王興東 ，陳 波，孔建益，張 華

(武漢科技大學(xué) a.冶金裝備及其控制教育部重點實驗室；b.機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室，武漢 430081)

0 引言

運動副間隙及構(gòu)件柔性是機構(gòu)在實際運動中不可回避的問題。機構(gòu)由不同構(gòu)件組成，組裝過程中會產(chǎn)生間隙。實際情況下，構(gòu)件會存在一定程度的柔性，過度降低構(gòu)件柔性將增加構(gòu)件自重，而過度提高構(gòu)件柔性會導(dǎo)致構(gòu)件在運動時出現(xiàn)偏差，影響機構(gòu)運行。間隙過大會降低系統(tǒng)的運動精度，增加構(gòu)件間的磨損。運動副間隙過小會導(dǎo)致配合緊密，機構(gòu)卡頓。柔性構(gòu)件程度及運動副間隙，是制約機構(gòu)在工程中應(yīng)用的瓶頸[1-2]。鄧培生等[3]研究構(gòu)件柔性和鉸間間隙對機構(gòu)系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，利用磨損模型對間隙運動副的磨損進行預(yù)測,文章通過磨損程度來論證連桿柔性對機構(gòu)動態(tài)特性的影響。Imed Khemili等[4]提出抗彎剛度來衡量連桿柔性，利用有限元方法對連桿進行本征頻率和固有模態(tài)的分析，論證柔性對含間隙機構(gòu)動態(tài)特性的影響。S Erkaya等[5-6]提出含間隙四連桿機構(gòu)的動力學(xué)和力學(xué)模型，通過改變連桿截面尺寸控制連桿柔性，研究柔性對間隙機構(gòu)動態(tài)特性的影響。白爭鋒等[7-9]提出間隙非線性接觸碰撞力的混合模型，拓展間隙鉸接觸碰撞動力學(xué)建模與含間隙機構(gòu)動力學(xué)特性的研究。張游等[10]研究機構(gòu)兩處旋轉(zhuǎn)副的間隙，認為間隙運動副元素是通過碰撞力進行動力學(xué)信息傳遞。前者研究單間隙四連桿機構(gòu)，后者研究雙間隙曲柄滑塊機構(gòu)。Dupac M等[11]討論移動副間隙存在時的滑塊三種運動狀態(tài)，建立離散化柔性連桿的模型，分析移動副間隙及帶裂縫柔性連桿的曲柄滑塊機構(gòu)動態(tài)特性。該文章僅討論移動副間隙與柔性構(gòu)件的作用。

上述研究中，很少以四連桿機構(gòu)為研究對象，且研究多間隙以及多間隙與柔性構(gòu)件混合模型的比較少，而對構(gòu)件柔性合理化研究尚未涉及，關(guān)于四桿機構(gòu)的實驗也非常有限。文章以四連桿機構(gòu)為例，建立含柔性連桿及多間隙四連桿機構(gòu)動力學(xué)模型，討論柔性構(gòu)件對間隙機構(gòu)的影響，并搭建四桿機構(gòu)實驗平臺論證該模型的正確性；基于正確的仿真模型，研究構(gòu)件柔性合理化問題，以便為機構(gòu)輕量化設(shè)計提供理論基礎(chǔ)。

1 平面四連桿機構(gòu)

1.1 剛性間隙機構(gòu)動力學(xué)

基于碰撞力理論，建立間隙四連桿機構(gòu)矢量模型，如圖1所示。桿lAB、lBC、lCD,lAD對應(yīng)的桿長和質(zhì)量分別為l1、l2、l3、l4和m1、m2、m3、m4，構(gòu)件均為純剛體。r1、r2分別表示B和C兩處旋轉(zhuǎn)副的間隙，A和D兩處的旋轉(zhuǎn)副無間隙；其動力學(xué)模型如圖2所示，其中Mfi(i+1)表示摩擦力矩。

圖1 含間隙的四連桿封閉矢量圖

圖2 四連桿機構(gòu)動力學(xué)模型

桿件質(zhì)心G1、G2、G3的位置如公式(2)所示，可以推導(dǎo)其速度見公式(3)和加速度見公式(4)：

(2)

(3)

(4)

1.2 柔性間隙機構(gòu)動力學(xué)

柔性連桿動力學(xué)模型，將長為l2的連桿離散化成n個長度為l、質(zhì)量為m的剛性桿，各剛性桿之間由無質(zhì)量扭簧連接，扭簧剛度為kt。曲柄AB1為剛性桿，長為l1，如圖3所示，剛性桿BnBn+1搖桿相連，柔性連桿未變形時的長度為l2=nl，其質(zhì)量m2=nm。圖3中的Θi和θi分別是桿BiBi+1的絕對夾角和相對夾角，Mri(i+1)表示桿BiBi+1兩端扭簧產(chǎn)生的彈性力矩。分析機構(gòu)力學(xué)特性，考慮機構(gòu)受力平衡，引入慣性力和慣性力矩[12]：

(5)

圖3 連桿離散化后的四連桿機構(gòu)

(6)

關(guān)于曲柄1的力學(xué)分析：

(7)

關(guān)于柔性連桿2的力學(xué)分析，桿BiBi+1段：

(8)

關(guān)于搖桿3的力學(xué)分析：

(9)

2 仿真及實驗結(jié)果分析

2.1 仿真及實驗結(jié)果及分析

文章針對四連桿，研究運動副間隙和柔性構(gòu)件對其動態(tài)特性的影響，四桿機構(gòu)如圖1所示，曲柄l1=150mm，連桿l2=564mm，搖桿l3=250mm，機架l4=600mm，間隙為1.0mm，摩擦系數(shù)為0.1，恢復(fù)系數(shù)為0.9，E=206GPa，泊松比μ=0.29，密度ρ=7.80g/cm3，曲柄勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為100r/min?？紤]B、C處的間隙c=1.0mm，A、D處無間隙，連桿為剛、柔對比，選取4種截面形狀的連桿，如圖4所示。本節(jié)取截面形狀如圖4a所示的連桿，研究間隙和柔性對機構(gòu)動態(tài)性能的影響。理想機構(gòu)、間隙剛性機構(gòu)以及間隙柔性機構(gòu)進行動力學(xué)仿真分析，仿真結(jié)果如圖5所示。

由圖5a、圖5b可見，三種機構(gòu)下的連桿和搖桿的角位移高度一致，說明間隙和柔性對連桿和搖桿的角位移影響甚微。

由圖5c、圖5d可見，三種機構(gòu)的連桿和搖桿角速度，其運動趨勢基本一致，間隙柔性機構(gòu)角速度的幅值和頻率更接近理想機構(gòu)，間隙剛性機構(gòu)的幅值的波動劇烈程度略高于其他機構(gòu)(尤其在最大值附近區(qū)域)。

由圖5e、圖5f可見，間隙柔性機構(gòu)的角加速度值的震蕩程度顯著高于理想機構(gòu)而低于間隙剛性機構(gòu)，而連桿與搖桿對比，柔性連桿與剛性連桿角加速度值的震蕩程度的差異顯著大于搖桿。

上述分析，說明間隙對連桿、搖桿的角加速度產(chǎn)生影響顯著大于其角速度，而柔性連桿能適當(dāng)減輕這些影響并能顯著弱化連桿和搖桿的角加速度幅值頻率，柔性連桿對連桿角加速度的影響程度較搖桿而言更加顯著。

圖4 連桿的截面形狀

如圖5g和圖5h所示，間隙柔性機構(gòu)碰撞力的幅值和頻率高于理想機構(gòu)，但遠低于間隙剛性機構(gòu)。說明間隙引起旋轉(zhuǎn)副孔軸間頻繁碰撞，導(dǎo)致碰撞力具有顯著的疲勞載荷特征；而柔性連桿的變形可避免其兩端旋轉(zhuǎn)副碰撞力相互疊加，一定程度上弱化各自的碰撞行為，表現(xiàn)出剛性機構(gòu)碰撞力的幅值和頻率明顯大于柔性機構(gòu)。

(a)連桿位移 (b)搖桿位移

(c)連桿角速度 (d)搖桿角速度

(e)連桿角加速度 (f)搖桿角加速度

(g)連桿與曲柄間碰撞力 (h)搖桿與連桿間碰撞力 (ideal:理想機構(gòu) r-1:間隙為1mm的剛性機構(gòu) f-1:間隙為1mm的柔性機構(gòu))圖5 仿真結(jié)果

2.2 實驗結(jié)果及分析

為驗證理論模型的正確性并進一步分析，搭建四連桿機構(gòu)實驗平臺，調(diào)整實驗臺結(jié)構(gòu)與仿真模型相同，如圖6所示?？紤]到實驗中變化幅度最大的參數(shù)是加速度，通過加速度傳感器采集該實驗臺連桿和搖桿的加速度，實驗結(jié)果如圖7所示。

圖6 四桿機構(gòu)實驗平臺

(a)連桿角加速度 (b)搖桿角加速度

(r-1：間隙為1mm的剛性機構(gòu)，f-1：間隙為1的柔性機構(gòu))

對比圖7a與圖5e、圖7b與圖5f，發(fā)現(xiàn)實驗結(jié)果的連桿和搖桿加速度與仿真結(jié)果的趨勢相同，數(shù)值結(jié)果也差距較小，仿真與實驗結(jié)果高度一致，該實驗結(jié)果驗證了仿真模型的正確性，可以利用該仿真模型進行下一步研究。

2.3 不同截面連桿模型結(jié)果

上節(jié)論證了仿真模型正確性，本節(jié)基于所建仿真模型，進一步詳細討論連桿的柔性程度對于機構(gòu)構(gòu)件輕量化的影響。修改仿真模模型，另選取了三組截面不同的連桿(截面形狀見圖4b、圖4c和圖4d)。上節(jié)分析可知，柔性和間隙主要影響構(gòu)件角加速度以及運動副間碰撞力，因此文章給出了構(gòu)件角加速度和碰撞力參數(shù)的仿真結(jié)果，如圖8所示。

(a)連桿角加速度 (b)搖桿角加速度

(c)連桿與曲柄間碰撞力 (d)搖桿與連桿間碰撞力圖8 考慮不同截面柔性連桿的四桿機構(gòu)仿真結(jié)果

由圖8可知，連桿和搖桿角加速度隨曲柄轉(zhuǎn)動呈現(xiàn)周期性規(guī)律，周期為0.6s，與曲柄轉(zhuǎn)速一致，且在峰值區(qū)域震蕩劇烈。截面d對應(yīng)機構(gòu)的構(gòu)件角加速度的幅值最大、頻率最高，截面b次之，截面c最??；且截面c對應(yīng)的角加速度曲線平緩，在峰值區(qū)域的幅值和頻率的曲線也最平滑。

連桿兩端旋轉(zhuǎn)副孔軸間碰撞力也隨著曲柄轉(zhuǎn)動呈現(xiàn)周期性規(guī)律，周期為0.6s，與曲柄轉(zhuǎn)速一致，在峰值區(qū)域震蕩劇烈。截面d對應(yīng)機構(gòu)碰撞力的幅值最大、頻率最高，截面b次之，截面c最??；且截面c對應(yīng)的碰撞力曲線平緩，在峰值區(qū)域的幅值和頻率的曲線也最平滑。

因此僅就文章討論的三種截面而言，過度增加或減小柔性連桿截面尺寸會導(dǎo)致碰撞行為劇烈，降低機構(gòu)穩(wěn)定性，截面c的柔性連桿對機構(gòu)改善作用最大，對構(gòu)件的角加速度及運動副孔軸間碰撞力特性的改善作用最顯著，推薦使用截面c的連桿截面設(shè)計方案。

3 結(jié)論

文章研究柔性和間隙對平面四連桿機構(gòu)動態(tài)特性的影響，建立了四連桿機構(gòu)的構(gòu)件與間隙矢量模型，基于離散化方法對連桿進行柔性建模，分析了間隙和柔性構(gòu)件的耦合作用，并進一步研究不同截面的連桿對機構(gòu)輕量化的作用機制。研究結(jié)果表明：

(1)機構(gòu)間隙的存在對構(gòu)件的角位移、角速度影響小，會導(dǎo)致運動副相鄰兩構(gòu)件產(chǎn)生碰撞，對角加速度、碰撞力影響較大。

(2)仿真分析理想、間隙剛性和間隙柔性三種機構(gòu)，間隙柔性機構(gòu)動態(tài)性能曲線的平滑程度低于理想機構(gòu)，但高于間隙剛性機構(gòu)。說明間隙加劇旋轉(zhuǎn)副孔軸間碰撞，柔性連桿產(chǎn)生彈性變形能損耗部分碰撞能量，且避免連桿兩端碰撞力疊加，減弱了碰撞行為。通過搭建實驗平臺測試間隙剛?cè)崴臈U角加速度，驗證理論及仿真模型的合理性。

(3)基于上述理論模型，研究三種不同截面面積的連桿對機構(gòu)動態(tài)性能影響，說明對柔性構(gòu)件進行適當(dāng)輕量化，一定程度上可使機構(gòu)的運動更加平穩(wěn)，因此研究機構(gòu)動態(tài)性能需要考慮構(gòu)件柔性優(yōu)化問題，系統(tǒng)性的機構(gòu)輕量化設(shè)計，則需進一步研究。