汪岑楚

摘 要：數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)的基本思想方法，也是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型具有多種表征方式如公式模型、方程模型、集合模型和函數(shù)模型等。數(shù)學(xué)模型教學(xué)既包括數(shù)學(xué)模型的積極建構(gòu)，也包括數(shù)學(xué)模型的靈活運(yùn)用。只有讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題到數(shù)學(xué)模型建構(gòu)再到數(shù)學(xué)模型解釋和運(yùn)用的全過程，才能賦予學(xué)生數(shù)學(xué)生命自然生長的力量。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；模型表征；模型建構(gòu)；模型運(yùn)用

模型思想是數(shù)學(xué)的基本數(shù)學(xué)思想方法。東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要就是抽象、推理與模型。作為一種基本數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值和意義是毋庸置疑的。從數(shù)學(xué)模型的視角看，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是不斷地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的過程。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要把握學(xué)生數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用。

一、數(shù)學(xué)模型：內(nèi)涵特質(zhì)與表征方式

所謂“數(shù)學(xué)模型”，是指用數(shù)學(xué)語言和方法對(duì)各種實(shí)際對(duì)象做出抽象、概括等數(shù)學(xué)化提煉而形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。研究表明，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型一般分為三步：一是從問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述、表達(dá)；二是分析數(shù)量關(guān)系并進(jìn)行數(shù)學(xué)化抽象、概括，建構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；三是運(yùn)用數(shù)學(xué)模型對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行求解。廣義地說，一切數(shù)學(xué)概念、公式、定理等都是數(shù)學(xué)模型；狹義地講，只有反映特定問題、事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才是數(shù)學(xué)模型。在中小學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型主要有這樣一些表征方式：公式模型、方程（組）模型、集合模型和函數(shù)模型等。

1. 公式模型

數(shù)學(xué)的公式模型是反映現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的符號(hào)，是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象、概括出來的。由于數(shù)學(xué)公式模型是一種數(shù)學(xué)化的刻畫，因而它舍棄了事物的非本質(zhì)數(shù)學(xué)屬性，而反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性。小學(xué)階段的公式模型主要包括幾何形體周長、面積、體積公式模型以及基本數(shù)量關(guān)系的公式模型。比如反映速度、時(shí)間和路程之間的關(guān)系模型“s=vt”；長方形的面積公式模型“S=ab”；加法交換律的運(yùn)算模型“a+b=b+a”，等等。

2. 方程（組）模型

方程（組）模型是研究數(shù)量關(guān)系的基本模型。方程常常是解決數(shù)學(xué)問題的通則通法，從這個(gè)意義上說，方程是一種好的數(shù)學(xué)模型。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，方程模型主要有兩種，其一是形如ax+b=c的模型；其二是形如ax+bx=c的模型。在運(yùn)用方程模型進(jìn)行問題解決的過程中，關(guān)鍵是針對(duì)問題，設(shè)定合適的未知數(shù)，構(gòu)建合適的方程模型，從而解決實(shí)際問題。一般而言，方程模型的優(yōu)越性體現(xiàn)在方程中的未知數(shù)可以和已知數(shù)平等地參與運(yùn)算，從而降低了解決實(shí)際問題的難度。

3. 集合模型

集合同樣是一種數(shù)學(xué)模型。小學(xué)數(shù)學(xué)中的集合模型涉及交集、并集等。比如加法就是最簡單的并集。2個(gè)小方塊與3個(gè)小方塊合并起來，是多少個(gè)小方塊？在這里，2個(gè)小方塊與3個(gè)小方塊就是不相交的有限集合A和B合并成的并集C，抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)式就是“2+3=5”。事實(shí)上，在數(shù)學(xué)中，只要是2個(gè)元素集與3個(gè)同類元素集，就可以進(jìn)行合并，就可以用“2+3=5”來合并。從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)模型是具有普適性意義和價(jià)值的。

4. 函數(shù)模型

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，還有一類刻畫變量和定量之間的關(guān)系模型，這就是函數(shù)模型。函數(shù)模型主要有正比例關(guān)系的函數(shù)模型“y=kx”和反比例關(guān)系的函數(shù)模型“y÷x=k”等。在教學(xué)中，教師要結(jié)合對(duì)函數(shù)關(guān)系的分析，嘗試對(duì)變量的變化規(guī)律進(jìn)行初步預(yù)測，用正反比例函數(shù)模型解決一般問題。通過函數(shù)模型，讓學(xué)生感受函數(shù)的函變思想。

除此而外，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，還有一些幾何模型、統(tǒng)計(jì)模型等。數(shù)學(xué)模型是從實(shí)際生產(chǎn)、生活中誕生的，因此也必須服務(wù)于實(shí)際的生產(chǎn)生活。小學(xué)數(shù)學(xué)中加強(qiáng)建模教學(xué)，能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力及其創(chuàng)新意識(shí)。

二、數(shù)學(xué)模型：積極建構(gòu)與靈活運(yùn)用

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型教學(xué)主要包括兩個(gè)層面的內(nèi)容：一是數(shù)學(xué)模型的積極建構(gòu)；二是數(shù)學(xué)模型的靈活應(yīng)用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要把握學(xué)生數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的靈活運(yùn)用。

1. 從“境”到“?！?，引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型的積極建構(gòu)

關(guān)于數(shù)學(xué)建模，國內(nèi)數(shù)學(xué)學(xué)者提出了各種不同的觀點(diǎn)，但都大體上將數(shù)學(xué)建模分為三個(gè)階段，一是創(chuàng)設(shè)情境，提出問題；二是數(shù)學(xué)猜想，假設(shè)模型；三是數(shù)學(xué)驗(yàn)證，形成模型。也就是從現(xiàn)實(shí)生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題或者數(shù)學(xué)事實(shí)，然后用數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行刻畫、描述或者表征。在這個(gè)過程中，教師要延長從“境”到“?！钡倪^程，讓學(xué)生充分地體驗(yàn)、抽象、歸納。

（1）抽絲剝繭，引領(lǐng)從生活到數(shù)學(xué)的抽象。對(duì)于小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)建模的過程首先應(yīng)當(dāng)基于生活，引導(dǎo)學(xué)生從生活世界到數(shù)學(xué)世界的橫向數(shù)學(xué)化。這個(gè)過程是從具體、形象的生活到數(shù)學(xué)的抽象的提煉過程。比如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊的《間隔排列》，教材中出現(xiàn)一些靜態(tài)的素材如木樁和籬笆、兔子與蘑菇、鑷子與手帕等。教學(xué)中，教師還可以讓學(xué)生借助學(xué)具進(jìn)行操作，不僅讓學(xué)生從視覺感官上，而且通過學(xué)生的動(dòng)作操作積累豐富的活動(dòng)表象，引導(dǎo)學(xué)生逐漸從動(dòng)作思維向形象思維以及抽象邏輯思維過渡。通過這樣的縱向數(shù)學(xué)化過程，形成學(xué)生對(duì)間隔排列的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型——“a=b+1”和“a=b”。這里，重要的是學(xué)生對(duì)“1”的深度理解。

（2）作繭自縛，引領(lǐng)從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)的抽象。數(shù)學(xué)建模的過程不僅僅包括橫向數(shù)學(xué)化（即從生活到數(shù)學(xué)的抽象），而且包括縱向數(shù)學(xué)化（即從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)的抽象）。作繭自縛，可以理解為在數(shù)學(xué)世界里的符號(hào)生成、重塑和被使用。弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)的結(jié)論通常在高一層學(xué)習(xí)中又被作為常識(shí)和基礎(chǔ)，這些結(jié)論會(huì)再一次被組織、提煉，而凝聚成新的法則。比如教學(xué)《直柱體的體積》（蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊），這是學(xué)生在掌握了長方體的體積模型V=a×b×h、正方體的體積模型V=a×a×a、圓柱體的體積模型V=π×r×r×h后對(duì)直柱體體積公式的梳理與學(xué)習(xí)感悟。通過公式以及特征比較，學(xué)生能夠建構(gòu)出新的數(shù)學(xué)模型“V=Sh”，并用這個(gè)新的數(shù)學(xué)模型去建構(gòu)三棱柱、鋼管等形體的體積計(jì)算問題。

學(xué)生從生活向數(shù)學(xué)過渡的模型建構(gòu)過程是生動(dòng)的，教學(xué)中，教師可以多提供一些生活化的素材，助推學(xué)生的模型建構(gòu)。因?yàn)閿?shù)學(xué)模型的建構(gòu)并不是針對(duì)某一個(gè)數(shù)學(xué)問題的，而是對(duì)某一類數(shù)學(xué)問題的分析、歸納、抽象與概括。教師可以實(shí)施多“境”成“型”的教學(xué)活動(dòng)，以便讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行充分的抽象、概括與歸納。

2. 從“?！钡健熬场?，引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型的靈活運(yùn)用

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型并不是數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目的，數(shù)學(xué)模型的價(jià)值指向運(yùn)用。從“境”到“?！笔菍⑺季S模型轉(zhuǎn)化為形式模型，而從“模”到“境”則是再次將形式模型轉(zhuǎn)化成思維模型。只有在不斷地運(yùn)用中，靜態(tài)的數(shù)學(xué)模型才轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的思維運(yùn)用。一般而言，數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用有兩個(gè)層次，其一是基礎(chǔ)性運(yùn)用層次，其二是拓展性運(yùn)用層次。無論是基礎(chǔ)性運(yùn)用層次還是拓展性運(yùn)用層次，都需要學(xué)生進(jìn)行靈活地辨析。

（1）化蛹成蝶，數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)性運(yùn)用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生掌握了相關(guān)的基本的數(shù)學(xué)模型之后，就需要學(xué)生將數(shù)學(xué)模型簡單地運(yùn)用到數(shù)學(xué)問題情境之中去。數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)性運(yùn)用的過程是學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)模型、親近數(shù)學(xué)模型的過程。因此這個(gè)過程也就是學(xué)生深度體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型價(jià)值與意義的過程。比如教學(xué)《平行四邊形的面積》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊）后，教師可以出示一些平行四邊形圖形，給定底和高，讓學(xué)生直接運(yùn)用數(shù)學(xué)模型計(jì)算面積。同時(shí)，也可以出示平行四邊形的底和高，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型計(jì)算面積并嘗試在方格紙上畫出平行四邊形。不僅如此，教師還可以進(jìn)行知識(shí)融合，比如畫出平行四邊形圖形，并且標(biāo)示出平行四邊形的兩個(gè)底邊的長度如4厘米和7厘米，并且給出平行四邊形的高是5厘米的條件，助推學(xué)生展開深度的數(shù)學(xué)思考：這條高是哪一條底邊上的高呢？在此，將直角三角形直角邊和斜邊的知識(shí)與平行四邊形的面積公式模型融通起來，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到深度拓展。數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)性運(yùn)用是對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知強(qiáng)化。

（2）蝶飛蜂舞，數(shù)學(xué)模型的拓展性運(yùn)用。數(shù)學(xué)模型的拓展性運(yùn)用是學(xué)生是否深度理解、掌握數(shù)學(xué)模型的試金石，也是數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)的高級(jí)層階，因此這個(gè)過程需要教師的適度點(diǎn)撥與引領(lǐng)。蝶飛蜂舞體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)模型運(yùn)用的自主與自由境界。比如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊的《稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題》，有這樣的一道習(xí)題：一段路程，甲車單獨(dú)行完全程需要4小時(shí)，乙車單獨(dú)行完全程需要5小時(shí)?，F(xiàn)兩車同時(shí)從兩地相對(duì)開出，經(jīng)過多長時(shí)間兩車相遇？乍看起來，這是一道行程問題。但這道題中的路程卻是一個(gè)未知量，因此不適合直接運(yùn)用行程問題的數(shù)學(xué)模型解決問題。深度解讀習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)，可以設(shè)定全程為單位“1”。這樣，原本行程問題就被轉(zhuǎn)換成了工程問題，用運(yùn)用工程問題的數(shù)學(xué)模型可以直接解決。原題相當(dāng)于“甲、乙共同完成一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需要4小時(shí)，乙單獨(dú)完成需要5小時(shí)，甲、乙合作需要多長時(shí)間？”數(shù)學(xué)模型的變式性、創(chuàng)造性運(yùn)用充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的靈活性。拓展性數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用，提高了學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型、解構(gòu)數(shù)學(xué)模型、化用數(shù)學(xué)模型的能力。

數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用要求學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠根據(jù)問題的特質(zhì)，靈活地辨別、選擇。學(xué)生掌握數(shù)學(xué)模型思想，不僅僅是經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，而且是能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，這是數(shù)學(xué)模型的價(jià)值和意義指向。

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)思想方法中的一個(gè)重要組成部分。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)是一個(gè)逐步抽象、概括和提煉的過程。數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用是一個(gè)從形式模型到思維模型的認(rèn)知強(qiáng)化和靈活變通過程。學(xué)生經(jīng)歷從具體問題到類比推理，再到建立模型、解釋模型的全過程，就能夠收獲自主建模的碩果，從而賦予自我數(shù)學(xué)生命不斷生長的力量。