徐曦霞

復(fù)習(xí)課不如新授課有“新鮮感”，也不如練習(xí)課有“成就感”，一直受復(fù)習(xí)方法單一、題型缺乏創(chuàng)意、學(xué)生被動(dòng)參與等問題的困擾。如何使復(fù)習(xí)課更高效？筆者認(rèn)為，可以從滲透數(shù)學(xué)思想、提升核心素養(yǎng)入手，認(rèn)真分析學(xué)情、把握知識(shí)體系、精心設(shè)計(jì)素材、巧妙組織整理，將知識(shí)點(diǎn)串線結(jié)網(wǎng)，從而幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題。下面以人教版六上“圓的整理和復(fù)習(xí)”為例，談?wù)勅绾螛?gòu)建高效的復(fù)習(xí)課。

一、條分縷析，“分類抽象”追溯知識(shí)本源

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）在“總目標(biāo)”中要求學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，即有順序、有層次、全方位、邏輯性地思考。本課從“圓”的產(chǎn)生背景出發(fā)，喚醒學(xué)生認(rèn)知，按照“圓的認(rèn)識(shí)”和“圓的計(jì)算”將教學(xué)分成兩大類，再細(xì)分小類，并在隨后的梳理中構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

1. 請(qǐng)大家欣賞一組圖形：正方形→正六邊形→正八邊形→正十六邊形……這樣一直變下去，當(dāng)所有的邊都變成點(diǎn)再連起來時(shí)，會(huì)變成什么圖形？（課件演示）由方及圓，體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)中的極限思想。借助現(xiàn)代信息技術(shù)，再現(xiàn)劉徽的“割圓術(shù)”，即“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣?！彪S著邊數(shù)的不斷增加，正多邊形轉(zhuǎn)化為無限的圓內(nèi)接正多邊形，即“化方為圓”，用無限逼近的方式研究數(shù)量的變化趨勢(shì)。

2. 你想到關(guān)于圓的哪些知識(shí)？學(xué)生課前整理圓的相關(guān)知識(shí)，做成思維導(dǎo)圖，課上展示學(xué)生作品：分類式、表格式、樹狀式、圖畫式等。課堂上教師主要幫助學(xué)生重溫重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)把知識(shí)點(diǎn)歸類整理，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖（圖1），并引導(dǎo)學(xué)生在梳理的基礎(chǔ)上運(yùn)用知識(shí)、提升能力。讓學(xué)生在“存異—求同—優(yōu)化”的梳理過程中，實(shí)現(xiàn)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)和升華，促進(jìn)思維方式實(shí)現(xiàn)“無序—有序—科學(xué)”的發(fā)展。

二、抽絲剝繭，“對(duì)比辨析”突破知識(shí)難點(diǎn)

分類梳理后，以點(diǎn)帶面，針對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)，教師適時(shí)提出疑問，引導(dǎo)突破難點(diǎn)。這個(gè)環(huán)節(jié)往往是復(fù)習(xí)課的亮點(diǎn)，給相對(duì)沉悶的復(fù)習(xí)課注入活力，提升趣味性。教師不是簡(jiǎn)單地再現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)，而是要設(shè)計(jì)問題讓學(xué)生審視舊知、對(duì)比辨析，在解決問題中加深自身對(duì)知識(shí)的理解。

1. 判斷：大圓的圓周率比小圓的圓周率大。圓周率是圓的知識(shí)核心，表示圓的周長(zhǎng)與直徑之間的比值，它是一個(gè)常數(shù)。受之前學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的影響，有的學(xué)生會(huì)認(rèn)為圓周率的大小與圓的大小有關(guān)。借助動(dòng)態(tài)演示法，讓兩個(gè)大小不同的圓滾動(dòng)后，留下類似數(shù)軸的圖像進(jìn)行對(duì)比，標(biāo)示圓周率的位置，讓學(xué)生辨析。教師還可結(jié)合動(dòng)畫演示（半徑相同，圓周率分別取值3.14、π，繪制不封閉與封閉的圓）追問：“π與3.14，誰大？”意在強(qiáng)調(diào)平時(shí)用3.14來計(jì)算圓的周長(zhǎng)和面積，只是為了方便，3.14是π的一個(gè)近似數(shù)。

2. 判斷：半徑相等的半圓是圓面積的一半，那么半圓的周長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半。計(jì)算半圓的周長(zhǎng)是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)。學(xué)生容易受“半圓的面積計(jì)算”的負(fù)遷移，將半圓的周長(zhǎng)等同于圓周長(zhǎng)的一半，少算一條直徑的長(zhǎng)度。通過現(xiàn)場(chǎng)計(jì)算半徑為5厘米的半圓的周長(zhǎng)，與圖形演示相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知的突破。引導(dǎo)學(xué)生辨析周長(zhǎng)和面積是兩個(gè)維度的概念，借助幾何直觀，明確兩者之間的區(qū)別。

三、拓展延伸，“模型構(gòu)建”完善知識(shí)體系

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。上好復(fù)習(xí)課，能夠強(qiáng)化學(xué)生對(duì)模型思想的體驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)其知識(shí)水平與技能的提高，實(shí)現(xiàn)個(gè)人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升。

1. 半徑、直徑、周長(zhǎng)、面積之間的關(guān)系：根據(jù)給出的信息，完成表格（表略）?；A(chǔ)訓(xùn)練，類比遷移，知一求三，尋找聯(lián)系。溝通半徑、直徑、周長(zhǎng)、面積四者之間的關(guān)系，構(gòu)建關(guān)于圓的知識(shí)的數(shù)學(xué)模型。從常規(guī)地給出半徑或直徑及周長(zhǎng)，求另外三個(gè)數(shù)量入手，引導(dǎo)學(xué)生思考，能否根據(jù)給出的圓的面積計(jì)算出它的半徑、直徑及周長(zhǎng)。學(xué)生通過分析比較后，發(fā)現(xiàn)在特定的數(shù)據(jù)（面積除以π的商是一個(gè)平方數(shù)）下可以完成。這樣由淺入深，逐步構(gòu)建四者之間的模型，深化認(rèn)識(shí)。

2. 方圓關(guān)系：出示一個(gè)圓形鏡片（圖略）。教師提示：“既沒有給半徑和直徑，也沒有給周長(zhǎng)和面積，只告訴我們‘這個(gè)鏡片是在一塊邊長(zhǎng)為6 cm的正方形玻璃上切割出的一個(gè)最大的圓。你能幫老師算出裝飾鏡片邊框所需銅條的長(zhǎng)度嗎？能計(jì)算鏡片背面的保護(hù)套的面積嗎？”

解答的關(guān)鍵，在于理解本題是求鏡片的周長(zhǎng)和面積，并找出相應(yīng)的半徑或直徑。通過課件的動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生明白正方形的邊長(zhǎng)就是圓的直徑，進(jìn)而運(yùn)用“知一求三”的方法，得以解決現(xiàn)實(shí)問題。然后，溝通“方”“圓”之間的聯(lián)系，通過放大和縮小圖形，引發(fā)學(xué)生的猜想：正方形的面積與內(nèi)切圓的面積之間存在什么關(guān)系？它們的周長(zhǎng)呢？通過實(shí)際計(jì)算S正∶S圓=6×6∶（6÷2）2 π=36∶9π=4∶π；C正∶C圓=6×4∶6π=4∶π，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)正方形與內(nèi)切圓的面積比和周長(zhǎng)比都是4∶π，建立關(guān)系模型。教師還可以將該結(jié)論應(yīng)用到其他問題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的拓展運(yùn)用。

3. 先計(jì)算環(huán)形面積，再移動(dòng)環(huán)形中的小圓，分別計(jì)算陰影部分面積。如何計(jì)算環(huán)形面積（圖2）是本課另一個(gè)難點(diǎn)，當(dāng)題目?jī)H給出大圓半徑和小圓半徑時(shí)，學(xué)生直接借助模型——環(huán)形面積公式S=π（R2-r2）進(jìn)行計(jì)算并不難，但他們并未真正建構(gòu)相關(guān)模型。求環(huán)形面積，其中的數(shù)量關(guān)系本質(zhì)是求大小不同的兩圓的面積之差。不少學(xué)生在大腦中產(chǎn)生了環(huán)形一定是同心圓的思維定勢(shì)。本題可以通過課件的動(dòng)態(tài)演示，不斷移動(dòng)小圓得到形狀不同的陰影部分，讓學(xué)生直觀理解陰影部分面積都是大小圓的面積之差，只是相對(duì)位置改變，圖形面積大小不變，滲透“變與不變”的數(shù)學(xué)思想，完善數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)。

通過這樣的復(fù)習(xí)課，學(xué)生帶著知識(shí)進(jìn)入課堂，在數(shù)學(xué)思維的引領(lǐng)下，完成知識(shí)的整合、運(yùn)用和提升，再帶著收獲與思考離開課堂。整節(jié)課，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情高漲，有話可說、有理可辨，學(xué)習(xí)既有趣又高效！

（作者單位：福建省泉州市鯉城區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 本專輯責(zé)任編輯：王彬 陳本煌）