■吳傳葉

一、選擇題

1.已知平面α和直線l,則α內(nèi)至少有一條直線與l( )。

A.平行 B.相交

C.垂直 D.異面

2.已知a,b,c為三條不重合的直線,現(xiàn)有下列結(jié)論:①若a⊥b,a⊥c,則b∥c;②若a⊥b,a⊥c,則b⊥c;③若a∥b,b⊥c,則a⊥c。其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )。

A.0 B.1

C.2 D.3

3.若空間中n個不同的點兩兩之間的距離都相等,則正整數(shù)n的取值( )。

A.至多等于3 B.至多等于4

C.等于5 D.大于5

4.如圖1,平面α∩β=l,點A,B∈α,點C∈β,且點C?l,直線AB∩l=M,過A,B,C三點的平面記作γ,則γ與β的交線必通過( )。

A.點A B.點B

C.點C但不過點M D.點C和點M

5.已知a,b,c為三條不同的直線,且a?平面α,b?平面β,α∩β=c。

現(xiàn)有下列四個命題:

①若a與b是異面直線,則c至少與a,b中的一條相交;

②若a不垂直于c,則a與b一定不垂直;

③若a∥b,則必有a∥c;

④若a⊥b,a⊥c,則必有α⊥β。

其中正確命題的個數(shù)是( )。

A.0 B.1

C.2 D.3

6.設(shè)a,b是互不垂直的兩條異面直線,則下列命題成立的是( )。

A.存在唯一直線l,使得l⊥a,且l⊥b

B.存在唯一直線l,使得l∥a,且l⊥b

C.存在唯一平面α,使得a?α,且b∥α

D.存在唯一平面α,使得a?α,且b⊥α

7.如圖2,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點,則下列說法錯誤的是( )。

圖2

A.MN與CC1垂直

B.MN與AC垂直

C.MN與BD平行

D.MN與A1B1平行

8.已知m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,則下列命題中正確的是( )。

A.m∥α,n∥α,則m∥n

B.m∥n,m∥α,則n∥α

C.m⊥α,m⊥β,則α∥β

D.α⊥γ,β⊥γ,則α∥β

9.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,下列命題中正確的是( )。

A.若α⊥β,m?α,n?β,則m⊥n

B.若m⊥α,m∥n,n∥β,則α⊥β

C.若m⊥n,m?α,n?β,則α⊥β

D.若α∥β,m?α,n?β,則m∥n

10.設(shè)l是直線,α,β是兩個不同的平面,則下列說法正確的是( )。

A.若l∥α,l∥β,則α∥β

B.若l∥α,l⊥β,則α⊥β

C.若α⊥β,l⊥α,則l∥β

D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β

11.如圖3,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABCDEF,則下列結(jié)論不正確的是( )。

圖3

A.CD∥平面PAF

B.DF⊥平面PAF

C.CF∥平面PAB

D.CF⊥平面PAD

12.已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β。直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則( )。

A.α∥β且l∥α

B.α⊥β且l⊥β

C.α與β相交,且交線垂直于l

D.α與β相交,且交線平行于l

13.設(shè)a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則能得出a⊥b的是( )。

A.a⊥α,b∥β,α⊥β

B.a⊥α,b⊥β,α∥β

C.a?α,b⊥β,α∥β

D.a?α,b∥β,α⊥β

14.a,b,c表示不同的直線,M表示平面,給出下列四個命題:

①若a∥M,b∥M,則a∥b或a,b相交或a,b異面;②若b?M,a∥b,則a∥M;③若a⊥c,b⊥c,則a∥b;④若a⊥M,b⊥M,則a∥b。

其中正確的命題是( )。

A.①④ B.②③

C.③④ D.①②

15.已知m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,則下列命題中正確的是( )。

A.若α⊥γ,α⊥β,則γ∥β

B.若m∥n,m?α,n?β,則α∥β

C.若m∥n,m⊥α,n⊥β,則α∥β

D.若m∥n,m∥α,n∥β,則α∥β

16.設(shè)l,m,n表示不同的直線,α,β,γ表示不同的平面,給出下列四個命題:

①若m∥l,且m⊥α,則l⊥α;

②若m⊥l,m⊥α,則l∥α;

③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,則l∥m∥n;

④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,則l∥m。

其中正確命題的個數(shù)是( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

17.如圖4,在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分別與AB,BC,SC,SA交于點D,E,F,H。D,E分別是AB,BC的中點,如果直線SB∥平面DEFH,那么四邊形DEFH的面積為( )。

圖4

18.如圖5,在四面體ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么點D在平面ABC內(nèi)的射影點H必在( )。

圖5

A.直線AB上 B.直線BC上

C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部

19.已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=3,AB=4,若在棱AB上存在點P,使得D1P⊥PC,則AD的取值范圍是( )。

A.(0,1] B.(0,2]

20.如圖6所示,三棱錐P-ABC的底面在平面α內(nèi),且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,點P,A,B是定點,則動點C的軌跡是( )。

圖6

A.一條線段

B.一條直線

C.一個圓

D.一個圓,但要去掉兩個點

21.如圖7所示,在四面體ABCD中,截面PQMN是正方形,則在下列結(jié)論中,錯誤的是( )。

圖7

A.AC⊥BD

B.AC∥截面PQMN

C.AC=BD

D.異面直線PM與BD所成的角為45°

二、填空題

22.設(shè)a,b為不重合的兩條直線,α,β為不重合的兩個平面,給出下列命題:

①若a?α,b?α,a,b是異面直線,那么b∥α;

②若a?α,b∥α,a,b共面,那么a∥b;

③若α∥β,a?α,則a∥β。

上面命題中,所有真命題的序號是____。

23.將一個真命題中的“平面”換成“直線”、“直線”換成“平面”后仍是真命題,則該命題稱為“可換命題”。給出下列四個命題:

①垂直于同一平面的兩直線平行;

②垂直于同一平面的兩平面平行;

③平行于同一直線的兩直線平行;

④平行于同一平面的兩直線平行。

其中是“可換命題”的是____。(填序號)

24.已知直線a,b,c,現(xiàn)有下面四個命題:

①若a,b異面,b,c異面,則a,c異面;

②若a,b相交,b,c相交,則a,c相交;

③若a∥b,則a,b與c所成的角相等;

④若a⊥b,b⊥c,則a∥c。

其中真命題的序號是____。

25.若四面體ABCD的三組對棱分別相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,則____(寫出所有正確結(jié)論的編號)。

①四面體ABCD每組對棱相互垂直;

②四面體ABCD每個面的面積相等;

③從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°;

④連接四面體ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分;

⑤從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長。

26.如圖8,在三棱錐S-ABC中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC是斜邊AB=a的等腰直角三角形。

圖8

現(xiàn)有以下結(jié)論:

①異面直線SB與AC所成的角為90°;

②直線SB⊥平面ABC;

③平面SBC⊥平面SAC;

其中正確結(jié)論的序號是____。

三、解答題

27.如圖9,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為梯形,AD∥BC,CD⊥BC,AD=2,AB=BC=3,PA=4,M為AD的中點,N為PC上一點,且PC=3PN。

圖9

(1)求證:MN∥平面PAB。

(2)求點M到平面PAN的距離。

28.如圖10,正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,FA⊥AC,EF∥AC,AB=2,EF=FA=1。

圖10

(1)求證:CE∥平面BDF。

(2)求證:BE⊥平面DEF。

29.如圖11,已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1,M是DD1的中點。

圖11

(1)求證:BD1∥平面AMC。

(2)求證:AC⊥BD1。

(3)在線段BB1上是否存在點P,當(dāng)=λ時,平面APC∥平面AMC?若存11在,求出λ的值,并證明;若不存在,請說明理由。