的觀察、分析、比較、概括和創(chuàng)新能力,是近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)題型。

例7 如圖3,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,側(cè)棱PA⊥底面ABCD。

圖3

(1)當(dāng)a為何值時(shí),BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論。

(2)當(dāng)a=4時(shí),求證:BC邊上存在一點(diǎn)M,使得PM⊥DM。

(3)若在BC邊上至少存在一點(diǎn)M,使PM⊥DM,求a的取值范圍。

解：(1)當(dāng)a=2時(shí),BD⊥平面PAC。證明如下:當(dāng)a=2時(shí),ABCD為正方形,所以BD⊥AC。因?yàn)镻A⊥底面ABCD,BD?平面ABCD,所以BD⊥PA。又因?yàn)锳C∩PA=A,所以BD⊥平面PAC。

(2)當(dāng)a=4時(shí),取BC邊的中點(diǎn)為M,AD邊的中點(diǎn)為N,連接AM、DM、MN。此時(shí)ABMN和DCMN 都是正方形,所以∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,即DM⊥AM。又因?yàn)镻A⊥底面ABCD,所以PA⊥MD,且PA,AM是平面PAM內(nèi)的相交直線,則PM⊥DM。故當(dāng)a=4時(shí),BC邊的中點(diǎn)M使得PM⊥DM。

(3)設(shè)M是BC邊上符合題設(shè)的點(diǎn)。因?yàn)镻A⊥底面ABCD,PM⊥DM,所以DM⊥AM。因此,點(diǎn)M是以AD為直徑的圓和BC邊相切的一個(gè)公共點(diǎn),則AD≥2AB,即a≥4為所求。

評(píng)注:本題考查了線與線、線與面垂直的證明,其中以動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化作為探索條件,考查同學(xué)們的空間想象能力和邏輯推理能力。

三、跟蹤練習(xí)

1.設(shè)a,b是異面直線,則下列命題正確的是( )。

A.過(guò)不在a,b上的任一點(diǎn),可作一條直線和a,b都相交

B.過(guò)不在a,b上的任一點(diǎn),可作一個(gè)平面和a,b都平行

C.過(guò)不在a,b上的任一點(diǎn),可作一個(gè)平面和a,b都垂直

D.過(guò)不在a,b上的任一點(diǎn),可作一條直線和a,b都垂直

2.如圖4,已知E,F分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AA1和CC1上的點(diǎn),且AE=C1F。求證:四邊形EBFD1是平行四邊形。

圖4

參考答案

1.提示:如圖5,以正方體 ABCDA1B1C1D1中兩條異面直線A1C1和BD為例,檢驗(yàn)四個(gè)選項(xiàng)的正確性。設(shè)A1C1對(duì)應(yīng)直線a,BD對(duì)應(yīng)直線b,點(diǎn)P是上底面直線a外的任一點(diǎn)。A項(xiàng),假設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線和a相交,則這條直線一定在上底面內(nèi),它無(wú)法和b相交,此項(xiàng)錯(cuò)誤;B項(xiàng),假設(shè)過(guò)點(diǎn)P可作一個(gè)平面與a,b都平行,則這個(gè)平面和A1C1,B1D1都平行,即和上底面平行,這顯然不可能,此項(xiàng)錯(cuò)誤;C項(xiàng),因?yàn)榇怪庇谕粋€(gè)平面的兩條直線平行,這與a,b是異面直線矛盾,此項(xiàng)錯(cuò)誤;D項(xiàng),可過(guò)a上任一點(diǎn)作b的平行線b",則a和b"可確定一個(gè)平面,則過(guò)不在a,b上的任一點(diǎn)的垂直于這個(gè)平面的直線和a,b都垂直,此項(xiàng)正確。故選D。

圖5

2.提示:如圖4,在棱DD1上作DG=AE,連接CG,EG,因?yàn)镈G∥AE,所以四邊形AEGD是平行四邊形,則EGADC,所以四邊形EGCB是平行四邊形,從而CGBE。同理可證CGD1,所以BEFD1,所以四邊形EBFD1是平行四邊形。